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高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 . 离散型随机变量及分布列练习 理-课件


第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 10.7 离散型随机变量 及分布列练习 理
[A 组·基础达标练] 1. [2016·郑州质检]已知随机变量 X 的分布列为 P(X=i)= (i=1,2,3,4), 则 P(2<X≤4) 2a 等于( A. C. 9 10 3 5 ) 7 B. 10 1 D. 2

i

答案 B 1 2 3 4 解析 由分布列的性质, + + + =1,则 a=5. 2a 2a 2a 2a 3 4 7 ∴P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= + = . 10 10 10 2.设随机变量 X 的分布列如下表所示,则 p4 的值是( ) 4

X P
A.1 C. 1 4

1 1 2

2 1 4

3 1 8 1 B. 2 1 D. 8

p4

答案 D 1 1 1 1 解析 由概率之和为 1 可得: + + +p4=1,则 p4= . 2 4 8 8 3.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为:

X P
则 q 等于( A.1 C.1- 2 2 )

-1 0.5

0 1-2q

1

q2
2 2 2 2

B.1± D.1+

答案 C 解析 由分布列的性质得

1

0≤1-2q<1 ? ? 2 ?0≤q <1 ? ?0.5+?1-2q?+q2=1 ∴q=1- 2 ,故选 C. 2

1 0<q≤ ? ? 2 ?? 2 ? ?q=1± 2

4.[2015·武汉模拟]从装有 3 个白球,4 个红球的箱子中,随机取出了 3 个球,恰好是 2 个白球,1 个红球的概率是( A. C. 4 35 12 35
3

) 6 B. 35 36 D. 343
2 1

答案 C 解析 本次试验总共的基本事件为 C7,本次事件需要的基本事件为 C3C4,发生的概率为 C3C4 12 ,故选 C. 3 = C7 35 5.设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则
2 1

P(X=0)等于(
A.0 C. 1 3

) 1 B. 2 2 D. 3

答案 C 1 2 解析 X 服从两点分布,a+b=1,a=2b,b= ,a= ,a 表示成功的概率,则 P(X=0) 3 3 1 =b= . 3 6.在 15 个村庄有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村 C7C8 庄中交通不方便的村庄数,下列概率中等于 10 的是( C15 A.P(X=2) C.P(X=4) 答案 C 解析 由超几何分布可得选 C. 7.设随机变量 ξ 等可能取 1,2,3,?,n,若 P(ξ <4)=0.3,则 n=________. 答案 10 1 解析 因为 1,2,3,?,n 每个值被取到的概率为 ,故 P(ξ <4)=P(ξ =1)+P(ξ =2)
4 6

)

B.P(X≤2) D.P(X≤4)

n

1 1 1 3 +P(ξ =3)= + + = =0.3,所以 n=10.

n n n n

8.从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛,则所选 3 人中女生人数不超过 1
2

人的概率为________. 答案 4 5
3 2 1

C4+C4C2 16 4 解析 P= = = . 3 C6 20 5 9.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有 抢到题的队伍得 0 分,抢到题并回答正确的得 1 分,抢到题但回答错误的扣 1 分(即得-1 分).若 X 是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则 X 的所有可能取值是________. 答案 -1,0,1,2,3 解析 由离散型随机变量 X 取值可得-1,0,1,2,3. 10.为适应公安部交通管理局印发的《加强机动车驾驶人管理指导意见》 ,某驾校将小型 汽车驾照考试科目二的培训测试调整为: 从 10 个备选测试项目中随机抽取 4 个, 只有选中的 4 个项目均测试合格,科目二的培训才算通过.已知甲对 10 个测试项目测试合格的概率均为 0.8;乙对其中 8 个测试项目完全有合格把握,而对另 2 个测试项目根本不会. (1)求甲恰有 2 个测试项目合格的概率; (2)记乙的测试项目合格数为 ξ ,求 ξ 的分布列. 解 概率为
2 2 P(X=2)=C2 4(0.8) (1-0.8) =

(1)设甲的测试项目的合格数为 X,则 X~B(4,0.8),则甲恰有 2 个测试项目合格的 96 . 625
2 2

C8C2 2 (2)ξ 的可能取值为 2,3,4,且服从超几何分布,故 P(ξ =2)= 4 = ; C10 15

P(ξ =3)=

C8C2 8 ; 4 = C10 15 C8 1 C10 3
4

3 1

P(ξ =4)= 4 = .
所以 ξ 的分布列为 ξ 2 2 15 3 8 15 4 1 3

P

[B 组·能力提升练] 1. 已知某篮球运动员比赛中罚球的命中率为 0.8, 每次罚球命中得 1 分, 罚不中得 0 分. 则 它罚球一次得分 ξ 的期望是________. 答案 0.8 解析 E(ξ )=0.8×1+(1-0.8)×0=0.8. 2.一袋内装有 m 个白球,n-m 个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止, 设此时取出 2 个白球的概率为________. 答案 ?n-m?Am 3 An
2

解析 P(ξ =2)= ×

m m-1 n-m ?n-m?·A2 m × = . 3 n n-1 n-2 An
3

1 3. 现有甲、 乙、 丙三人参加某电视台的应聘节目 《非你莫属》 , 若甲应聘成功的概率为 , 2 乙、丙应聘成功的概率均为 (0<t<2),且三个人是否应聘成功是相互独立的. 2 (1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率,求 t 的值; (2)记应聘成功的人数为 ξ ,若当且仅当 ξ 为 2 时概率最大,求 E(ξ )的取值范围. 解

t

t ? t? 1 (1)由题意得 2× ×?1- ?= , 2 ? 2? 2

解得 t=1. (2)ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,
2 ? 1?? t?? t? ?2-t? ; P(ξ =0)=?1- ??1- ??1- ?= 2 2 2

?

??

?? ?

?

8

2 1 ? t? ? t? ? 1? t ? t? 4-t ; P(ξ =1)= ×?1- ?×?1- ?+2×?1- ?× ×?1- ?=

2 ?

2?

2?

?

2?

2 ?

2?

8

1 t ? t? ? 1? t t 4t-t P(ξ =2)=2× × ×?1- ?+?1- ?× × = ; 2 2

2

?

2? ?

2?

2 2

8

1 t t t P(ξ =3)= × × = . 2 2 2 8 故 ξ 的分布列为: ξ 0 ?2-t? 8
2

2

1 4-t 8
2

2 4t-t 8
2

3

P

t2
8

1 ∴E(ξ )=t+ . 2 -t +4t-2 由题意得:P(ξ =2)-P(ξ =1)= >0,P(ξ =2)-P(ξ =0)= >0,P(ξ 2 4 2t-t =2)-P(ξ =3)= >0,又因为 0<t<2, 4 所以 t 的取值范围是 1<t<2. 3 5 ?3 5? ∴ <E(ξ )< .即 E(ξ )的取值范围为? , ?. 2 2 ?2 2? 4.[2016·哈尔滨调研]PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准 GB3095-2012,PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级; 在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级; 在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 从某自然保护区 2013 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取 10 天的数据作为样本, 监测值频数如下表所示: PM2.5 日均 值 (微克/立 [25, 35] (35, 45] (45, 55] (55, 65] (65, 75] (75, 85]
2

t-1

2

4

方米) 频数 级的概率; (2)从这 10 天的数据中任取 3 天数据.记 X 表示抽到 PM2.5 监测数据超标的天数,求 X 的分布列. 解 (1)记“从 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天,恰有一天空气质量达 C3·C7 21 = . 3 C10 40
1 2

3

1

1

1

1

3

(1)从这 10 天的 PM2.5 日均值监测数据中,随机抽出 3 天,求恰有一天空气质量达到一

到一级”为事件 A,则

P(A)=

(2)依据条件,X 服从超几何分布,其中 N=10,M=3,n=3,且随机变量 X 的可能取值 为 0,1,2,3. C3·C7 P(X=k)= (k=0,1,2,3), 3 C10 所以随机变量 X 的分布列为
k
3-k

X P

0 7 24

1 21 40

2 7 40

3 1 120

5.[2015·贵阳模拟]设 ξ 为随机变量,从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条,当 两条棱相交时,ξ =0,当两条棱平行时,ξ ξ =1. (1)求概率 P(ξ =0); (2)求 ξ 的分布列. 解 (1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个,过任意 1 个顶点恰有 3
2 2 3

的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,

8C3 8×3 4 条棱,所以共有 8C 对相交棱,因此 P(ξ =0)= 2 = = . C12 66 11 (2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2,其中距离为 2的共有 6 对, 6 1 故 P(ξ = 2)= 2 = , C12 11 4 1 6 于是 P(ξ =1)=1-P(ξ =0)-P(ξ = 2)=1- - = . 11 11 11 所以随机变量 ξ 的分布列是 ξ 0 4 11 1 6 11 2 1 11

P

5



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