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2009~2010学年度第一学期期末考试高一数学(必修2)试卷[1]1

高一数学(必修 2)试卷模拟
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题恰有一项是符合题目要求的.) .... 1.下列命题:①三个点确定一个平面; ②一条直线和一个点确定一个平面;③两条相交直线确定一个平 面;④两条平行直线确定一个平面;⑤梯形一定是平面图形. 其中正确的个数有( ). A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 2.若 A ( ? 2, 3), B (3, ? 2 ), C ( , m ) 三点共线, 则 m 的值为(
m

1

).

2

A. 2

B. ?

1 2

C. ? 2

D.

1 2

3.直线 2 x ? 3 y ? 7 ? 0 与直线 5 x ? y ? 9 ? 0 的交点坐标是(
2 A. ?1, ? 1 B. ? 2,? 1 C. ?3,? 3 D. ?1,?

).

4.已知直线 l 1 : ax ? 3 y ? 1 ? 0 和 l 2 : x ? ? a ? 2 ? y ? a ? 0 ,若 l 1 ? l 2 ,则 a 的值为( A.
3 2

).

B. 3

C.

4 3

D. 4 ).

5.直线 kx ? y ? 1 ? 3 k ? 0 ,当 k 变动时,所有直线都通过定点(
0 A. ?1, ? 1 B. ? 0,? 1 C. ?3,? 3 D. ?1,?

6.一个正方体的各个顶点均在同一个球的球面上,若正方体的边长为 2, 则该球的体积为( A. 4? B. 2 ? C. 4 3? D.4

).

7.设 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m?? , n / /? ,则 m n; ? ③若 m/ /? , n / /? ,则 m/ /n ; 其中正确命题的序号是 ( ). A.①和④ B.①和②
2 2 2 2

②若 ? / / ? , ? / /? , m?? ,则 m? ? ; ④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? .

C.③和④

D.②和③ ).

8.圆 x ? y ? 2 x ? 0 和圆 x ? y ? 4 y ? 0 的位置关系是( A.相离 B.相交
2 2

C.外切

D.内切 ).

9.直线 3 x ? y ? m ? 0 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 ? 0 相切,则实数 m 等于( A. 3或 ?
3
2

B. ?
2

3或 3 3

C. ? 3 3或 3

D. ? 3 3或 3 3 ).

10.已知圆的方程为 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则该圆关于直线 y ? x 对称圆的方程为( A. x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

B. x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0
2 2

C. x ? y ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0
2 2

D. x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0
2 2

1

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.)
0 2 3 ? 11.空间直角坐标系中点 A 和点 B 的坐标分别是 ? ? 1,, ? , ?0,, 1 ? ,则 | AB |? ___

_.

12.两条平行直线 3 x ? 4 y ? 10 与 6 x ? 8 y ? 15 ? 0 的距离是 13.圆心为 ( ? 2 , 3 ) 且与直线 y 轴相切的圆的方程是 14.右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中: ① BM 与 DE 平行;② CN 与 BE 是异面直线; ③ CN 与 BM 成 60 ? 角;④ DM 与 BN 垂直. 其中,正确命题的序号是______________________.

. .

三、解答题(本大题共6小题,共80分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.) 15.(本小题满分 12 分) 分别求满足下列条件的直线方程: (1)过点 ( 0 , ? 1) ,且平行于 l 1 : 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的直线; (2)与 l 2 : x ? y ? 1 ? 0 垂直,且与点 P ( ? 1, 0 ) 距离为 2 的直线.

16.(本小题满分 12 分) 右图是一个几何体的三视图(单位: cm ). (1)计算这个几何体的体积; (2)计算这个几何体的表面积.

5

15 10 正视图

8 侧视图

俯视图

17.(本小题满分 14 分) 如图, 已知矩形 ABCD 中,AB ? 10 ,BC ? 6 ,将矩形沿对角线 BD 把 ? ABD 折起, A 移到 A1 点, 使 且 A1 O ? 平面 BCD . (1)求证: BC ? A1 D ;

A1

D

O C
2

(2)求证: 平面 A1 BC ? 平面 A1 BD ; (3)求三棱锥 A1 ? BCD 的体积.

18.(本小题满分 14 分) 已知长方体 A1 B 1 C 1 D 1 ? ABCD 的高为 2 ,两个底面均为边长为 1 的正方形.
A1

(1)求证: BD // 平面 A1 B 1 C 1 D 1 ; (2)求异面直线 A 1 C 与 AD 所成角的大小; (3)求二面角 A1 ? BD ? A 的平面角的正弦值.
A B1 C1

D1

D

B

C

19.(本小题满分 14 分) 如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成. 已知隧道总宽度 AD 为
6 3 m ,行车道总宽度 BC 为 2 11 m ,侧墙 EA , FD 高为 2 m ,弧顶高 MN 为 5 m .

(1)建立直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程. (2) 为了保证安全, 要求行驶车辆顶部 (设为平顶) 与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 0 . 5 m . 请计算车辆通过隧道的限制高度是多少?
M

E

F

A

B

N

C

D

20.(本小题满分 14 分) 已知曲线 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 .
2 2

(1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆;并求出圆心坐标和半径长. (2)若曲线 C 与直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 交于 M , N 两点,且 O M ? O N ( O 为坐标原点),求 m 的值.

3

2009~2010 学年度高一数学第一学期 期末考试参考答案
4

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题恰有一项是符合题目要求的.) ....

1.C

2.D

3.B

4.A

5.C

6.C

7.B

8.B

9.C

10.D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11.
19

12.

1 2

13. ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 4
2 2

14. ③④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.) 15.解:(1)? 平行于 l1 ,
? 斜率为 ? 2 ,

又过点为 ( 0 , ? 1) , ? 由点斜式可得直线方程为 y ? 1 ? ? 2 ( x ? 0 ) , 即 2 x ? y ? 1 ? 0 . ………………………………………………………………………6 分 (2)? 直线与 l 2 垂直,可设直线方程为 x ? y ? m ? 0 , 点 P ( ? 1, 0 ) 到直线距离 d ?
?1? m 2 ? 2 ,

解得 m ? 3 或 m ? ? 1 ,

所以所求直线方程为 x ? y ? 3 ? 0 或 x ? y ? 1 ? 0 . …………………………………12 分 16.解:(1)因为 V 长方体 ? 10 ? 8 ? 15 ? 1200( cm ),
3

又 V 半球 ?

1 2

?

4 3

?R

3

125 ?5? ? ? ? ?? ? ? ? cm 2 3 12 ?2? 1 4

3

?

3

?,
? ? ?cm
? ?
3

所以所求的几何体体积 V ? V 长方体 ? V 半球 ? ? 1200 ?
?

?

125 12
2

?.

…………………6 分

( (2)因为 S 长方体 ? 2 ? (10 ? 8 ? 8 ? 15 ? 10 ? 15 ) ? 700 cm ),
1 2 ?5? ? ? 4? ? ? ? 2 ?2? 1
2

S 半球 ?

? 4? R

2

?

25 2

? ( cm ) S 半球底 ? ? R ,
2

2

?5? ??? ? ?2?

2

?

25 4

? ( cm ),
2

所以 S ? S 长方体 ? S 半球 ? S 半球底 ? 700 ?

25 2

? ?

25 4

? ? 700 ? (

25 4

? )( cm ).
2

……12 分 A1

17.证明:(1)? A 1 O ? 平面 BCD , BC ? 平面 BCD ,? A 1 O ? BC ,
又 ? CD ? BC , A 1 O ? CD ? O , ? BC ? 平面 A 1 OD , ? BC ? A 1 D . ? A 1 D ? 平面 A 1 OD ,

D

O C

…………………………………………5 分 又? A 1 B ? A 1 D , A 1 B ? BC ? B ,
? A 1 D ? 平面 A 1 DB ,

A

B

(2)由(1)知: BC ? A 1 D ,
? A 1 D ? 平面 A 1 BC , ? 平面 A 1 DB ? 平面 A 1 BC .

…………………………………………………………………10 分
? A 1 C ? 平面 A 1 BC ,

(3)由(2)知: A 1 D ? 平面 A 1 BC ,

5

? A 1D ? A 1C ,
? V A 1 - BCD ? V D ? A1 BC ?

? A 1C ?

10

2

-6

2

? 8,

1 3

?

1 2

? 6 ? 8 ? 6 ? 48 .

………………………………………………14 分

18.证明:(1)连结 B 1 D 1 ,

? A1 B 1 C 1 D 1 ? ABCD 是长方体,

? B 1 B//D 1 D 且 B 1 B ? D 1 D ,? 四边形 B 1 BDD 1为平行四边形
? BD//B



1

D 1 ,? B 1 D 1 ? 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 , BD ? 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 ,

? BD// 平面 A 1 B 1 C 1 D 1 .

……………………………………………………………………4 分
D1 , ? ? CA 1 D 1 或其补角是异面直线 A 1 C 与 AD 所成角.
A1

(2)由长方体的性质得: AD//A

1

连结 D 1 C ,? A 1 D 1 ? 平面 D 1 DCC 1 , 在 Rt ? A 1 D 1 C 中, A 1 D 1 ? 1 , CD
? tan ? CA 1 D 1 ? CD
1

? A 1D 1 ? D 1C ,
B1 C1

D1

1

?

CD

2

? D1 D

2

?

3,
A O

?

3,

A 1 D1
0

? ? CA 1 D 1 ? 60 ,
0

D C

即异面直线 A 1 C 与 AD 所成角为 60 . ……………………………………………………9 分 (3)连结 AC ,设 AC 与 B D 交于 O , ? 四边形 ABCD 为正方形 ,
? AC ? BD ,连结 A 1 O ,

B

? A 1 A ? 平面 ABCD ,则 BD ? A 1 O , ? ? A 1 OA 是二面角 A1 ? BD ? A 所成角的平面角,
2 2

在 Rt ? A 1 AO 中,? A1 A ? 1, AO ?

,? A 1 O ?

AO

2

? AA

2 1

?

? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ?

2

? 2?

2

?

10 2



? sin ? A1 OA ?

AA 1 A1 O

?

2 5 5

,所以二面角 A1 ? BD ? A 所成角的平面角的正弦值为

2 5 5

.

…………………………………………………………………………………………………14 分 19.解:(1)方法一:以 EF 所在的直线为 x 轴,以 MN 所在的直线为 y 轴,以 1 m 为单位长度建立直角 坐标系,则有 E ( ? 3 3 , 0 ) , F ( 3 3 , 0 ) , M ( 0 ,3 ) , 由于所求圆的圆心在 y 轴上,所以设圆的方程为 x ? ( y ? b ) ? r ,
2 2 2

y M x E O F

∵ F ( 3 3 , 0 ) , M ( 0 ,3 ) 都在圆上,
? (3 3 ) 2 ? b 2 ? r 2 ? ?? 2 ? 0 2 ? ?3 ? b ? ? r 2 ?
2

解得 b ? -3 , r ? 36 ,
2

A

B

N

C

D

所以圆的方程是 x ? ? y ? 3 ? ? 36 .
2

……………………………………………………7 分
6

方法二:以 EF 所在的直线为 x 轴,以 MN 所在的直线为 y 轴,以 1m 为单位长度建立直角坐标系. 设所求圆的圆心为 G,半径为 r,则点 G 在 y 轴上, 在 Rt △ GOE 中, OE ? 3 3 , GE ? r , OG ? r - 3 , 则由勾股定理得: r ? 3 3
2

?

?

2

? ?r ? 3 ?

2

解得: r ? 6 ,
2 2

? 则圆心 G 的坐标为 ? 0, 3 ? ,所以圆的方程是 x ? ? y ? 3 ? ? 36 .

(2)设限高为 h ,作 CP ? AD 交圆弧于点 P ,则 CP ? h ? 0.5 , 将点 P 的横坐标 x ?
11 代入圆的方程,得 ( 11 ) ? ? y ? 3 ? ? 36 ,
2 2

得 y ? 2或 y ? ? 8 (舍 ) ,

所以 h ? CP - 0.5 ? (y ? DF ) - 0.5 ? 3.5(m) . 答:车辆的限制高度为 3.5m. 20.解:(1)由判别式 D 2
2

……………………………………………………………………14 分
2 2

? E ? 4 F ? 0 ,得 D ? E ? 4 F ? 4 ? 16 ? 4 m ? 0



∴ m ? 5 ,圆心坐标为 ?1, 2 ? ,半径长 r ? (2)设 M ? x1 , y 1 ? , N ? x 2 , y 2 ? ,由 O M ? O N ,

5?m .
y1 x1 ? y2 x2

………………………………………5 分

? ? 1 ,即 x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 .

将直线方程 x ? 2 y ? 4 ? 0 与曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 联立并消去 y ,
8 5

得 5 x ? 8 x ? 4 m ? 16 ? 0 ,
2

由韦达定理,得 x 1 ? x 2 ?

①,

x1 x 2 ?

4m ? 16 5

②,

又由 x ? 2 y ? 4 ? 0 得 y ?

1 2

?4 ? x? ,
x1 ? ? 1 2

∴ x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? 将①、②代入得
5 4 ?

1 2

?4 ?

?4 ?

x2 ? ?

5 4

x1 x 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 4 ? 0 ,
8 5

4 m ? 16 5

?

8 5

?4 ? 0,

解得 m ?

.

……………………14 分

7


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