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2016


第二章

推理与证明

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.下列表述正确的是( )

①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ C.②④⑤ B.②③④ D.①③⑤

解析: 归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理,类比推理是由特殊到特殊的 推理,演绎推理是由一般到特殊的推理,故①③⑤正确. 答案: D 2.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列 一些性质,你认为比较恰当的是( )

①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等; ②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. A.① C.①②③ B.①② D.③

解析: 比较恰当的是①②,而③中边对面时,内角应对应面面所成的角. 答案: B 3.已知△ABC 中,∠A=30°,∠B=60°,求证 a<b.证明:∵∠A=30°,∠B=60°, ∴∠A<∠B,∴a<b,画线部分是演绎推理的( A.大前提 C.结论 )

B.小前提 D.三段论

解析: 由题意知,该推理中的大前提为: 三角形中大角对大边;小前提为:∠A<∠B; 结论为 a<b.故选 B. 答案: B 1 3 1 1 5 1 1 1 7 4.观察式子:1+ 2< ,1+ 2+ 2< ,1+ 2+ 2+ 2< ,?,则可归纳出一般式子 2 2 2 3 3 2 3 4 4
1

为(

) 1 1 1 1 A. 1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n 2n-1 1 1 1 2n+1 B. 1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n n 1 1 1 2n-1 C. 1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n n 1 1 1 2n D. 1+ 2+ 2+?+ 2< (n≥2) 2 3 n 2n+1 解析: 由合情推理可得. 答案: C 5.有一段“三段论”,推理是这样的:对于可导函数 f(x),如果 f′(x0)=0,那么 x

=x0 是函数 f(x)的极值点, 因为 f(x)=x 在 x=0 处的导数值 f′(0)=0, 所以 x=0 是函数

3

f(x)=x3 的极值点.以上推理中(
A.大前提错误 C.推理形式错误

) B.小前提错误 D.结论正确

解析: 在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的,则可能是“大前提”错误,也 可能是“小前提”错误,也可能是推理形式错误,我们分析其大前提的形式:“对于可导函 数 f(x),如果 f′(x0)=0,那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点”,不难得到结论.因为大前 提是:“对于可导函数 f(x),如果 f′(x0)=0,那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点”,不是 真命题,因为对于可导函数 f(x),如果 f′(x0)=0,且满足当 x>x0 时和当 x<x0 时的导函数 值异号,那么 x=x0 是函数 f(x)的极值点,所以大前提错误. 答案: A 6 .用反证法证明“方程 ax + bx + c = 0(a≠0)至多有两个解”的假设中,正确的是 ( ) A.至多有一个解 C.至少有三个解 B.有且只有两个解 D.至少有两个解
2

解析: “至多 n 个”的反设应为“至少 n+1 个”.故选 C. 答案: C 7.若 a,b,c 均为实数,则下面四个结论均是正确的: ①ab=ba;②(ab)c=a(bc);③若 ab=bc,b≠0,则 a-c=0;④若 ab=0,则 a=0 或 b=0. 对向量 a,b,c,用类比的思想可得到以下四个结论: ①a·b=b·a; ②(a·b)c=a(b·c);

2

③若 a·b=b·c,b≠0,则 a=c; ④若 a·b=0,则 a=0 或 b=0. 其中结论正确的有( A.0 个 C.2 个 ) B.1 个 D.3 个

解析: 利用类比思想结合向量的定义及性质, 特别是向量的数量积的定义可知①正确, ②③④不正确. 答案: B 1 4 27 a 8.已知 x>0,不等式 x+ ≥2,x+ 2≥3,x+ 3 ≥4,?,可推广为 x+ n≥n+1,则

x

x

x

x

a 的值为(
A.n C.2
2

) B.n D.2
2

n

n

2n-2

1 4 2 27 3 n 解析: 由 x+ ≥2,x+ 2=x+ 2≥3,x+ 3 =x+ 3≥4,?,可推广为 x+ n≥n+1,

3

n

x

x

x

x

x

x

故 a=n . 答案: B 9.分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:“设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证:

n

b2-ac< 3a”最终的索因应是(
A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 解析: 要证 b -ac< 3a 只需证 b -ac<3a
2 2 2

) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0

∵a+b+c=0,∴b=-a-c 只需证(-a-c) -ac<3a 只需证(c-a)(c+2a)<0 只需证(c-a)(c+a-b-c)<0 只需证(c-a)(a-b)<0 只需证(a-b)(a-c)>0 故选 C. 答案: C 10.命题:在三角形中,顶点与对边中点连线所得三线段交于一点,且分线段长度比为 2∶1,类比可得在四面体中,顶点与所对面的________连线所得四线段交于一点,且分线段 比为________( )
2 2

3

A.重心 3∶1 C.内心 2∶1 解析: 由四面体的性质可得结论为 A. 答案: A

B.垂心 D.外心

3∶1 2∶1

11.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如:

他们研究过(1)中的 1,3,6,10, ?, 由于这些数能够表示成三角形, 将其称为三角形数; 类似地,(2)中的 1,4,9,16,?,这样的数称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方 形数的是( A.289 C.1 225 ) B.1 024 D.1 378

解析: 由图形可得三角形数构成的数列通项 an= (n+1),正方形数构成的数列通项 2

n

n bn=n2,则由 bn=n2(n∈N*)可排除 D.又由 an= (n+1),当 an=289 时,即验证是否存在 n
2 ∈N ,使得 n(n+1)=578,经计算 n 不存在;同理,依次验证,有 1 225×2=49×50,且 35 =1 225,故选 C. 答案: C 12.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获奖,有人走访了四位歌手, 甲说:“是乙或丙获奖”,乙说:“甲、丙都未获奖”,丙说:“我获奖了”,丁说:“是 乙获奖了”,四位歌手的话只有两句是对的,则获奖的歌手是( A.甲 C.丙 B.乙 D.丁 )
2 *

解析: 若甲是获奖的歌手,则都说假话,不合题意;若乙是获奖的歌手,则甲、乙、 丁都说真话,丙说假话,不符合题意;若丁是获奖的歌手,则甲、丙、丁都说假话,乙说真 话,不符合题意,故获奖的歌手是丙. 答案: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确的答案填在题中的横线 上)

4

13.“因为 AC,BD 是菱形 ABCD 的对角线,所以 AC,BD 互相垂直且平分.”以上推理 的大前提是________. 答案: 菱形的对角线互相垂直且平分 14.已知 x,y∈R,且 x+y>2,则 x,y 中至少有一个大于 1,在用反证法证明时,假 设应为________. 解析: “至少有一个”的反面为“一个也没有”即“x,y 均不大于 1”,亦即“x≤1 且 y≤1”. 答案: x,y 均不大于 1(或者 x≤1 且 y≤1) 15.观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 ? 照此规律,第五个不等式为_______________________________________________. 解析: 先观察左边,第一个不等式为 2 项相加,第二个不等式为 3 项相加,第三个不 等式为 4 项相加,则第五个不等式应为 6 项相加,右边分子为分母的 2 倍减 1,分母即为所 1 1 1 1 1 11 对应项数,故应填 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6 1 1 1 1 1 11 答案: 1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 16.观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图形中有________个小正方形.

解析: 第 1 个图中有 3 个小正方形,第 2 个有 3+3=6 个小正方形,第 3 个有 6+4 =10 个小正方形,第 4 个图形有 10+5=15 个小正方形,第 5 个图形有 15+6=21 个小正 方形,第 6 个图形中有 21+7=28 个小正方形. 答案: 28 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 12 分)当 a,b 为正数时,求证:

a+b
2

≥ ab.

5

证明: 平方,所以

因为一个实数的平方是非负数,而 - ab是非负数,即

a+b
2

- ab=?

? ?

a
2



b? 2
2?

? 是一个实数的

a+b
2

a+b
2

- ab≥0,所以

a+b
2

≥ ab.

18.(本小题满分 12 分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,并判断类比的 结论是否成立. (1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交,则必和另一条相交; (2)如果两条直线同时垂直于第三条直线,则这两条直线互相平行. 解析: (1)类比为:如果一个平面和两个平行平面中的一个相交,则必和另一个相交. 结论是正确的,证明如下:设 α ∥β ,且 γ ∩α =a,则必有 γ ∩β =b,若 γ 与 β 不相交,则必有 γ ∥β . 又 α ∥β ,∴α ∥γ ,与 γ ∩α =a 矛盾,∴必有 γ ∩β =b. (2)类比为:如果两个平面同时垂直于第三个平面,则这两个平面互相平行,结论是错 误的,这两个平面也可能相交. 19.(本小题满分 12 分)已知|x|≤1,|y|≤1,用分析法证明:|x+y|≤|1+xy|. 证明: 要证|x+y|≤|1+xy|, 即证(x+y) ≤(1+xy) , 即证 x +y ≤1+x y ,即证(x -1)(1-y )≤0, 因为|x|≤1,|y|≤1,所以 x -1≤0,1-y ≥0, 所以(x -1)(1-y )≤0,不等式得证. 1 20.(本小题满分 12 分)已知非零实数 a,b,c 构成公差不为 0 的等差数列,求证: ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

a

1 1 , 不能构成等差数列.

b c

1 1 1 2 1 1 证明: 假设 , , 能构成等差数列,则 = + ,

a b c

b a c

因此 b(a+c)=2ac. 而由于 a,b,c 构成等差数列可得 2b=a+c, ∴(a+c) =4ac,即(a-c) =0,于是得 a=b=c, 这与 a,b,c 构成公差不为 0 的等差数列矛盾. 1 1 1 故假设不成立,即 , , 不能构成等差数列.
2 2

a b c

3 2C 2A 21.(本小题满分 13 分)△ABC 中,三边 a,b,c 成等比数列.求证:acos +ccos ≥ 2 2 2

b.
证明: ∵a,b,c 成等比数列,
6

∴b =ac. ∴acos +ccos = 2 2
2

2

C

2

A a?1+cos C? c?1+cos A?
2 + 2

1 1 = (a+c)+ (acos C+ccos A) 2 2

b +c -a ? 1 1? a +b -c +c· = (a+c)+ ?a· 2ab 2bc ? 2 2? ?
1 1 b b 3 = (a+c)+ b≥ ac+ =b+ = b. 2 2 2 2 2 3 2C 2A ∴acos +ccos ≥ b. 2 2 2 22.(本小题满分 13 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同 一个常数: ①sin 13°+cos 17°-sin 13°cos 17°; ②sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°; ③sin 18°+cos 12°-sin 18°cos 12°; ④sin (-18°)+cos 48°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin (-25°)+cos 55°-sin(-25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论. 解析: 方法一:(1)选择②式,计算如下: 1 2 2 sin 15°+cos 15°-sin 15°cos 15°=1- sin 30° 2 1 3 =1- = . 4 4 3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) =sin α +(cos 30°cos α +sin 30°sin α ) -sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α ) 3 3 1 3 1 3 2 2 2 2 =sin α + cos α + sin α cos α + sin α - sin α cos α - sin α = 4 2 4 2 2 4 3 3 2 2 sin α + cos α = . 4 4 方法二:(1)同方法一.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

7

3 2 2 (2)三角恒等式为 sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α )= . 4 证明如下: sin α +cos (30°-α )-sin α cos(30°-α ) = = 1-cos 2α 1+cos?60°-2α ? + -sin α (cos 30°cos α +sin 30°sin α ) 2 2 1 1 1 1 3 - cos 2α + + (cos 60°cos 2α +sin 60°sin 2α )- sin α cos α 2 2 2 2 2
2 2

1 2 - sin α 2 1 1 1 1 3 3 1 = - cos 2α + + cos 2α + sin 2α - sin 2α - (1-cos 2α ) 2 2 2 4 4 4 4 1 1 1 3 =1- cos 2α - + cos 2α = . 4 4 4 4

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