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1.3.1 函数的单调性与导数 课件_图文

1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.1 函数的单调性与导数

过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种 风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.

过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢, 本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用 吧!

1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理. (重点) 2.利用导数判断函数单调性.(难点) 3.掌握利用导数判断函数单调性的方法.

探究:函数的单调性与其导函数的关系
图(1)表示高台跳水运动员的高 度 h 随时间 t 变化的函数 h 2 的图 h (t ) ? ? 4.9t ? 6.5t ? 10 象, 图(2)表示高台跳水运动员
v t b

的速度 v 随时间 t 变化的函 数 v (t ) ? ? 9.8t ? 6.5 的图象.运
动员从起跳到最高点, 以及从 O 最高点到入水这两段时间的运 动状态有什么区别?
a b

O t

a

(1)

(2)

①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t 的 增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,v (t ) ? h ?(t ) ? 0. ②从最高点到入水, 运动员离水面的高 度h随时间t的增加 而减小,即h(t)是 减函数.相应地,
O a b h v t

v (t ) ? h ?(t ) ? 0.

t
O a b

(1)

(2)

观察下面一些函数图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负 的关系.
y y?x
O O
y

y ? x2

x

?1?
y

?2 ?
y ? x3

O O

x
1 y? x

y

O O

x

O O

x

?3?

?4?

如图,导数f? ? x0 ? 表示函数 f ? x ? 在点 ? x0 ,f ? x0 ? ? 处的 切线的斜率.在x = x0 处, f? ? x0 ? > 0,切线是 “左下 在 x0 附近单调递增;在 数f ? x ? 在x1附近单调递减. 右上”式的,这时, 函数f ? x ?

y

y ? f ? x?

? x , f ? x ??
1 1

? x , f ? x ??
0 0

O

x

图 3.3 ? 3

x = x1处,f? ? x1 ? < 0,切线是 “左上右下”式的,这时, 函

一般地,函数的单调性与其导函数的正负有如下关系 :
在某个区间 ? a,b ?内,如果f ' ? x ? > 0,那么函数y = f ? x ? 在这个区间内单调递增;如果f ? x ? < 0,那么函数 y
'

= f ? x ? 在这个区间内单调递减.

例1

f ?( x )的下列信息: 已知导函数
当1 < x < 4 时, f ?( x ) ? 0;

当 x > 4 , 或 x < 1时, f ?( x ) ? 0;
当 x = 4 , 或 x = 1时, f ?( x ) ? 0. 试画出函数f(x)图象的大致形状.

解: 当1 < x < 4 时, f ? (x)> 0,可知 f(x)在此区
间内单调递增; 当 x > 4 , 或 x < 1时, f?(x)< 0,可知 f(x)

在这两个区间内单调递减; 当 x = 4 , 或 x = 1
时, f?(x)= 0. 综上, 函数 f(x) 图象 的大致形状如图所示.
O

y

y= f ( x)

1

4

x

例2

判断下列函数的单调性, 并求出单调区间:
3

(1) f ( x ) ? x ? 3 x;

(2) f ( x ) ? x ? 2 x ? 3;
2

(3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ?);
(4) f ( x ) ? 2 x 3 ? 3 x 2 ? 24 x ? 1.
解: (1) 因为 f(x)= x 3 + 3x , 所以

y

f ? x ? = x3 + 3x

o

f ?(x)= 3x + 3 = 3(x + 1)> 0.
2 2

x

因此, 函数 f(x)= x 3 + 3x 在 x ? R 上单调递增.如图(1)所示

图?1?

?2?因为f ?x? = x2 -2x -3,所以f' ?x? = 2x -2 = 2?x -1?.
当f' ?x? >0, 即x >1时, 函数f ?x? = x2 -2x -3单调递增;
当f' ?x? <0, 即x <1时, 函数f ?x? = x2 -2x -3单调递减.
函数f ? x ? = x2 - 2x - 3的单调递增区间为?1, +≦?, 单调递减区间为? -≦,1? .
y

函数f ? x ? = x2 - 2x -3 的图象如图(2)所示.
o 1

f ? x ? = x2 - 2x -3

x
图?2?

π ? ,所以 ?3 ?因为f ? x ? = sinx - x,x ∈ ? 0, f? ? x ? = cos x ? 1 ? 0

因此, 函数f ? x ? = sinx - x,x ∈?0, π? 内
如图 (3)所示.
图?3?
y

单调递减

.

o

?

x
f ? x ? = sinx - x

? 4 ?因为f ? x ? = 2x + 3x - 24x +1,所以f? ? x ? =
3 2

6 x ? 6 x ? 24 .
2

?1 ? 17 ?1 ? 17 x? 或x ? 当f? ? x ? > 0, 即 时, 2 2
函数f ? x ?

单调递增

;

?1 ? 17 ?1 ? 17 ?x? 当f? ? x ? < 0, 即 2 2 时, 函数f ? x ? 单调递减 .

函数f ? x ? ? 2 x3 ? 3x 2 ? 24 x ? 1单调递增区间

? ? -1- 17 ? ? -1+ 17 ? ? -∞, 2 ? ?,? ? 2 ,+∞ ? ? ?? 为? ,?
f ? x ? = 2x3 +3x2 - 24x +1 ? -1 - 17 -1+ 17 ? y , ? ? ? ? 2 2 ? . 单调递减区间为 ?

f ? x ? = 2x3 + 3x 2 - 24x +1 的图象如图 (4)所示.
O

x

图 (4)

总结提升
根据导数确定函数的单调性步骤:

1.确定函数f(x)的定义域.
2.求出函数的导数. 3.解不等式f?(x)>0,得函数单调增区间; 解不等式f?(x)<0,得函数单调减区间.

4.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题
(1)定义域优先的原则:解决问题的过程只能在定义域

内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.
(2)注意“临界点”和“间断点”:在对函数划分单调

区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还要注
意在定义域内的间断点. (3)单调区间的表示:如果一个函数的单调区间不止一 个,这些单调区间之间不能用“∪”连接,而只能用 “逗号”隔开.

例3 如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体 积相同) 注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找 出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.

?1?
h h

?2?

?3?
h h

?4?

o

?A ?

t

o

?B ?

t

o

?C ?

t

o

?D?

t

分析 以容器 ?2 ? 为例, 由于容器 上细下粗,所以水以恒速注入时, 开始阶段高度增加得慢,以后高 度增加得越来越快.反映在图象 上,? A ? 符合上述变化情况.同理 可知其他三种容器的情况. 解 ? 1? → ? B ? , ? 2 ? → ? A ? ,
h

?2?

o

?3 ? → ? D ? , ?4? → ? C ? .

?A ?

t

思考 例 3 表明,通过函数图象 ,不仅可以看出函 数的增与减 ,还可以看出其增减的快慢.结合图象, 你能从导数的角度解释增减快慢的情况吗?

一般地,如果一个函 数在 某一范围内导 数 的绝对值较大,那 么函数 在 这个范围 内变 化 得快,这时, 函 数 的图象就比较 “陡

y

?a

o

a

x

峭” “平缓” ?向上或向下 ?;反之,函数的图象就 一些.如图所示, 函数y = f ? x ? 在 ? 0,a ? 或 “陡峭” ,在 ? a,+∞? 或 ? -∞,-a ?内 ? -a,0 ? 内图象 “平缓” .

例4 (补充例) 已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在 (-∞,+∞)上是减函数,求实数a的取值范围. 【解析】f′(x)=3ax2+6x-1,

由题意得3ax2+6x-1≤0在(-≦,+≦)上恒成
立.
1 当a=0时,6x-1≤0,x≤ 6 不满足题意,∴a≠0.

?a ? 0, 当a≠0时,由题意得, ? ?36 ? 12a ? 0, 解得a≤-3.
综上可知,实数a的取值范围是a≤-3.

1.函数y=3x-x3的单调增区间是( C ) A.(0,+∞) C.(-1,1) B.(-∞,-1) D.(1,+∞)

2.(2014·新课标全国2)若函数 f ( x) ? kx-ln x

(1, +?) 单调递增,则k的取值范围是( 在区间

(-?, -2] A.

(-?, -1] B.
[1, +? ) D.

D

)

+?) C.[2,

解 因为f ( x )在(1, ??)上递增,所以f ?( x ) ? 0恒成立 1 因为f ( x ) ? kx -ln x,所以f ?( x ) ? k - ? 0. x 1 即k ? 1 ? .所以k ? [1, ??). x

3.函数y=xlnx在区间(0,1)上是( C
A.单调增函数 B.单调减函数

)

1 1 C.在(0, )上是减函数,在( , 1)上是增函 e e


1 1 D.在( , 1)上是减函数,在(0, e )上是增函 e



4.函数y=x2(x+3)的单调递减区间



(-2,0)


.

单调递增区间是 (-∞,-2),(0,+∞) 5.函数f(x)=cos2x的单调递减区间是
.

做一做(请把正确的答案写在横线上)
(1)函数y=x3+x在(-∞,+∞)上的图象是

________(填“上升”或“下降”)的.
(2)若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)在R上为增函数,

则a,b,c的关系式为____________.
(3)函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是 ____________.

【解析】(1)由于y′=3x2+1>0对于任何实数恒成立, 所以函数y=x3+x在(-≦,+≦)上是增函数,则图象是 上升的. 答案:上升 (2)因为f′(x)=3ax2+2bx+c≥0恒成立, 则 ?a ? 0, ? 2 ? ? 4b ? 12ac ? 0, ? 得a>0,且b2≤3ac. 答案:a>0,且b2≤3ac

(3)令y′=3x2+2x-5>0, 5 得x< ? 或x>1. 3
5 答案:(-≦, ? ), (1,+≦) 3

【思维拓展】
(1)函数y=f(x)是定义在R上的增函数,

f′(x)>0是否一定成立?
提示:不一定成立.例如,y=x3在R上是增函数, 但其在0处的导数为零,故f′(x)>0是y=f(x)在 某区间上是增函数的充分不必要条件.

(2)函数y=x2与y=x3在y′=0的点是函数的临界点 吗?

提示:因为函数y=x2的导数是y′=2x,在y′=0
的点左边和右边导数符号不同,是函数单调递

增与单调递减的临界点;而函数y=x3的导数是
y′=3x2,在y′=0的点左边和右边导数符号相

同,不是函数单调递增与单调递减的临界点.

1.求可导函数f(x)单调区间的步骤:
(1)求 f ?(x) (2)解不等式 f ?(x) >0(或 f ?(x) <0) (3)确认并指出递增区间(或递减区间) 2.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法:

(1)求 f ?(x)
(2)确认f ?(x) 在(a,b)内的符号 (3)作出结论


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