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人教版高中不等式复习讲义(含答案,超经典!)


不等式的基本知识
(一)不等式与不等关系 1、应用不等式(组)表示不等关系;

不等式的主要性质: (1)对称性: a ? b ? b ? a (2)传递性: a ? b, b ? c ? a ? c

(3)加法法则: a ? b ? a ? c ? b ? c ; a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d (同向可加) (4)乘法法则: a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc

a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向同正可乘)
(5) 倒 数 法 则 :

a ? b, ab ? 0 ?

1 1 ? a b

(6) 乘 方 法 则 :

a ? b ? 0 ? a n ? b n (n ? N * 且n ? 1)
(7)开方法则: a ? b ? 0 ? n

a ? n b (n ? N * 且n ? 1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小:作差法(作差——变形——判断符号——结论) 3、应用不等式性质证明不等式 (二)解不等式 1、一元二次不等式的解法

一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0或ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的解集:
2 2 2 设相应的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0?a ? 0? 的两根为 x1、x2 且 x1 ? x2 ,? ? b ? 4ac ,
2

则不等式的解的各种情况如下表:

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
二次函数

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象

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一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

x1 , x2 ( x1 ? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b? ?x x ? ? ? 2a ? ?
?

R

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

?x x

1

? x ?x 2 ?

?

2、分式不等式的解法:分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0,再通分并将分子分母 分解因式,并使每一个因式中最高次项的系数为正 ,最后用标根法求解。解分式不等式时,一 般不能去分母,但分母恒为正或恒为负时可去分母。

f ( x) ? 0 ? f ( x) g ( x) ? 0; g ( x)

? f ( x) g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

3、不等式的恒成立问题:常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?min ? A 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? B

(三)线性规划 1、用二元一次不等式(组)表示平面区域 二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的 平面区域.(虚线表示区域不包括边界直线) 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x , y ),把它的坐标( x , y )代入 Ax+By+C,所得 到实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 (x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负即可 判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域.(特殊地,当 C≠0 时,常把原点作为此特殊点)

3、线性规划的有关概念: ①线性约束条件:在上述问题中,不等式组是一组变量 x、y 的约束条件,这组约束条 件都是关于 x、y 的一次不等式,故又称线性约束条件. ②线性目标函数: 关于 x、y 的一次式 z=ax+by 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y 的解析式,叫
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线性目标函数. ③线性规划问题: 一般地, 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题, 统称为线性规划 问题. ④可行解、可行域和最优解: 满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解. 由所有可行解组成的集合叫做可行域. 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤: (1)寻找线性约束条件,列出线性目标函数; (2)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; (3) 依据线性目标函数作参照直线 ax+by=0,在可行域内平移参照直线求目标函数的最优 解 (四)基本不等式

ab ?

a?b 2 a?b ? ab (当且仅当 a ? b时取" ?"号). 2
2

1.若 a,b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时取等号.? 2.如果 a,b 是正数,那么

?a?b? 变形: 有:a+b≥ 2 ab ;ab≤ ? ? ,当且仅当 a=b 时取等号.? ? 2 ?
3.如果 a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当 a=b 时,a+b 有最小值 2 P ;? 如果 a,b∈R+,且 a+b=S(定值),当且仅当 a=b 时,ab 有最大值

S2 . 4

注: (1)当两个正数的积为定值时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定值时,可 以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等”

2 2 4.常用不等式有:(1) a ? b ? a ? b ? ab ? 2 (根据目标不等式左右的运算 2 2 1?1 a b

结构选用) ;(2 )a 、b 、 c ? R , a ? b ? c ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a
2 2 2

? b ? c 时,取等

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号);(3)若 a ? b ? 0, m ? 0 ,则

b b?m ? (糖水的浓度问题)。 a a?m

不等式主要题型讲解
(一) 不等式与不等关系 题型一:不等式的性质 1. 对于实数 a, b, c 中,给出下列命题: ① 若a ? b, 则ac ? bc ;
2 2

② 若ac ? bc , 则a ? b ;
2 2 2

③ 若a ? b ? 0, 则a ? ab ? b ;
2

④ 若a ? b ? 0, 则

1 1 ? ; a b

b a ? ; ⑥ 若a ? b ? 0, 则a ? b ; a b a b 1 1 ? ⑦ 若c ? a ? b ? 0, 则 ; ⑧ 若a ? b, ? ,则 a ? 0, b ? 0 。 c?a c?b a b
⑤ 若a ? b ? 0, 则 其中正确的命题是______ 题型二:比较大小(作差法、函数单调性、中间量比较,基本不等式)

2. 设 a ? 2 , p ? a ?

2 1 , q ? 2 ?a ?4a?2 ,试比较 p, q 的大小 a?2

3. 比较 1+ logx 3 与 2 logx 2( x ? 0且x ? 1) 的大小

4. 若 a ? b ? 1, P ? 是 .

lg a ? lg b , Q ?

1 a?b (lg a ? lg b), R ? lg( ), 则 P, Q, R 的大小关系 2 2

4 / 14

(二) 解不等式 题型三:解不等式

5. 解不等式

6. 解不等式 ( x ?1)( x ? 2)2 ? 0 。

7. 解不等式

5? x ? ?1 x ? 2x ? 3
2

8. 不等式 ax2 ? bx ? 12 ? 0 的解集为{x|-1<x<2},则 a =_____, b=_______

9. 关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集为 (1,??) , 则关于 x 的不等式 集为

ax ? b ? 0 的解 x?2

10. 解关于 x 的不等式 ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0

题型四:恒成立问题

11. 关于 x 的不等式 a x2+ a x+1>0 恒成立,则 a 的取值范围是_____________
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12. 若不等式 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 对 0 ? x ? 1 的所有实数 x 都成立, 求 m 的取值范 围.

13. 已知 x ? 0, y ? 0 且

1 9 ? ? 1 ,求使不等式 x ? y ? m 恒成立的实数 m 的取值范围。 x y

(三)基本不等式 题型五:求最值

ab ?

a?b 2

14. (直接用)求下列函数的值域 1 (1)y=3x 2+ 2 2x 1 (2)y=x+ x

15. (配凑项与系数) (1)已知 x ?

5 ,求函数 y ? 4 x ? 2 ? 1 的最大值。 4 4x ? 5

(2)当

时,求 y ? x(8 ? 2 x) 的最大值。

6 / 14

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的值域。 16. (耐克函数型)求 y ? x ?1

注意:在应用基本不等式求最值时,若遇等号取不到的情况,应结合函数 f ( x) ? x ? 单调性。 17. (用耐克函数单调性)求函数 y ?

a 的 x

x2 ? 5 x2 ? 4

的值域。

18. (条件不等式) (1)
a b 若实数满足 a ? b ? 2 ,则 3 ? 3 的最小值是

.

(2)

已知 x ? 0, y ? 0 ,且

1 9 ? ? 1 ,求 x ? y 的最小值。 x y

(3)

已知 x,y 为正实数,且 x 2+

y2 =1,求 x 1+y 2 的最大值. 2

(4)

1 已知 a,b 为正实数,2b+ab+a=30,求函数 y= 的最小值. ab

7 / 14

题型六:利用基本不等式证明不等式 19. 已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

20. 正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc

21. 已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 。求证: ?

?

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?

题型七:均值定理实际应用问题: 22. 某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为 200m2 的三级污水处理池(平面图如 图) , 如果池外圈周壁建造单价为每米 400 元, 中间两条隔墙建筑单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水池的长 和宽,使总造价最低,并求出最低造价。

(四)线性规划

题型八:目标函数求最值

8 / 14

?2 x ? y ? 3 ? 0 ? 23. 满足不等式组 ?7 x ? y ? 8 ? 0 ,求目标函数 k ? 3x ? y 的最大值 ? x, y ? 0 ?

24.

已 知 实 系 数 一 元 二 次 方 程 x ? (1 ? a ) x ? a ? b ?1 ? 0的 两 个 实 根 为 x1 、 x2 , 并 且
2

0 ? x1 ? 2 , x2 ? 2 .则

b 的取值范围是 a ?1

25. 已知 x , y 满足约束条件:

? x?0 ? ?3 x ? 4 y ? 4 ? y?0 ?

,则 x ? y ? 2 x 的最小值是
2 2

?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? 26. 已知变量 x, y满足约束条件 ? x ? 3 y ? 3 ? 0 .若目标函数 z ? ax ? y (其中 a>0)仅 ? y ?1 ? 0 ?
在点(3,0)处取得最大值,则 a 的取值范围为 。

? y ? 1, ? 27. 已知实数 x, y 满足 ? y ? 2 x ? 1, 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ?1 , 则实数 m 等于 ? x ? y ? m. ?
( )

题型九:实际问题 28. 某饼店制作的豆沙月饼每个成本 35 元,售价 50 元;凤梨月饼每个成本 20 元,售价 30 元。现在要将这两种月饼装成一盒,个数不超过 10 个,售价不超过 350 元,问豆沙月 饼与凤梨月饼各放几个,可使利润最大?又利润最大为多少?
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10 / 14

复习――不等式的基本知识参考答案

高中数学必修内容练习---不等式 1. 2. 3. ②③⑥⑦⑧;

p?q;
当0?

x ? 1或 x ?

4 3

时, 1+ logx

3 > 2log x 2 ;当 1 ? x ?

4 时, 1+ logx 3 < 2log x 2 ;当 3

x?
4. ∵a

4 时,1+ logx 3 = 2log x 2 3

? b ?1



lg a ? 0, lg b ? 0 Q ?

1 ( lg a ? lg b) ? lg a ? lg b ? p 2 a?b 1 R ? lg( ) ? lg ab ? lg ab ? Q ∴R>Q>P。 2 2

5. 6. 7.

{x | x ? 1 或 x ? ?2} ;
; (?1,1) ? (2,3) ) 不等式 ax
2

8. 9.

? bx ? 12 ? 0 的解集为{x|-1<x<2},则 a =___-6____, b=__6_____

(??,?1) ? (2,??) ).

10. 解:当 a=0 时,不等式的解集为 x x ? 1 ; 当 a≠0时,a(x-

?

?

2分

1 1 )(x-1)<0;当 a<0时,原不等式等价于(x- )(x-1)>0 a a 1? ? 不等式的解集为 ? x x ? 1或x ? ? ; ............................................................................... 6分 a? ? 1 1? ? 当0<a<1时,1< ,不等式的解集为 ? x 1 ? x ? ? ; ............................................. 8分 a? a ? 1 ? 1 ? 当 a>1时, <1,不等式的解集为 ? x ? x ? 1? ; .................................................. 10分 a a ? ?
当 a=1时,不等式的解为 φ. ............................................................................................ 12分 11. 12. 13. _____0≤x<4________

m??

1 ) 2

m ? ? ??,16?
11 / 14

14.

解: (1)y=3x 2+

1 ≥2 2x 2 1 ≥2 x

1 3x 2· 2 2x x· 1 x

= 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) =2; x· 1 x =-2

(2)当 x>0 时,y=x+

1 1 当 x<0 时, y=x+ = -(- x- )≤-2 x x ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 15. (1)解? x ?

5 1 1 ? ? ,? 5 ? 4 x ? 0 ,? y ? 4 x ? 2 ? ? ? ? 5 ? 4x ? ? ? 3 ? ?2 ? 3 ? 1 4 4x ? 5 5 ? 4x ? ?

当且仅当 5 ? 4 x

?

1 ,即 x ? 1 时,上式等号成立,故当 x ? 1 时, ymax ? 1 。 5 ? 4x

(2) 当 16. 解析一: ,即 x=2 时取等号 当 x=2 时,

y ? x(8 ? 2 x) 的最大值为 8。



,即

时,

y ? 2 (x ? 1) ?

4 ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号)。 x ?1

解析二:本题看似无法运用基本不等式,可先换元,令 t=x+1,化简原式在分离求最值。

y?

(t ? 1)2 ? 7(t ? 1 ) +10 t 2 ? 5t ? 4 4 = ? t ? ?5 t t t
, 即 t= 时,



4 y ? 2 t ? ? 5 ? 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。 t
1 ? t ? (t ? 2) t x ?4
2

17.

解:令

2 x 2 ? 4 ? t (t ? 2) ,则 y ? x ? 5 ? x 2 ? 4 ?

1

x ?4
2

1 1 ? 0, t ? ? 1 ,但 t ? 解得 t ? ?1 不在区间 ? 2, ?? ? ,故等号不成立,考虑单调性。 t t 1 5 因为 y ? t ? 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,所以在其子区间 ? 2, ?? ? 为单调递增函数,故 y ? 。 t 2
因t 所以,所求函数的值域为

?5 ? , ?? ? 。 ? 2 ? ?

18.

(条件不等式) 解:

(1) 当3 6.
a

3 a 和3b 都是正数, 3 a ? 3b ≥ 2 3a ? 3b ? 2 3a?b ? 6

? 3b 时等号成立,由 a ? b ? 2 及 3 a ? 3b 得 a ? b ? 1 即当 a ? b ? 1 时,3 a ? 3b 的最小值是

12 / 14

(2)

解:? x ? 0, y

? 1 9 ? y 9x 1 9 ? 0, ? ? 1 ,? x ? y ? ? x ? y ? ? ? ? ? ? ? 10 ? 6 ? 10 ? 16 x y ? x y? x y

当且仅当

1 9 y 9x ? 1 ,可得 x ? 4, y ? 12 时, ? x ? y ?min ? 16 ? 时,上式等号成立,又 ? x y x y
解:x 1+y 2 =x 1 y2 + 2 2 2· 1+y 2 = 2 x· 2 1 y2 + 2 2

(3)

下面将 x,

分别看成两个因式: 1 y2 + 2 2 2 y2 1 + 2 2 3 = 2 4



1 y + 2 2

2

x 2+( ≤

)2 =

x 2+

即 x 1+y 2 = 2 · x

1 y2 3 + ≤ 2 2 4

2

(4)

解:法一:a=

30-2b , b+1

30-2b -2 b 2+30b ab= ·b = b+1 b+1

由 a>0 得,0<b<15 令 t=b+1,1<t<16,ab= ∴ ab≤18 ∴ y≥ -2t 2+34t-31 16 16 =-2(t+ )+34∵t+ ≥2 t t t t· 16 t =8

1 当且仅当 t=4,即 b=3,a=6 时,等号成立。 18 ∴ 30-ab≥2 2 ab

法二:由已知得:30-ab=a+2b∵ a+2b≥2 2 ab 令 u= ab
2

则 u +2 2 u-30≤0, -5 2 ≤u≤3 2

1 ∴ ab ≤3 2 ,ab≤18,∴y≥ 18 19. 20. 已知

a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca

正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc 已知 a、b、c ? R ,且 a ? b ? c
?

21.

? 1 ?? 1 ?? 1 ? ? 1 。求证: ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 8 ? a ?? b ?? c ?
1 1 ? a b ? c 2 bc ?1 ? ? ? a a a a
。同理

证明:? a 、b 、c ? R , a ? b ? c
?

? 1 。?

1 2 ac ?1 ? b b



1 2 ab 。上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得 ?1 ? c c

1 ? 1 ?? 1 ?? 1 ? 2 bc 2 ac 2 ab ? ? ? 8 。当且仅当 a ? b ? c ? 时取等号。 ? ? 1?? ? 1?? ? 1? ? 3 a b c ? a ?? b ?? c ?
22. 解: 若设污水池长为 x 米,则宽为 水池外圈周壁长: (米) 13 / 14 (米)

中间隔墙长: 池底面积:200(米 )
2

(米)

目标函数:

≥ 23. 4

24. 25. 26. 27. 5 1

1 ( ?3,? ) 2 1 ( ,?? ) 2



解:设一盒內放入 x 个豆沙月饼,y 个凤梨月饼,利润为 z 元

则 x,y 必须满足 目标函数为 z=15x+10y



在可行区內的顶点附近 z=f ( x,y ) 的最大值,

所以,一盒内装 2 个豆沙月饼 8 个凤梨月饼或 4 个豆沙月饼 5 个凤梨月饼,可得最大利润 110 元。

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