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空间向量及其加减运算_图文

一.创设情境,提出问题
F
如图,一正三角形钢板,三 顶点用等长的绳子绑起,在 力F的作用下静止,三绳子 的受力情况如何?

F
通过这个实验,我们发现三角形钢板受到的

三个力的特点是:(1)三个力不共面,(2)

三力既有大小又有方向,但不在同一平面上。
所以解决这类问题,需要空间知识,而这种 不在同一平面上的既有大小,又有方向的量, 我们称之为“空间向量”。这就是我们今天 所研究的内容:“空间向量及其加减运算”

二、类比平面向量,推广到空间

内容 概念

平面向量

空间向量

在平面上,既有大 在空间,具有大 小又有方向的量 小和方向的量

画法及其表示

零向量

用有向线段画出来; 用有向线段画出来; AB 表示方式: AB 表示方式: 或 a 或 a 长度为零的向量叫 长度为零的向量叫 做零向量,零向量 做零向量,零向量 的方向是任意的 的方向是任意的
平面中模为1的向量 空间中模为1的向量

单位向量
相反向量

平面中长度相等,方 空间中长度相等,方 向相反的两个向量 向相反的两个向量

1、基本概念

平面中方向相同 相等向量 且模相等的向量
首尾连接的向量, 和向量为第一个向 加法法则 量的起点指向最后 一个向量的终点

空间中方向相同 且模相等的向量
空间中,首尾连接 的向量,和向量为 第一个向量的起点 指向最后一个向量 的终点

同起点的两个向量, 空间中,同起点的两 差向量为连接两个 个向量,差向量为连 减法法则 向量的终点,并且 接两个向量的终点, 并且指向被减向量。 指向被减向量。

⒉空间向量向量的加减法与数乘运算
⑴向量的加法:

b

a

a 三角形法则

平行四边形法则

⑵向量的减法 三角形法则 ⑶向量的数乘 a ka (k>0) (k<0)
K=0?

b
a

ka

⒊空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c); ⑶数乘分配律: λ(a + b) =λa +λb ;

⑷数乘结合律: λ(μa ) = (λμ) a

推广
⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向 量的起点指向末尾向量的终点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
A1

An?1

A2

An A3

A4

⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭 图形,则它们的和为零向量.即:
A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0
A1
A2

An?1

An A3

A4

4、师生互动,探究问题
空间中,任意两个向量是否可能异面?
D’ A’ C’

a
B’
M

D A B

C

5、例题讲解,形成技能
ABCD ? A' B' C ' D',化简下 例1 已知平行六面体 列向量表达式,并标出 化简结果的向量:
D’ A’ B’ C’

⑴AB ? BC; ⑵AB ? AD ? AA';
1 (3) ( AB ? AD ? AA' ). 3
A

D B

C

例1已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D',化简下 列向量表达式,并标出 化简结果的向量:

⑴AB ? BC;
⑵AB ? AD ? AA'; 解:⑴AB ? BC ? AC ⑵AB ? AD ? AA'
? AC ? AA'
D’ A’ B’ C’

  ? AC ? CC' ? AC'
A

D B

C

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体中以公共始点为始点的对角线所示向量

例1已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D',化简下 列向量表达式,并标出 化简结果的向量: 1 (3) ( AB ? AD ? AA' ). 3

解: ⑷设G是线段AC’靠近点A的 三等分点,则
1 ( AB ? AD ? AA' ) 3 1 ? AC ' 3
A’

D’ B’

C’

G
D

.
C B

M

? AG.

A

小结
⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广.
2、始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量

为棱的平行六面体中以公共始点为始点的对角线所示向量

6、巩固练习
练习1、已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简 1 AB ? AD ? CC ',并标出化简结果的向量: 2

解:设M是线段CC’的中点,则
1 AB ? AD ? CC ' 2
D’ C’ B’ M

? AC ? CM

A’

? AM
D A B
C

巩固练习
练习2、已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ', 用AB , AD, AA ',表示向量BD ' 和 BC '

解:

BD ' ? BA ? BC ? BB '
? ? AB ? AD ? AA '
A’

D’

C’

B’
M

BC ' ? BB ' ? BC
? AA ' ? AD
A D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
D1 C1 B1

(2)

AC ? AB1 ? AD 1 ? x AC 1

A1

D

C B

A

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 ? A1D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1D1 ? C1C
A1 ? ( AB ? AA 1 ) ? AD ? (? AA 1) D1 B1 C1

? AB ? AD
? AC
? x ? 1.
A D B C

例2:已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

D1
A1

C1 B1

(2) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
A

D B

C

解: (2) AC ? AB1 ? AD1
? 2( AD ? AB ? AA1 )

? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD)
? 2 AC1

? x ? 2.

练习3:空间四边形ABCD中,E、F分别 是BC、CD边的中点,化简:
A

D F B E

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AF ? ( AB ? AC) 2

C

练习3:空间四边形ABCD中,E、F分别 是BC、CD边的中点,化简:
1 (1) AB ? ( BC ? BD ) 2
A

1 (2) AF ? ( AB ? AC ) 2

(1) 原式 ? AB ? BF
=AF
D F

(2)原式 =AF ? AE

? EF

B

E

C

8 .快速检测,查漏补缺
1、在平行六面体ABCD ? A , B ,C , D ,中,用AB, AD, AA , , 表示 A ,C , BD , , DB ,

2、在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面

AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1) AC ? x( AB ? BC ? CC )
' '

(2) AE ? AA ' ? x AB ? y AD
A 第 2 题 图 B A B E C D

D’
第 A’ 1 题 图

C’ B’ M

D B

C

D

A

C

快速检测答案
1、在平行六面体ABCD ? A , B ,C , D ,中,用AB, AD, AA , , 表示 A ,C , BD , , DB ,

A,C ? A , B , ? A , D , ? A , A , ? AB ? AD ? AA
BD ? BA ? BC ? BB
,
,
,

D’ A’ D

C’ B’ M

? ? AB ? AD ? AA

C B

A
,

DB , ? DA ? DC ? DD ,

? ? AD ? AB ? AA

快速检测答案
2、在正方体ABCD-A’B’C’D’中,点E是面
AC’的中心,求下列各式中的x、y的值.
(1) AC ' ? x( AB ? BC ? CC ' )
(2) AE ? AA ' ? x AB ? y AD
A

(1) AC ' ? AB ? AD ? AA '

E C

D

?x ?1

? AB ? BC ? CC '
'

B A
B

(2) AE ? AA ? A?E
1 , ? AA ? ( AB ? AD ) 2

D C

1 ?x ? y ? 2

AB AC ? AD, 【例1】已知三角形ABC中, ? AB AC

则D点位于(D ) A.BC边的中线上 B.BC边的高线上

C.BC边的中垂线上

D. ∠BAC的平分线上

AB 表示与 AB 方向相同的单位向量。 AB AC 表示与 AC 方向相同的单位向量。 AC

【例2】在空间四边形OABC中,D、E、F 分别是AB、BC、CA的中点,求证:

?1?.2OD ? OA ? OB; ?2?.OA ? OB ? OC ? OD ? OE ? OF . 解: ?1?.? OD ? OA ? AD

O

A 1 ? OA ? AB D 2 B 1 ? OA ? ?OB ? OA? 2 1 ?2OD ? OA ? OB. ? ?OA ? OB ? 2

C

?2?.OA ? OB ? OC ? OD ? OE ? OF .
?2?.? 2OD ? OA ? OB,2OE ? OB ? OC,
2OF ? OA ? OC
O

将三式相加,得

2?OD ? OE ? OF ? ? 2?OA ? OB ? OC ?

A

F D B

C E

? OA ? OB ? OC ? OD ? OE ? OF .


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