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《奇偶性》习题 一、选择题 1．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］ ，则( ) A a? 1 ，b＝0 3 B a＝－1，b＝0 C a＝1， b＝0 D a＝3，b＝0 2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，则( ) A C f(－25)＜f(11)＜f(80) f(11)＜f(80)＜f(－25) B D f(80)＜f(11)＜f(－25) f(－25)＜f(80)＜f(11) 1 3．若函数f(x)＝ax＋x(a∈R)，则下列结论正确的是( ) A 任意a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数 B 任意a∈R，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数 C 存在a∈R，函数f(x)为奇函数 D 存在a∈R，函数f(x)为偶函数 4．若函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，又f(2)＝0，则 为( ) f ( x) ? f (? x) 的解集 x A (－2，0)∪(0，2) B (－∞，－2)∪(0，2) C (－∞，－2)∪(2，＋∞) D (－2，0)∪(2，＋∞) f(x)是增函数， 5.设偶函数f(x)的定义域为R， 当 x ∈[0， +∞]时， 则 f (?2) ， f (? ) ， f (?3) 大小关系是( ) A f(π)>f(3)>f(2) B f(π)>f(2)>f(3) C f(π)<f(3)<f(2) D f(π)<f(2)<f(3) 二、填空题 6 若函数 f ( x) 满足 f (? x) ? ? f ( x) ，并且 x ? 0 时， f ( x) ? 2 x 3 ? x ? 1 ，则当 x ? 0 时， f ( x) =_________. 7.若y＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则m ＝_________． f(x)＝x(x＋1)． 8． 已知函数f(x)为R上的奇函数， 当x≥0时， 若f(a)＝－2， 则实数a＝________. f(x)＝x－2， 9． 已知f(x)是定义在R上的偶函数， 并满足f(x＋2)＝－， 当1≤x≤2时， 则f(6.5) ＝________. 三、解答题 10. (14分)判断下列函数的奇偶性： 2x ＋2x (1)f(x)＝ x＋1 ； (2)f(x)＝ 1－x ＋ x －1； 4－x (3)f(x)＝|x＋2|－2 2 2 2 2 11．(15分)设函数y＝f(x)(x ? R且x≠0)对任意非零实数x1、x2满足f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)， 求证：f(x)是偶函数. ?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ? 0, x ? 0 12．(17分)已知函数 f ( x) ? ? 是奇函数． 2 ? x ? mx, x ? 0 ? (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围 一、选择题 1.A 解析：由f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b为偶函数，得b＝0．又定义域为［a－1，2a］ ，∴ a－1＝2a， ∴ a? 2.D 解析：∵ f(x－4)＝－f(x)，∴ T＝8.又f(x)是R上的奇函数，∴ f(0)＝0. ∵ f(x)在[0，2]上是增函数，∴ f(x)在[0，2]上恒大于等于0. 又f(x)是奇函数，∴ f(x)在[－2，0]上也是增函数，且f(x)在[2，0]上恒小于等于0. 易知x∈[2，4]时，f(x)＝－f(x－4)≥0，且f(x)为减函数． 同理f(x)在 [4，6]上为减函数且f(x)≤0.如图． ∵ f(－25)＝f(－1)＜0，f(11)＝f(3)＞0，f(80)＝f(0)＝0，∴ f(－25)＜f (80)＜f(11)． 3.C 解析：当a＝1时，函数f(x)在(0，1)上为减函数， A错；当a＝1时，函数f(x)在(1，＋∞) 上为增函数，B错；D选项中的a不存在． 4.A 解析：因为函数f(x)为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝0，所以x>2或－2<x<0时， f(x)>0；x<－2或0<x<2时，f(x)<0.<0，即<0，可知－2<x<0或0<x<2. 5.A 解析：因为 f ( x ) 是偶函数，所以 f (?2) ? f (2) ， f (?3) ? f (3) 因为当 x ? [0, ??) 时是增 函数，所以 f (2) ? f (3) ? f (? ) ，所以 f (?2) ? f (?3) ? f (?? ) 二、填空题 6. 1 ．故选A． 3 2 x3 ? x ? 1 3 3 解析：当 x ? 0 时， ? x ? 0 ，. f ( x) ? ? f (? x) ? ? ? ? 2(? x) ? (? x) ? 1? ? ? 2x ? x ?1 7. 0 f(－x)＝f(x)，即(m－1)(－ x)2＋ 解析：因为函数y＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，∴ 2m(－x)＋3＝(m1)x2＋2mx＋3，整理，得m＝0． 8. －1 解析：令x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－x(1－x). 又f(x)为奇函数，所以当x<0时，f(x)＝x(1－x). 当<0时，f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0， 解得a＝－1或a＝2(舍去)． 当0时，即，无解. 9. －0.5 解析：由f(x＋2)＝－，得f(x＋4)＝－＝f(x)，故f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为 f(x)是偶函数，得f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)． 而1≤x≤2时，f(x)＝x－2，∴ f(1.5)＝－0.5. 故f(6.5)＝－0.5. 三、解答题 10.解： (1)函数的定义域为{x|x≠－1，}，不关于原点对称， ∴ 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数． ?1 ? x 2 ? 0, (2)由 ? 2 得x＝

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