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2012年高考数学适应性试题(理科)


2012 年高考数学适应性试题(理科)
一、选择题 1、定义域为 R 的函数 f ( x)满足f (1) ? 1,
且 f ( x)的导函数f ?( x) ? A. {x | ?1 ? x ? 1}

1 ,则满足 2 f ( x) ? x ? 1 的 x 的集合为 2
B. {x | x ? 1} C. {x | x ? ?1或x>1} D. {x | x ? 1}

2、若复数 (a ? i) 2 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是
A.-l B. 1 C. 2 D.一 2

π π 3、已知函数 y=tan ωx 在?-2,2?内是减函数,则 ? ? A.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1

1 4、在二项式 ( x 2 ? )5 的展开式中,含 x 4 的项的系数是 x
A. ?10 B. 10 C. ?5 D. 5

5、阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为
A.3 C.5 B.4 D.6

6、从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数” ,
事件 B 为“取到的 2 个数均为偶数” ,则 P(B|A)等于 A. 1 8 B. 1 4 C. 2 5 D. 1 2

7、过椭圆 C:

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的一个顶点作圆 x2 ? y 2 ? b2 的两条切线, 切点分 2 a b

别为 A,B,若 ?AOB ? 900 (O 是坐标原点) ,则椭圆 C 的离心率为

A. 2

B.

2 2

C.

2 3

D.

3 3

8、已知数列 {an },{bn } 满足a1 ? b1 ? 1, an?1 ? an ?
项的和为 A.

bn?1 ? 2, n? N? ,则数列 {ban }的前 10 bn
10 D. (4 ? 1)

4 9 (4 ? 1) 3

B.

4 10 (4 ? 1) 3

9 C. (4 ? 1)

1 3

1 3

9、已知一个空间几何体的三视图如右图所示,根据图中
标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是 A.4 cm3 C.6 cm3 B.5 cm3 D.7 cm3

10、设集合 U ? {1, 2,3, 4},M ? {x ? U | x2 ? 5x ? p ? 0},若 CU M ={2,3},则实数 p
的值为 A.—4 B.4 C.—6 D.6

二、填空题 11、如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? BD ? 0,2 AB ? BD ? 4 ,若将其沿 BD 折成
直二面角 A—BD—C,则三棱锥 A—BCD 的外接球的体积为 。
2 2

x2 y2 12、已知 F1、F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1F2 为边作正三角 a b
形,若双曲线恰好平分正三角形的另两边,则该双曲线的离心率等于 .

13、设x,y满足约束条件 x ? y ? 1 ? 2 ,若目标函数 z ?
为5,则8a+b的最小值为 。

x y ? (其中 b ? a ? 0) 的最大值 a b

14、 如右图, Rt?ABC 中, ?C ? 90?, ?A ? 30? ,圆 O 经过 B、C 且与 AB、AC 分别相
交于 D、E. 若 AE=EC= 2 3 ,则圆 O 的半径为________.

? x ? 3 ? 3cos ? ? 15、已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ? ,以 , (? 为参数) ? y ? 1 ? 3sin ? ?
ox 为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? 弦长为 .

?
6

) ? 0. 则圆 C 截直线 l 所得的

16、从甲、乙等 5 人中选出 3 人排成一排,则甲不在排头的排法种数是

(用数字作答)

三、解答题 17、
已知函数 f ( x) ? ax, g ( x) ? ln x, 其中a ? R 。 (I)若函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 有极值 1,求 a 的值; (II)若函数 G( x) ? f [sin(1 ? x)] ? g ( x) 在区间(0,1)上为增函数,求 a 的取值范围;

(Ⅲ)证明:

? sin (k ? 1)
k ?1

n

1

2

? ln 2.

18、已知函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ( x ? R). 2 2

(I)求函数 f ( x ) 的最小值及 f ( x ) 取得最小值时对应的 x 的值; (II) 设△ABC 的内角 A, C 对边分别为 a, c, c ? 3 f(C ?, B, b, 且 , ) 0 与 n ? (2,sin B)共线, 求a, b 的值。

?? 若 ?i ) A m (,sn 1

?

19、
如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 为平行四边形, ∠ABD=90°, EB⊥平面 ABCD, EF//AB, AB=2,EB= 3, EF ? 1, BC ? 13 ,且 M 是 BD 的中点。 (I)求证:EM//平面 ADF; (II)求二面角 D—AF—B 的大小;

20、 某市为了解今年高中毕业生的身体素质状况,从本市某校高中毕业班中抽取一个班
进行实心球测试,成绩在 8 米及以上的为合格.把所得数据进行整理后,分成 6 组画出频率 分布直方图的一部分(如图),已知第一小组为[5,6),从左到右前 5 个小组的频率分别为 0.06,0.10,0.14,0.28,0.30.第 6 小组的频数是 6. (I)求这次实心球测试成绩合格的人数; (II)用此次测试结果估计全市毕业生的情况.若从今年的高中毕业生中随机抽取两名,记 ... X 表示两人中成绩不合格的人数,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅲ) 经过多次测试后,甲成绩在 8?10 米之间,乙成绩在 9.5?10.5 米之间,现甲、乙各 投一次,求甲投得比乙远的概率.

21、
在数列 {an } 中, Sn 为其前 n 项和,满足 Sn ? kan ? n2 ? n,(k ? R, n ? N*) . (I)若 k ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式; (II)若数列 {an ? 2n ? 1} 是公比不为 1 的等比数列,且 k ? 1 ,求 Sn .

22、已知抛物线 y 2 ? mx(m ? 0, m 为常数)的焦点是 F(1,0), P?x0 , y0 ? 是抛物线上的动
点,定点 A(2,0).
(I)若 x0

? 2 ,设线段 AP 的垂直平分线与 X 轴交于 Q?x1,0? ,求 x1 的取值范围;

(II)是否存在垂直于 x 轴的定直线 l ,使以 AP 为直径的圆截 l 得到的弦长为定值?

若存在,求其方程,若不存在,说明理由.

以下是答案 一、选择题 1、 B 2、 A 3、 B

4、 C 5、 B 6、 B 7、 B 8、 D 9、 A 10、 二、填空题 4? 11、 ; 3 12、 3 ? 1 ; 13、5 ; 14、 7 ;
B

15、 4 2 16、48; 三、解答题 17、

18、

19、

20、解:(1)第 6 小组的频率为 1 ? (0.06 ? 0.10 ? 0.14 ? 0.28 ? 0.30) ? 0.12
∴此次测试总人数为

6 ? 50 (人). 0.12

∴第 4、5、6 组成绩均合格,人数为 (0.28 ? 0.30 ? 0.12) ? 50 ? 35 (人). (2) X ? 0,1,2 此次测试中成绩不合格的概率为

15 3 3 ? ,? X ~ B(2, ) 50 10 10

3 21 7 49 1 7 , P( X ? 1) ? C 2 ( )( ) ? ? P( X ? 0) ? ( )2 ? 10 100 10 10 50
3 9 P( X ? 2) ? ( )2 ? , 10 100
所求分布列为

EX ? 2 ?

3 3 ? 10 5

(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为 x、 y 米,则基本事件满足的区域为 ? 事件“甲投得比乙远的概率”满足的区域为 x ? y 如图所示.

?8 ? x ? 10 ?9.5 ? y ? 10.5

1 1 1 ? ? 2 2 2? 1 ∴由几何概型 P( A) ? 1? 2 16
21、解: (I)当 k ? 1 时, Sn ? an ? n2 ? n, 所以 Sn?1 ? n2 ? n,(n ? 2)
即 Sn ? (n ? 1)2 ? (n ? 1) ? n2 ? n,(n ? 1) ,所以当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ; 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n 所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n(n ? N ? ) .

(II)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? kan ? kan?1 ? 2n ,所以 (k ?1)an ? kan?1 ? 2n ? 2 ,

a1 ? S1 ? ka1 . ? k ? 1 ,? a1 ? 0 , a2 ?

4 ? 6k 2 , a3 ? 1? k (1 ? k ) 2

5k ? 3 ?7k 2 ? 8k ? 3 a1 ? 3 ? ?3, a2 ? 5 ? , a3 ? 7 ? 1? k (k ? 1)2
由题意得, (a2 ? 5)2 ? (a1 ? 3)(a3 ? 7) ? 0 ,所以 k ?

3 . 2

此时, an ? 3an?1 ? 4n ? 4 ,从而 an ? 2n ?1 ? 3[an?1 ? 2(n ?1) ?1] 因为 a1 ? 2 ?1 ?1 ? ?3 ? 0, 所以 an ? 2n ? 1 ? 0 ,从而 {an ? 2n ? 1} 为公比为 3 的 等比数列,得 an ? 2n ?1 ? ?3n , an ? 2n ? 3n ? 1, Sn ? n ? 2n ?
2

3n ?1 3 ? 2 2

22、解:(1)由焦点为 F (1,0) ,得 m ? 4 ,即抛物线方程是 y 2 ? 4x
2 则 y0 ? 4x0 ,且 AP 的斜率 k ?

y0 x0 ? 2

所以线段 AP 的垂直平分线的方程为 y ?

y0 x ?2? x0 ? 2 ? ? ? ?x ? ? ?? 0 ? 2 y0 ? 2 ? ?

2 y0 x ?2 x ?2 4 令 y ? 0 ,得 x1 ? ? 0 ?4? ? 0 2( x0 ? 2) 2 x0 ? 2 2

? x 0 ? 2,? x 0 ? 2 ? 0, x1 ? 4 ? 2
(当且仅当 x0 ? 2 ? 2 2 时取等号), 即 x1 的取值范围是 [4 ? 2 2 ,??) (2)假设存在所求直线为 l : x ? n AP 的中点 M(圆心)到 l 的距离为 d ?| 1 ? 半径为 r ?

4 x0 ? 2

?

x0 ? 2 2

?4?2 2

x0 ? n| 2

1 1 2 2 ( x0 ? 2) 2 ? y0 ? x0 ? 4 2 2

2 弦长 d0 ? 4(r 2 ? d 2 ) ? 4x0 (n ? 1) ? 8n ? 4n2 2 若 d0 为定值,则 n ? 1 ? 0, n ? 1

检验 d ? r 即圆 M 恒与直线 x ? 1 相交,且截得弦长恒为 2.



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