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2018学高考理科数学通用版复习课时跟踪检测:(二十一) 坐标系与参数方程 含解析

课时跟踪检测(二十一) 坐标系与参数方程 1.(2017· 宝鸡模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴 的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cos θ+sin θ). (1)求 C 的直角坐标方程; 1 ? x= t, ? 2 (2)直线 l:? 3 y=1+ t ? 2 ? (t 为参数)与曲线 C 交于 A,B 两点,与 y 轴交 于点 E,求|EA|+|EB|. 解:(1)由 ρ=2(cos θ+sin θ)得 ρ2=2ρ(cos θ+sin θ), 所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=2x+2y, 即(x-1)2+(y-1)2=2. (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程, 化简得 t2-t-1=0, 点 E 对应的参数 t=0, 设点 A,B 对应的参数分别为 t1,t2, 则 t1+t2=1,t1t2=-1, 所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1-t2| = ?t1+t2?2-4t1t2= 5. ? ?x=cos α, 2.(2017· 张掖模拟)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? 2 ? ?y=sin α (α π? ? θ - ? ? 为参数), 在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2: ρcos ? 4? =- 2 2 ,曲线 C3:ρ=2sin θ. (1)求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标; (2)设点 A,B 分别为曲线 C2,C3 上的动点,求|AB|的最小值. ? ?x=cos α, 解:(1)曲线 C1:? 2 ? ?y=sin α 得 y+x2=1,x∈[-1,1].① π? 2 ? 曲线 C2:ρcos?θ-4?=- ?x+y+1=0,② ? ? 2 联立①②, 消去 y 可得 x2-x-2=0?x=-1 或 x=2(舍去), 所以 M(-1,0). (2)曲线 C3: ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+(y-1)2=1, 是以(0,1)为圆心, 半径 r=1 的圆. 设圆心为 C,则点 C 到直线 x+y+1=0 的距离 d= |0+1+1| = 2 2,所以 消去参数 α, |AB|的最小值为 2-1. 3.(2018 届高三· 昆明一中调研)在平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x ? 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 P 的极坐标为?2 ? ? ?x=2cos α, 参数方程为? ? ?y=- 3+2sin α π? 3, ?,曲线 C 的 6? (α 为参数). (1)写出点 P 的直角坐标及曲线 C 的直角坐标方程; (2)若 Q 为曲线 C 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 l:ρcos θ+2ρsin θ+1 =0 距离的最小值. 解:(1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ 可得点 P 的直角坐标为(3, ? ?x=2cos α, ? ? ?y=- 3+2sin α 得 x2+(y+ 3),由 (α 为参数) 3)2=4, 3)2=4. ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+(y+ (2)直线 l 的普通方程为 x+2y+1=0, ? ?x=2cos α, 曲线 C 的参数方程为? ? ?y=- 3+2sin α (α 为参数), 设 Q(2cos α,- ?3 ? ? ? 3+2sin α),则 M? +cos α,sin α?, ?2 ? 故点 M 到直线 l 的距离 ?3 ? ? ? ? ? + cos α + 2sin α + 1 ?2 ? ? ? ? ? d= = 12+22 - ≥ 5+ 5 5 2 ? 1? 5 ? ? = -1?tan φ= ?, 2? 2 ? 5 -1. 2 5? ? 5sin?α+φ?+ ? 2? 5 ∴点 M 到直线 l 的距离的最小值为 4.(2017· 全国卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足|OM|· |OP|=16,求 点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; π? ? (2)设点 A 的极坐标为?2,3?,点 B 在曲线 C2 上,求△OAB 面积的最大值. ? ? 解:(1)设 P 的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M 的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0). 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1= . cos θ 4 由|OM|· |OP|=16,得 C2 的极坐标方程 ρ=4cos θ(ρ>0). 因此 C2 的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0). (2)设点 B 的极坐标为(ρB,α)(ρB>0), 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB 的面积 π?? ? ? α - ? ? ?? S= |OA|·ρB· sin∠AOB=4cos α· sin 3?? ? ? 2 ? ? π? 3? ? ? =2?sin?2α-3?- ?≤2+ ? ? 2 ? ? 1 3. π 当 α=- 时,S 取得最大值 2+ 12 所以△OAB 面积的最大值为 2+ 3. 3. π? ? 5.(2017· 成都模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,倾斜角为 α?α≠2?的直线 l ? ? ? ?x=1+tcos α, 的参数方程为? ?y=tsin α ? (t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρcos2θ-4sin θ=0. (1)写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程; π? ? (2)已知点 P(1,0).若点 M 的极坐标为?1,2?,直线 l 经过点 M 且与曲线 C ? ? 相交于 A,B 两点,设线段 AB 的中点为 Q,求|PQ|的值. ?

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