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龙泉中学2013届高三周练理科数学试卷(11)


龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(11)
班级: 姓名: 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.已知等差数列 ?an ? 的公差为正数,且 a3 a7 ? ?12 , a4 ? a6 ? ?4 ,则 S 20 为( )

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 cos x ?

3 ? , x ? (? , 0) ,则 tan 2x = 5 2

.

B. ? 180 C. 90 D. ? 90 n 2.已知数列{an}中,an= 2 (n∈N) ,则数列{an}的最大项是( ) n ? 156 A. 180
A.第 12 项 B.第 13 项 C.第 12 项或 13 项 D.不存在 ) 3. 等差数列{ an }前 n 项和为 Sn ,满足 S20 ? S40 ,则下列结论中正确的是( A. S30 是 Sn 中的最大值 C. S30 =0 A. ( ) ? ( )
x

1 。 } 的前 n 项和 Sn = bn bn ?1 ??? ? ??? ? ??? ? 13.已知 ? ABC 中, AB ? 3, AC ? 2, ?BAC ? 1200 , 点 O 是 ? ABC 的外心,且 AO ? ? AB ? ? AC ,则 . ??? =
12.已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 3, a4 ? 81, 若数列 ?bn ? 满足 bn ? log3 an ,则 { 14.顺次连结面积为 1 的正三角形的三边中点构成一个黑色三角形, 在余下的白色三角形上重复上面的操作。 第(1)个图中黑色三角形面积总和为 色三角形面积总和为

1 7 ,第(2)个图中黑色三角形面积总和为 ,第(3)个图中黑 4 16

B. S30 是 Sn 中的最小值 D. S60 =0 ) D. loga x ? logb x

37 ,依此类推,则第 n(n ? N ? ) 个图中黑色三角形面积总和为 64

4.已知 a ? b ? 1,0 ? x ? 1,以下结论中成立的是(

1 a

1 b

x

B. x ? x
a

b

C. log x a ? log x b

5.根据市场调查结果,预测某种商品从年初开始的 n 个月内累积的需求量 Sn (万件)近似地满足关系式

n S n ? (21n ? n 2 ? 5)(n ? 1, 2,? 12),按此预测,在本年度内,需求量超过 1.5 万件的月份是( 90
A.5、6 月 B.6、7月 C.7、8 月 D.8、9 月 6.设函数 f ( x) ? x m ? ax 的导函数 f ?( x) ? 2 x ? 1 ,则数列 { A



15、设集合 M={1,2,3,…,n} (n∈ N ),对 M 的任意非空子集 A,定义 f(A)为 A 中的最大元素,当 A 取遍 M 的所有非空子集时,对应的 f(A)的和为 S n ,则:① S 3 = . ②S n = .

?

n n ?1

B

n?2 n ?1

C

n n ?1
C. .-

1 }( n ? N *) 的前 n 项和是( f ( n) n ?1 D n
D.-



三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 且

1 1 ? ? 1. 1 ? a n ?1 1 ? a n

7.在等差数列中,前 n 项的和为 Sn,若 Sm=2n,Sn=2m,(m、n∈N 且 m≠n) ,则公差 d 的值为( A.-



4(m ? n) mn

B.-

mn 4(m ? n)

2(m ? n) mn

mn 2(m ? n)

(1)求 ?a n ? 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ? an?1 n

, 记Sn ? ? bk , 证明:Sn ? 1.
k ?1

n

8.若两个等差数列 A. 7

?an ? 和 ?bn ? 的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn ,已知 Tn ? n ? 3 ,则 b5 ? (
7n
n 5

S

a



B.

9.等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?5 ,它的前 11 项的平均值是 5,若从中抽取 1 项,余下 10 项的平均值是 4,则抽 取的是( A. a11 ) B. a10 C. a9 D. a8

2 3

C.

27 8

D.

21 4

10. 数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,

1 1 t 2 ?4 ? ,记数列 ?an ? 前 n 项的和为 Sn,若 S 2 n ?1 ? S n ? 对任意的 2 an an ?1 30
) D.7 C.8

n ? N * 恒成立,则正整数 t 的最小值为 (
A.10 B.9

17.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(

2? ? x) 的值; 3

x x x 3 sin ? cos ? sin 2 ? 1 . 4 4 4

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,当 n ? 2 时,点 ( (1)求数列 {an } 的通项公式;

1 1 1 , ) 在 f ( x) ? x ? 2 的图像上, 且 S1 ? . 2 Sn ?1 Sn

(2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a, b, c ,且满足 a cos C ?

1 c ? b ,求 f ( B ) 的取值范围. 2

2 2 2 (2)设 bn ? 2(1 ? n)an ,当 n ? 2 时,设 Tn ? b2 ? b3 ? ?? ? bn?1 , 证明Tn ? 1.

18. (本小题满分 12 分)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (1)求数列 ?an ? 的通项公式.

?1? (2)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前 n 项和。 ? bn ?

21.(本小题满分 14 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N .
*

(1)证明数列 ?an ? n? 是等比数列; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; (3)证明不等式 Sn?1 ≤ 4Sn ,对任意 n ? N 皆成立.
*

19.(本小题满分 12 分) (1)求 an 及 S n ;

已知函数 f ( x) ? m2 x ? t 的图象经过点 A(1,1), B(2,3) 及 C (n, S n ) , S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和. (2)若数列 ?cn ? 满足 cn ? 6nan ? n, 求数列 ?cn ? 的前项和 Tn .

龙泉中学 2013 届高三周练理科数学试卷(11)参考答案
命题人:李祖安 一、选择题(50 分) 1 序号 A 答案 二、填空题(25 分) 2 C 3 D 4 D 5 C 审核人:张建军 6 A 7 A 8 D 9 A 10 A

19. 解: (1)∵函数 f ( x) ? m2 x ? t 的图象经过点 A(1,1), B(2,3) ,则

?2m ? t ? 1 ?m ? 1 ,解得 ? ,∴ f ( x) ? 2x ?1 ,得 Sn ? 2n ? 1 ? t ? ?1 4m ? t ? 3 ? ? n (2) cn ? 3n2 ? n ,
令 S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n

则 an ? 2n?1

Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn = 3(2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? ? ? n)
…………………………①

24 11. 7

n 12. n ?1

13.

37 18

3 n 14. 1 ? ( ) 4

15. ① 17

② (n ?1) ? 2 ? 1
n

2S n ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 …………②
①- ②: ? S n ? 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? n ? 2 n?1

三、解答题:

? 1 ? 1 1 16.解: (1)由 ? ? 1.得 ? ? 为等差数列 , 1 ? an ? 1 ? a n ?1 1 ? a n ? 1 1 1 1 首项为 ? 1, d ? 1, 于是 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ,?1 ? an ? , an ? 1 ? n n 1 ? a1 1 ? an

n ? 1 ?1 1 ? an ? 1 n ? 1 ? n ?1 ? n ? 1 ? 1 (2) bn ? ? n n n ?1 n n n ?1 n 1 1 1 1 1 1 1 ?1 Sn ? ? bk ? ( ? )?( ? ) ??? ( ? ) ? 1? n ?1 1 2 2 3 n n ?1 k ?1 1?

x x x 3 x 1 x 1 x ? 1 cos ? cos2 ? sin ? cos ? ? sin( ? ) ? . 4 4 4 2 2 2 2 2 2 6 2 x ? 1 2? x ? 1 ? x) ? 2 sin 2 ( ? ) ? 1 ? ? . (1)若 f(x)=1,得 sin( ? ) ? ,? cos( 2 6 2 3 2 6 2 1 2 2 2 (2)由 acosC+ c ? b, 得 b ? c ? a ? bc. 2 1 ? 2? 2? B ? ? cos A ? . A ? , B ? C ? ,0 ? B ? ,0 ? ? . 2 3 3 3 2 3 B ? 1 3 f(B)= sin( ? ) ? ? (1, ). 2 6 2 2
17. 解:由题意得:f(x)= 3 sin 18.解:1)由题可得 a1 ?

1 1 1 , q ? . an ? ( ) n 3 3 3 n(n ? 1) 1 2 1 1 . 2) bn ? ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? .... ? n ? ? ?? ? ?2( ? ) 2 bn n(n ? 1) n n ?1
数列 ?

n(n ? 1) 2 1 1 1 1 20. 解: (1)∵点 ( , ) 在 f ( x) ? x ? 2 的图像上, ? ? ? 2(n ? 2) Sn ?1 Sn S n S n ?1 1 1 ? 数列{ }是首项为 ? 2 公差为 2 的等差数列 Sn S1 1 1 ? ? 2 ? 2(n ? 1) ? S n ? 2n Sn 1 1 1 ? ?? 当 n ? 2时, a n ? S n ? S n ?1 ? 2n 2(n ? 1) 2n(n ? 1) 1 当 n ? 1时a1 ? S n ? 2 ?1 (n ? 1) ?2 ? ? an ? ? ……………………6 分 1 ? (n ? 2) ? ? 2n(1 ? n) 1 (2)由已知得 b1 ? 0, n ? 2时,由(1)知bn ? 2(1 ? n)a n ? n 1 ? n ? 2时, bn ? 2(1 ? n)a n ? n 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? ??? 2 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1) 2 3 (n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ??? ? ? 1? ? Tn ? 1 ? ?1 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ?1 21. 解:(1) an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n). ? 数列 ?an ? n? 是等比数列; an ? n ? 4 n?1

Sn ? (n ?1)2n?1 ? 2 ,

Tn ? 3 ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 6 ?

?1? 1 1 1 1 1 1 ?2n ) ? ?2(1 ? )? ? 的前 n 项和为 ?2(1 ? ? ? ? ... ? ? 2 2 3 n n ?1 n ?1 n ? 1. ? bn ?

(2) Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ? 4 ? 4 ? ... ? 4
0 1

n ?1

?

(3)即证明 n(3n ? 1) ? 4. 可用数学归纳法证明,或用导数方法证明。

n(n ? 1) 1 ? 4n n(n ? 1) 1 n ? ? ? (4 ? 1) 2 1? 4 2 3



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