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2016




弦切角的性质

1.掌握弦切角定理,并能利用它解决有关问题.(重点) 2.体会分类思想,运动变化思想和化归思想.(难点)

[基础·初探] 教材整理 弦切角定理 阅读教材 P33~P34,完成下列问题. 1.弦切角 顶点在圆上,一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角. 2.弦切角定理 (1)文字语言叙述: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. (2)图形语言叙述: 如图 2?4?1,AB 与⊙O 切于 A 点,则∠BAC=∠D.

图 2?4?1

1.P 在⊙O 外,PM 切⊙O 于 C,PAB 交⊙O 于 A,B,则( A.∠MCB=∠B C.∠PCA=∠B 【解析】 由弦切角定理知∠PCA=∠B. 【答案】 C B.∠PAC=∠P D.∠PAC=∠BCA

)

1

2.如图 2?4?2 所示,MN 与⊙O 相切于点 M,Q 和 P 是⊙O 上两点,∠PQM=70°,则∠

NMP 等于(

)

图 2?4?2 A.20° C.110° B.70° D.160°

【解析】 根据弦切角定理:∠NMP=∠PQM=70°. 【答案】 B [质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:

[小组合作型] 利用弦切角定理解决与角 有关的问题 如图 2?4?3,AB 是半圆 O 的直径,C 是圆周上一点(异于 A,B),过 C 作圆 O 的 切线 l,过 A 作直线 l 的垂线 AD,垂足为 D,AD 交半圆于点 E,求证:CB=CE.

图 2?4?3 【精彩点拨】 解答本题的关键是运用弦切角定理与圆周角定理的有关知识, 进行角度 的等量替换. 【自主解答】 连接 AC,BE,在 DC 延长线上取一点 F,因为 AB 是半圆 O 的直径,C 为 圆周上一点,
2

所以∠ACB=90°,即∠BCF+∠ACD=90°. 又因为 AD⊥l,所以∠DAC+∠ACD=90°, 所以∠BCF=∠DAC. 又因为直线 l 是圆 O 的切线,所以∠CEB=∠BCF, 又∠DAC=∠CBE,所以∠CBE=∠CEB,∴CB=CE. 则∠CEB=∠DAC,由圆周角定理知∠DAC=∠CBE,∴∠CBE=∠CEB,∴CB=CE.

1.把证明线段相等转化为证明角的相等是弦切角定理应用的常见题目. 2.利用弦切角定理进行计算、证明,要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角,有时与 圆的直径所对的圆周角结合运用, 同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦 切角.

[再练一题] 1.如图 2?4?4,已知 AB 是⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 C,过 A 作 AD⊥CD,D 为垂足.

图 2?4?4 (1)求证:∠DAC=∠BAC; 4 (2)若 AC=8,cos∠BAC= ,求⊙O 的直径. 5 【解】 (1)证明:连接 BC,OC, 因为 AB 是⊙O 的直径,所以∠ACB=90°, 所以∠B+∠BAC=90°. 因为直线 CD 与⊙O 相切于点 C, 所以∠ACD=∠B,∠OCD=90°.
3

因为 AD⊥CD, 所以∠DAC+∠ACD=90°. 所以∠DAC=∠BAC. 4 AC 4 (2)因为 cos∠BAC= ,所以 = , 5 AB 5 因为 AC=8,所以 AB=10, 故⊙O 的直径为 10. 利用弦切角定理证明比例式 或乘积式 如图 2?4?5,PA,PB 是⊙O 的切线,点 C 在 垂足分别为 D,E,F,求证:CD =CE·CF. 【导学号:07370042】
2

上,CD⊥AB,CE⊥PA,CF⊥PB,

图 2?4?5 【精彩点拨】 连接CA,CB,∠CAP= → ∠CBA,∠CBP=∠CAB Rt△CAE∽Rt△CBD CE CD → = → 结论 Rt△CBF∽Rt△CAD CD CF 【自主解答】 连接 CA,CB.

∵PA,PB 是⊙O 的切线. ∴∠CAP=∠CBA,∠CBP=∠CA 又 CD⊥AB,CE⊥PA,

B.

CF⊥PB,
∴Rt△CAE∽Rt△CBD, Rt△CBF∽Rt△CAD,

4

∴ ∴

CA CE CB CF = , = , CB CD CA CD CE CD 2 = ,即 CD =CE·CF. CD CF

1.解答本题的难点在于乘积式中的线段不在两个相似三角形中,需用中间量过渡. 2.弦切角定理经常作为工具,进行三角形相似的证明,然后利用三角形相似进一步确 定相应边之间的关系,在圆中证明比例式或等积式,常常需要借助于三角形相似处理. 3.弦切角定理有时还需与圆周角定理等知识综合运用,它们不但在证明方法上相似, 在解题功能上也有相似之处,通常都作为辅助工具出现.

[再练一题] 2.如图 2?4?6,已知 AB 是⊙O 的直径,AB=AC,BC 交⊙O 于点 D,DE⊥AC,E 为垂足.

图 2?4?6 (1)求证:∠ADE=∠B; (2)过点 O 作 OF∥AD,与 ED 的延长线相交于点 F,求证:FD·DA=FO·DE. 【证明】 (1)连接 OD, 因为 OA=OD, 所以∠OAD=∠ODA. 因为 AB 是⊙O 的直径, 所以∠ADB=90°,即 AD⊥BC. 又因为 AB=AC, 所以 AD 平分∠BAC, 即∠OAD=∠CAD, 所以∠ODA=∠DAE=∠OAD. 因为∠ADE+∠DAE=90°, 所以∠ADE+∠ODA=90°,即∠ODE=90°,OD⊥EF. 因为 OD 是⊙O 的半径,所以 EF 是⊙O 的切线.
5

所以∠ADE=∠B. (2)因为 OF∥AD,所以∠F=∠ADE. 又因为∠DEA=∠FDO(已证),所以△FDO∽△DEA. 所以 FD∶DE=FO∶DA,即 FD·DA=FO·DE. [构建·体系]

1.如图 2?4?7,AB 是半圆 O 的直径,C,D 是半圆上的两点,半圆 O 的切线 PC 交 AB 的 延长线于点 P,∠PCB=25°,则∠ADC 为( )

图 2?4?7 A.105° C.120° B.115° D.125°

【解析】 连接 AC,构造出夹圆周角∠ADC 所对弧的弦切角,即∠PCA,而∠PCA 显然 等于∠PCB 加上一个直角,由此即得结果.

【答案】 B 2.如图 2?4?8,四边形 ABCD 是圆的内接四边形,AB 是直径,MN 是切圆于 C 点的切线, 若∠BCM=38°,则∠B=( )

图 2?4?8 A.32° C.52° 【解析】 如图,连接 AC.
6

B.42° D.48°

∵∠BCM=38°,MN 是⊙O 的切线, ∴∠BAC=38°. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠B=90°-38°=52°. 【答案】 C 3. 如图 2?4?9, A, B 是⊙O 上的两点, AC 是⊙O 的切线, ∠B=65°, 则∠BAC=________.

图 2?4?9 【解析】 ∵OA=OB, ∠B=65°, ∴∠OAB=65°, ∴∠O=50°, 1 ∴∠BAC= ∠O=25°. 2 【答案】 25° 4. 如图 2?4?10, 已知 AB 为圆的直径, 弦 AC 与 AB 成 30°角, DC 切圆于点 C, AB=5 cm, 则 BD 等于________cm.

图 2?4?10 【解析】 如图,连接 BC,

∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°. ∵∠A=30°,AB=5 cm,

7

5 ∴BC= cm,∠CBA=60°. 2 ∵CD 切⊙O 于 C, ∴∠DCB=∠A=30°, ∴∠D=30°, 5 ∴BD=BC= cm. 2 【答案】 5 2

5.如图 2?4?11,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交 圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D.

图 2?4?11 (1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径. 【解】 (1)证明:如图,连接 DE,交 BC 于点 G.

由弦切角定理,得∠ABE=∠BCE, 而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,所以 BE=CE. 又因为 DB⊥BE,所以 DE 为圆的直径,∠DCE=90°. 又因为 DE=DE,所以△DBE≌△DCE, 所以 DB=DC. (2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 边的中垂线,所以 BG= 3 . 2

设 DE 的中点为 O,连接 BO,则∠BOG=60°,从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以

CF⊥BF,故 Rt△BCF 外接圆的半径等于

3 . 2

8

我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2)

学业分层测评(九) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1 1. 如图 2?4?12 所示, AB 是⊙O 的直径, MN 与⊙O 切于点 C, AC= BC, 则 sin∠MCA=( 2 )

图 2?4?12 A. C. 1 2 3 2 B. D. 2 2 5 5

【解析】 由弦切角定理,得∠MCA=∠ABC. ∵sin∠ABC= = 【答案】 D 2.如图 2?4?13,在圆的内接四边形 ABCD 中,AC 平分∠BAD,EF 切⊙O 于 C 点,那么图 中与∠DCF 相等的角的个数是( )

AC AB

AC AC 5 = = ,故选 D. 2 2 AC +BC 5AC 5

9

图 2?4?13 A.4 C.6 B.5 D.7

【解析】 ∠DCF=∠DAC,∠DCF=∠BAC,∠DCF=∠BCE, ∠DCF=∠BDC,∠DCF=∠DBC. 【答案】 B 3.如图 2?4?14 所示,AB 是⊙O 的直径,EF 切⊙O 于 C,AD⊥EF 于 D,AD=2,AB=6, 则 AC 的长为( )

图 2?4?14 A.2 C.2 3 B.3 D.4

【解析】 连接 BC.∵AB 是⊙O 的直径, ∴AC⊥BC,由弦切角定理可知, ∠ACD=∠ABC,∴△ABC∽△ACD, ∴

AC AB = , AD AC
2

∴AC =AB·AD=6×2=12, ∴AC=2 3,故选 C. 【答案】 C 4.如图 2?4?15,PC 与⊙O 相切于 C 点,割线 PAB 过圆心 O,∠P=40°,则∠ACP 等于 ( ) 【导学号:07370043】

图 2?4?15
10

A.20° C.30° 【解析】 如图,连接 OC,BC,

B.25° D.40°

∵PC 切⊙O 于 C 点, ∴OC⊥PC,∵∠P=40°,∴∠POC=50°. ∵OC=OB, 1 ∴∠B= ∠POC=25°, 2 ∴∠ACP=∠B=25°. 【答案】 B 5.如图 2?4?16 所示,已知 AB,AC 与⊙O 相切于 B,C,∠A=50°,点 P 是⊙O 上异于

B,C 的一动点,则∠BPC 的度数是(

)

图 2?4?16 A.65° B.115° C.65°或 115° D.130°或 50° 【解析】 当点 P 在优弧 上时,

由∠A=50°,得∠ABC=∠ACB=65°. ∵AB 是⊙O 的切线,∴∠ABC=∠BPC=65°. 当 P 点在劣弧 故选 C. 【答案】 C 二、填空题 6.如图 2?4?17 所示,直线 PB 与圆 O 相切于点 B,D 是弦 AC 上的点,∠PBA=∠DBA.若
11

上时,∠BPC=115°.

AD=m,AC=n,则 AB=________.

图 2?4?17 【解析】 ∵PB 切⊙O 于点 B,∴∠PBA=∠ACB. 又∠PBA=∠DBA,∴∠DBA=∠ACB, ∴△ABD∽△ACB. ∴

AB AD 2 = ,∴AB =AD·AC=mn, AC AB

∴AB= mn. 【答案】

mn

7.如图 2?4?18,已知△ABC 内接于圆 O,点 D 在 OC 的延长线上.AD 是⊙O 的切线,若 ∠B=30°,AC=2,则 OD 的长为__________.

图 2?4?18 【解析】 连接 OA, 则∠COA=2∠CBA=60°, 且由 OC=OA 知△COA 为正三角形,所以 OA=2. 又因为 AD 是⊙O 的切线,即 OA⊥AD, 所以 OD=2OA=4. 【答案】 4 8.如图 2?4?19,点 P 在圆 O 直径 AB 的延长线上,且 PB=OB=2,PC 切圆 O 于 C 点,CD ⊥AB 于 D 点,则 CD=________.

图 2?4?19 【解析】 连接 OC,∵PC 切⊙O 于点 C,
12

∴OC⊥PC,

∵PB=OB=2,OC=2, ∴PC=2 3,∵OC·PC=OP·CD, 2×2 3 ∴CD= = 3. 4 【答案】 三、解答题 9.如图 2?4?20 所示,△ABT 内接于⊙O,过点 T 的切线交 AB 的延长线于点 P,∠APT 的平分线交 BT,AT 于 C,D. 3

图 2?4?20 求证:△CTD 为等腰三角形. 【证明】 ∵PD 是∠APT 的平分线,∴∠APD=∠DPT. 又∵PT 是圆的切线,∴∠BTP=∠A. 又∵∠TDC=∠A+∠APD, ∠TCD=∠BTP+∠DPT, ∴∠TDC=∠TCD,∴△CTD 为等腰三角形. 10.如图 2?4?21,AB 是⊙O 的弦,M 是 上任一点,过点 M 的切线与分别以 A,B 为
2

垂足的直线 AD,BC 交于 D,C 两点,过 M 点作 NM⊥CD 交 AB 于点 N,求证:MN =AD·BC.

图 2?4?21 【证明】 连接 AM,MB,

13

因为 DA⊥AB,MN⊥CD, 所以∠MDA+∠MNA=180°. 又因为∠MNA+∠MNB=180°, 所以∠MDA=∠MNB, 又因为 CD 为⊙O 的切线,所以∠1=∠2, 所以△ADM∽△MNB, 所以 = ,同理 =

AD AM MN BM AD MN MN BC

MN AM , BC BM
2

所以 = ,即有 MN =AD·BC. [能力提升] 1. 在圆 O 的直径 CB 的延长线上取一点 A, AP 与圆 O 切于点 P, 且∠APB=30°, AP= 3, 则 CP=( A. 3 C.2 3-1 【解析】 如图,连接 OP,则 OP⊥PA, 又∠APB=30°, ∴∠POB=60°, 在 Rt△OPA 中,由 AP= 3, 易知,PB=OP=1, 在 Rt△PCB 中, 由 PB=1,∠PBC=60°,得 PC= 3. 【答案】 A 2.如图 2?4?22,AB 是⊙O 直径,P 在 AB 的延长线上,PD 切⊙O 于 C 点,连接 AC,若 ) 【导学号:07370044】 B.2 3 D.2 3+1

AC=PC,PB=1,则⊙O 的半径为(

)

图 2?4?22
14

A.1 C.3 【解析】 连接 BC. ∵AC=PC,∴∠A=∠P. ∵∠BCP=∠A,∴∠BCP=∠P, ∴BC=BP=1. 由△BCP∽△CAP,得

B.2 D.4

PC2=PB·PA,
即 AC =PB·PA. 而 AC =AB -BC , 设⊙O 半径为 r, 则 4r -1 =1·(1+2r),解得 r=1. 【答案】 A 3.如图 2?4?23,过圆 O 外一点 P 分别作圆的切线和割线交圆于 A,B,且 PB=7,C 是 圆上一点使得 BC=5,∠BAC=∠APB,则 AB=__________.
2 2 2 2 2 2

图 2?4?23 【解析】 由 PA 为⊙O 的切线,BA 为弦, 得∠PAB=∠BCA. 又∠BAC=∠APB, 于是△APB∽△CAB, 所以 = . 而 PB=7,BC=5, 故 AB =PB·BC=7×5=35,即 AB= 35. 【答案】 35
2

PB AB AB BC

4.如图 2?4?24,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直

CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连接 AE,BE.

15

图 2?4?24 证明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF =AD·BC. 【证明】 (1)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠CEB=∠EAB. π 由 AB 为⊙O 的直径,得 AE⊥EB,从而∠EAB+∠EBF= . 2 π 又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF= . 2 从而∠FEB=∠EAB,故∠FEB=∠CEB. (2)由 BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE 是公共边,得 Rt△BCE≌Rt△BFE,所以 BC =BF. 类似可证 Rt△ADE≌Rt△AFE,得 AD=AF. 又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB,故 EF =AF·BF, 所以 EF =AD·BC.
2 2 2

16


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