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上海交通大学附属中学2014-2015学年度第二学期高二数学期中试卷


上海交通大学附属中学 2014-2015 学年度第二学期 高二数学期中试卷
命题:张余婷 审核:杨逸峰

时间:120 分钟 满分:150 分
一、填空题(本大题满分 56 分)本题共 14 小题,只要求直接填写结果,每题填对得 4 分, 否则一律不得分. 1、函数 f ? x ? ? x2 ? 1? x ? 0? 的反函数 f ?1 ? x ? ? 2、若复数 z 满足方程 zi ? i ? 1 ( i 是虚数单位) ,则 z ? 3、计算: lim . .

3n ? 1 ? n?? 3n ?1 ? 2n
? x2 ? x ? 6 的定义域是 x ?1

.

4、函数 f ? x ? ?

. . .

?? ? 5、方程 2cos ? x ? ? ? 1 在区间 ? 0, ? ? 内的解是 4? ?

6、若双曲线的一个顶点坐标为 ? 3,0 ? ,焦距为 10,则它的标准方程为

?? ? 7、在极坐标系中,过点 ? 2 2, ? 做圆 ? ? 4sin ? 的切线,则切线的极坐标方程 ..... 4? ?
是 . 8、在底面边长为 2 的正三棱锥 V ? ABC 中, E 是 BC 的中点,若 ?VAE 的面积是
1 ,则侧棱 VA 与底面所成角的正切值 为 ... 4

P

.

M D
C

9、如右图,已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 4 的正 方形, PD ? 平面 ABCD PD ? 4, M 、N 分别是 PB、AB 的 中点,则二面角 M -DN-C 的正切值 为 ... 10、若存在实数 x ??1,2? 满足 2 x ? a ? . .
2 ,则实数 a 的取值范围是 x

A

N

B

A

B

11、有一种多面体的饰品,其表面由 6 个正方形和 8 个正三角形 组成(如图) ,则 AB 与 CD 所成的角的大小是_ __. 12、为求方程 x5 ? 1 ? 0 的虚根,可以把原方程变形为 ? x ? 1? x2 ? ax ? 1 x2 ? bx ? 1 ? 0 ,小
b? c (其中 a、b、c 为正整数且 a、b 互质) ,那 a

C

?

??

?

D

明由此求得原方程的一个虚根的虚部为 么a?b?c ? .

13、现有一个四条棱长为 2,两条棱长为 1 的三棱锥,其中三组对棱构成了三组异面直线, 求这三组异面直线间距离的最大值是 .
?1, x ? P P ?U , 14、 已知全集为 U , 定义集合 P 的特征函数为 f P ? x ? ? ? , 对于 A 苘U , B ?0, x ? CU P

U,

给出下列四个结论: ①对任意 x ? U ,有 fCU A ? x ? ? f A ? x ? ? 1 ; ②对任意 x ? U ,若 A ? B ,则 f A ? x ? ? f B ? x ? ; ③对任意 x ? U ,有 f A ④对任意 x ? U ,有 f A
B

? x? ? f A ? x? ? fB ? x? ? x? ? f A ? x? ? fB ? x?
.

B

其中,正确结论的序号是

二、选择题:(共四题,每小题 5 分,共计 20 分) 15、在空间中,“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行” ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



16、已知 z ? C ,且 z ? 2 ? 2i ? 1 , i 为虚数单位,则 z ? 2 ? 2i 的最小值是(



A. 3 B.3 C.3 D.6 17、一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼凑成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且 底面边长与各侧棱长相等, 这个但棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等, 设四棱锥、 三棱锥、 四棱柱的高分别是 h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h ? ( A. 3 :1:1 B.
3 :2:2

) D. 3 : 2 : 3

C.

3 :2: 2

18、在平面直角坐标系中,设点 P ? x, y ? ,定义 ?OP? ? x ? y ,其中 O 为坐标原点,对于下 列结论: ① 符合 ?OP? ? 1 的点 P 的轨迹围成的面积为 2; ② 设点 P 是直线: 5x ? 2 y ? 2 ? 0 任意一点,则 ?OP?min ? 1 ; ③ 设点 P 是直线: y ? kx ? 1? k ? Z ? 上任意一点,则“使得 ?OP? 最小的点 P 有无数个”的充要 条件是 “ k ? ?1 ”; ④ 设点 P 是圆 x2 ? y 2 ? 1 上任意一点,则 ?OP?max ? 2 其中正确的结论的序号为( A. ① 、② 、③ C. ① 、③ 、④ ) B. ② 、③ 、④ D. ① 、② 、④

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤,每题 解答过程写在该题的答题框内,否则不计分. 19、 (本题满分 12 分)已知复数 w 满足 w ? 4 ? ? 3 ? 2w? i ( i 为虚数单位) ,z? 求一个以 z 为根的实系数一元二次方程.
5 ? w? 2 , w

20、 (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 已知正三棱锥 P ? ABC 的底面边长为 12,侧面与地面所成的二面角的大小为 60 ? (1)证明: PA ? BC ; (2)求底面中心 O 到侧面的距离.

P

A
O

C

B

21、 (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分
3 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a、b、c ,且 cos B ? . 4

(1)求 sin 2 B ? cos 2

A?C 的值; 2

(2)若 b ? 3 ,求 ?ABC 面积的最大值.

22、 (本题满分 16 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分 某厂根据市场需求开发折叠式小凳(如图所示).凳面为三角形的尼龙布,凳脚为三根细钢 管.考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素,设计小凳应满足:①凳子高度为 30cm ,② 三 根细钢管相交处的节点 O 与凳面三角形 ABC 重心的连线垂直于凳面和地面. (1) 若凳面是边长为 20cm 的正三角形, 三只凳脚与地面所成的角均为 45 , 确定节点 O 分 细钢管上下两段的比值(精确到 0.01 ) ; (2)若凳面是顶角为 120 的等腰三角形,腰长为 24cm ,节点 O 分细钢管上下两段之比为

2 : 3 .确定三根细钢管的长度(精确到 0.1 cm ).

A B
O

C

23、 (本题满分 18 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 14 分,其中① 满分 3 分,② 满分 4 分,③ 满分 7 分. 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ? p ? 0? 上横坐标为 4 的点到焦点的距离为 5. (1)求抛物线 C 的方程 (2)设直线 y ? kx ? b ? k ? 0? 与抛物线 C 交于两点

y
E

A

A? x1 , y1 ?、B ? x2 , y2 ? ,且 y1 ? y2 ? a ? a ? 0? , M 是
弦 AB 的中点,过 M 作平行于 x 轴的直线交抛物线 C 于点 D ,得到 ?ABD :再分别过弦 AD、BD 的中点 作平行于 x 轴的直线依次交抛物线 C 于点 E、 F ,得到 ?ADE 和 ?BDF :按此方法继续下去. 解决下列问题: 16 ?1 ? kb ? ① 求证: a 2 ? ; k2 ② 计算 ?ABD 的面积 S?ABD ;

D
O

M
x

F
B

③ 根据 ?ABD 的面积 S?ABD 的计算结果,写出 ?ADE、?BDF 的面积:请设计一种求抛物线 C 与线段 AB 所围成封闭图形面积的方法,并求出次封闭图形的面积.



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