当前位置:首页 >> 数学 >>

《24.2+与圆有关的位置关系》2010年同步学习检测(一)


《24.2 与圆有关的位置关系》 2010 年 同步学习检测(一)

? 2011 菁优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

一、填空题(共 50 小题,每小题 2 分,满分 100 分) 1、 (2009?南充)△ ABC 中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm,以点 B 为圆心、6cm 为半径作⊙ B, 则边 AC 所在的直线与⊙ B 的位置关系是 相切 . 考点:直线与圆的位置关系;勾股定理的逆定理。 分析:根据勾股定理的逆定理得:AC⊥ BC;则圆心 B 到直线 AC 的距离就是 BC=6,即圆心到 直线的距离等于圆的半径,那么直线和圆相切. 解答:解:∵ △ ABC 中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm, 2 2 2 ∴ AB =AC +BC , ∴ ∠ ACB=90°, 则圆心到直线的距离即为 BC 的长 6cm,等于圆的半径,则直线和圆相切. 点评: 此题运用了勾股定理的逆定理首先判断垂直关系, 然后根据数量关系判断直线和圆的 位置关系. 2、已知:如图,AB 切⊙ O 于点 B,OA 与⊙ O 交于点 C,点 P 在⊙ O 上,若∠ BAC=40°,则∠ BPC 的度数为 25 或 155 度.

考点:切线的性质;圆周角定理。 专题:计算题;分类讨论。 分析:连 OB,根据切线性质得到 OB⊥ AB,而∠ BAC=40°,得到∠ BOA=90°﹣40°=50°,再分类讨 论:当 P 在优弧 BC 上,∠ BPC= ∠ BOA= ×50°;当 P 在劣弧 BC 上,∠ BP′ C=180°﹣∠ BPC.

解答:解:连 OB,如图, ∵ AB 切⊙ O 于点 B, ∴ OB⊥ AB, 而∠ BAC=40°, ∴ ∠ BOA=90°﹣40°=50°, 当 P 在优弧 BC 上,∠ BPC= ∠ BOA= ×50°=25°; 当 P 在劣弧 BC 上,∠ BP′ C=180°﹣25°=155°. 故答案为 25 或 155. 点评:本题考查了切线的性质:圆心与切点的连线垂直切线;过圆心垂直于切线的直线必过 切点;过圆外一点引圆的两条切线,切线长相等.也考查了圆周角定理以及圆内接四边形的
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

性质. 3、 (2009?怀化)如图,PA、PB 分别切⊙ O 于点 A、B,点 E 是⊙ O 上一点,且∠ AEB=60°,则∠ P= 60 度.

考点:切线的性质;圆周角定理;圆内接四边形的性质。 专题:综合题。 分析:连接 OA,BO,由圆周角定理知可知∠ AOB=2∠ E=120°,PA、PB 分别切⊙ O 于点 A、B, 利用切线的性质可知∠ OAP=∠ OBP=90°,根据四边形内角和可求得∠ P=180°﹣∠ AOB=60°. 解答:解:连接 OA,BO; ∵ ∠ AOB=2∠ E=120°, ∴ ∠ OAP=∠ OBP=90°, ∴ ∠ P=180°﹣∠ AOB=60°.

点评:本题利用了圆周角定理,切线的性质,四边形的内角和为 360 度求解. 4、 (2009?太原)如图 AB、AC 是⊙ O 的两条弦,∠ A=30°,过点 C 的切线与 OB 的延长线交于 点 D,则∠ D 的度数为 30 度.

考点:圆周角定理;三角形内角和定理。 分析:连接 OC,则∠ OCD=90°,由圆周角定理知,∠ COB=2∠ A=60°,即可求∠ D=90°﹣∠ COB=30°. 解答:解:连接 OC, ∴ ∠ OCD=90°, ∴ ∠ COB=2∠ A=60°, ∴ ∠ D=90°﹣∠ COB=30°.

点评:本题利用了切线的概念和圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 5、 (2009?庆阳)如图,两个等圆⊙ O 与⊙ O′ 外切,过点 O 作⊙ O′ 的两条切线 OA、OB,A、B 是切点,则∠ AOB= 60 度.

考点:切线的性质;切线长定理。 分析:根据切线的性质得 O′ A⊥ OA,再解直角三角形即可. 解答:解:连接 OO′ 和 O′ A, 根据切线的性质,得 O′ A⊥ OA, 根据题意得 OO′ =2O′ A, 则∠ AOO′ =30°, 再根据切线长定理得∠ AOB=2∠ AOO′ =60°. 点评:本题综合运用了切线的性质定理、切线长定理以及借助锐角三角函数进行解答. 6、 (2009?庆阳)如图,直线 AB 与⊙ O 相切于点 B,BC 是⊙ O 的直径,AC 交⊙ O 于点 D,连接 BD,则图中直角三角形有 3 个.

考点:圆周角定理;勾股定理的逆定理;切线的性质。 分析:根据圆周角定理及切线的性质进行分析,从而得到直角三角形的个数. 解答:解:∵ BC 是⊙ O 的直径, ∴ ∠ BD⊥ AC, ∵ 直线 AB 与⊙ O 相切于点 B, ∴ AB⊥ CB, ∴ △ ABD,△ ABC,△ BDC 都是直角三角形, ∴ 共三个直角三角形. 点评:本题利用了直径对的圆周角是直角和切线的性质求解. 7、 (2009?娄底)如图,已知 AB 是⊙ O 的直径,PB 是⊙ O 的切线,PA 交⊙ O 于 C,AB=3cm, PB=4cm,则 BC= cm.

考点:切线的性质;勾股定理;圆周角定理。 分析:根据切线的性质可知∠ ABP=90°,又 AB 是⊙ O 的直径,可知∠ ACB=90°,故根据勾股定理 可将斜边 AP 求出;再根据三角形面积的求法,从而将斜边的高求出. 解答:解:∵ PB 是⊙ O 的切线,
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

∴ ∠ ABP=90°, ∵ AB=3cm,PB=4cm, ∴ AP= ∵ AB 是⊙ O 的直径, ∴ ∠ ACB=90°, 即 BC 为△ ABP 的高; ∵ ×AB×BP= ×AP×BC, =5;

=

即 ×3×4= ×5×BC,

∴ BC=



点评:本题综合考查了切线和圆周角的求法及性质. 8、 (2010?徐州)如图,在以 O 为圆心的两个同心圆中,大圆的弦 AB 与小圆相切于点 C, 若大圆的半径为 5cm,小圆的半径为 3cm,则弦 AB 的长为 8 cm.

考点:切线的性质;勾股定理;垂径定理。 分析:连接 OA、OC 根据切线的性质可知△ OAC 是直角三角形,OC 垂直平分 AB,根据勾股 定理及垂径定理即可解答. 解答:解:连接 OA、OC, ∵ AB 是小圆的切线,∴ OC⊥ AB, ∵ OA=5cm,OC=3cm, ∴ AC= = =4cm,

∵ AB 是大圆的弦,OC 过圆心,OC⊥ AB, ∴ AB=2AC=2×4=8cm.

点评:此类题目比较简单,解答此题的关键是连接 OA、OC,构造出直角三角形,利用切线 的性质及勾股定理解答. 9、 (2009?宁夏)如图,⊙ O 是边长为 2 的等边三角形 ABC 的内切圆,则图中阴影部分的面

?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

积为



考点:三角形的内切圆与内心。 分析:先求出三角形 ABC 的面积,从而求出内切圆的半径,进而可求出圆的面积.图中阴 影部分的面积=S△ABC﹣S⊙ O. 解答:解:连接 OA,OD(AB 上的内切点) . 由于等边三角形的内心就是它的外心,可得 AD= AB=1,∠ OAB= ∠ CAB=30°;

在 Rt△ OAD 中,tan30°=

,即

=

,得 0D=



∴ 图中阴影部分的面积等于 S△ABC﹣S⊙ O=

×2 ﹣π(

2

)=

2

π.

点评:本题考查等边三角形的性质及内切圆的概念和计算. 10 、 ( 2009? 荆门)如图, Rt△ ABC 中,∠ C=90°, AC=6 , BC=8 .则 △ ABC 的内切圆半径 r=

2 . 考点:三角形的内切圆与内心。 分析:设 AB、BC、AC 与⊙ O 的切点分别为 D、E、F;易证得四边形 OECF 是正方形;那么根 据切线长定理可得:CE=CF= (AC+BC﹣AB) ,由此可求出 r 的长. 解答:解:如图; 在 Rt△ ABC,∠ C=90°,AC=8,BC=6; 根据勾股定理 AB= =10;

四边形 OECF 中,OE=OF,∠ OEC=∠ OFC=∠ C=90°; ∴ 四边形 OECF 是正方形; 由切线长定理,得:AD=AF,BD=BE,CE=CF; ∴ CE=CF= (AC+BC﹣AB) ;
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

即:r= (6+8﹣10)=2.

点评:此题主要考查直角三角形内切圆的性质及半径的求法. 11、 (2009?佳木斯)如图,⊙ O 与 AB 相切于点 A,BO 与⊙ O 交于点 C,∠ B=26°,则∠ OCA= 58 度.

考点:切线的性质;三角形内角和定理;等腰三角形的性质。 分析:连接 OA;根据切线的性质和三角形内角和定理求解. 解答:解:连接 OA. ∵ ⊙ O 与 AB 相切于点 A, ∴ ∠ OAB=90°. ∵ ∠ B=26°, ∴ ∠ AOB=180°﹣∠ OAB﹣∠ B=180°﹣90°﹣26°=64°. ∵ OA=OC, ∴ ∠ 1=∠ 2= (180°﹣∠ AOB)= (180°﹣64°)=58°. 故∠ 2=58°,即∠ OCA=58°.

点评:此题主要考查切线的性质,三角形的内角和定理及等腰三角形的性质. 12、 (2009?柳州)如图,∠ MAB=30°,P 为 AB 上的点,且 AP=6,圆 P 与 AM 相切,则圆 P 的半径为 3 .

考点:切线的性质。
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

分析:利用了切线的概念,正弦的概念求解. 解答:解:设点 F 是切点,连接 PF, 则∠ AFP=90°, ∴ 半径 PF=APsinA=3. 点评:本题主要考查了切线的概念,正弦的概念进行解答. 13、已知△ ABC 内接于⊙ O,AB=AC,半径 OB=5cm,圆心 O 到 BC 的距离为 3cm,则 AB 的长 为 4 或2 cm

考点:三角形的外接圆与外心;垂径定理。 分析:此题分情况考虑:当三角形的外心在三角形的内部时,根据勾股定理求得 BD 的长, 再根据勾股定理求得 AB 的长;当三角形的外心在三角形的外部时,根据勾股定理求得 BD 的长,再根据勾股定理求得 AB 的长. 解答: 解:如图,当三角形的外心在三角形的内部时, 在直角三角形 BOD 中,根据勾股定理,得 BD=4. 在直角三角形 ABD 中,根据勾股定理,得 AB= 当三角形的外心在三角形的外部时, 在直角三角形 BOD 中,根据勾股定理,得 BD=4. 在直角三角形 ABD 中,根据勾股定理,得 AB= =2 (cm) . =4 (cm) ;

故答案为:4

或2



点评:此题主要是勾股定理的运用.注意:三角形的外心可能在三角形的外部,可能在三角 形的内部,也可能在三角形的一边上,即直角三角形的外心在其斜边的中点. 14、 (2009?河南)如图,AB 为半圆 O 的直径,延长 AB 到点 P,使 BP= AB,PC 切半圆 O 于

点 C,点 D 是

上和点 C 不重合的一点,则∠ D 的度数为 30 度.

?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

考点:切线的性质;圆周角定理。 专题:综合题。 分析:连接 OC,由切线的性质得 OC⊥ PC,于是易得 Rt△ OCP 中,OC=OB=PB;利用 30°所对 的边等于斜边的一半,可得∠ P=30°,于是得∠ COP=60°,再由“同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半”得∠ D=30 度. 解答:解:连接 OC, ∵ PC 切半圆 O 于点 C, ∴ OC⊥ PC, ∴ OC=OB=PB, ∴ ∠ P=30°,即∠ COP=60°, ∴ ∠ D=30°. 点评:本题考查了直角三角形中 30°角的确定及圆周角与圆心角的关系,属综合性稍强的题 目,学生由于应用中的某一类知识欠缺导致出现错误. 15、 (2009?成都)如图,△ ABC 内接于⊙ O,AB=BC,∠ ABC=120°,AD 为⊙ O 的直径,AD=6,那 么 BD= 3 .

考点:圆周角定理;解直角三角形。 专题:计算题。 分析:由已知可求∠ ACB=30°,根据圆周角定理可证∠ ADB=∠ ACB=30°,∠ ABD=90°,运用三角函 数即可求 BD 的值. 解答:解:∵ AB=BC,∠ ABC=120°, ∴ ∠ ACB=30°. ∴ ∠ ADB=∠ ACB=30°. ∵ AD 为⊙ O 的直径, ∴ ∠ ABD=90°, ∴ BD=AD?cos30°=6× =3 .

点评:本题综合考查等腰三角形的性质、圆周角定理及三角函数等知识,涉及到的知识点较 多,可以有效的考查学生的综合运用能力. 16、 (2009?新疆)如图,∠ ACB=60°,半径为 1cm 的⊙ O 切 BC 于点 C,若将⊙ O 在 CB 上向右滚 动,则当滚动到⊙ O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离是 cm.

?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

考点:切线的性质。 分析:根据题意画图,当圆 O 滚动到圆 W 位置与 CA,CB 相切,切点分别为 E,F,连接 WE,WF,CW,OC,OW,则四边形 OWC 是矩形;构造直角三角形利用直角三角形中的 30° 角的三角函数值,可求得点 O 移动的距离为 OW=CF=WF?cot∠ WCF=WF?cot30°= .

解答:解:如图,当圆 O 滚动到圆 W 位置与 CA,CB 相切,切点分别为 E,F;连接 WE, WF,CW,OC,OW,则 OW=CF,WF=1,∠ WCF= ∠ ACB=30°,

所以点 O 移动的距离为 OW=CF=WF?cot∠ WCF=WF?cot30°=



点评:本题利用了切线的性质,矩形的性质,余切的概念,切线长定理求解. 17( 、2009?益阳) 如图, AB 与⊙ O 相切于点 B, 线段 OA 与弦 BC 垂直于点 D, ∠ AOB=60°, BC=4cm, 则切线 AB= 4 cm.

考点:切线的性质;垂径定理;解直角三角形。 分析: 根据切线的性质知△ OAB 为直角三角形. 在 Rt△ OBD 中, 可求出 OB 的长, 然后在 Rt△ OAB 中代入三角函数式可求 AB 的长. 解答:解:∵ OA⊥ BC, ∴ 根据垂径定理得:BD= BC=2. 在 Rt△ OBD 中,∵ ∠ AOB=60°, ∴ OB= = = ,

?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

∵ AB 与⊙ O 相切于点 B, ∴ ∠ ABO=90°. ∴ AB=OB×tan∠ AOB= =4.

点评:本题主要考查的圆的切线性质,垂径定理和一些特殊三角函数值,有一定的综合性. 18、 (2009?济宁) 如图, ⊙ A 和⊙ B 都与 x 轴和 y 轴相切, 圆心 A 和圆心 B 都在反比例函数 y= 的图象上,则图中阴影部分的面积等于 π (结果保留 π) .

考点:反比例函数图象的对称性。 专题:计算题。 分析:根据两函数的对称性和圆的对称性,将阴影部分面积转化为一个圆的面积来解. 解答:解:由题意得,图中阴影部分的面积即为一个圆的面积. ⊙ A 和 x 轴 y 轴相切, 因而 A 到两轴的距离相等,即横纵坐标相等, 设 A 的坐标是(a,a) , 点 A 在函数 y= 的图象上,因而 a=1. 故阴影部分的面积等于 π. 故答案为:π. 点评:能够观察到阴影部分的面积是圆面积,是解决本题的关键. 19、 (2009?衡阳)如图,直线 AB 切⊙ O 于 C 点,D 是⊙ O 上一点,∠ EDC=30°,弦 EF∥ AB,连 接 OC 交 EF 于 H 点,连接 CF,且 CF=2,则 HE 的长为 .

考点:切线的性质。 分析:如图,连接 OE,CE,由 EF∥ AB 得到∠ F=∠ BCF,由圆周角定理知∠ F=∠ D=30°,然后可以
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

推出∠ BCF=∠ D=30°;而根据切线的性质知道∠ OCB=90°,进一步得到∠ OCF=60°,从而得到 ∠ CEF=∠ BCF=30°,由此推出∠ CEF=∠ F,点 C 是弧 ECF 的中点,所以根据垂径定理得到 OC⊥ EF, ;然后即可证明△ OEC 是等边三角形,最后利用 EH=OEsin60°即可求出 EH. 解答:解:如图, 连接 OE,CE, ∵ EF∥ AB,

∴ ∠ F=∠ BCF ∴ ∠ F=∠ D=30°, ∴ ∠ BCF=∠ D=30°; ∵ ∠ OCB=90°, ∴ ∠ OCF=60°, ∴ ∠ CEF=∠ BCF=30°, ∴ ∠ CEF=∠ F, 则点 C 是弧 ECF 的中点, ∴ OC⊥ EF, ,∠ EOC=60°;



∵ OE=OC, ∴ △ OEC 是等边三角形, ∴ OE=EC=CF=2, ∴ EH=OEsin60°= .

点评:本题利用了切线的概念,平行线的性质,直角三角形的性质,等边三角形的判定和性 质,正弦的概念等知识求解,综合性比较强. 20、 (2009?宜宾)如图,点 A、B、C 在 O0 上,切线 CD 与 OB 的延长线交于点 D.若∠ A=30°, CD= ,则⊙ O 的半径长为 2 .

?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

考点:切线的性质;圆周角定理;特殊角的三角函数值。 分析:根据圆周角定理得,∠ COD=2∠ A=60°,再根据余切的定义求解. 解答:解:由圆周角定理得,∠ COD=2∠ A=60°. CD 是切线,则∠ OCD=90°. ∴ OC=CDcot60°= × =2.

点评:本题考查了圆周角定理、切线的性质、余切的定义. 21、 (2009?钦州)如图,PA、PB 分别与⊙ O 相切于点 A、B,⊙ O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于 点 E、F,切点 C 在 上,若 PA 长为 2,则△ PEF 的周长是 4 .

考点:切线的性质。 分析:由切线长定理知,AE=CE,FB=CF,PA=PB=2,然后根据△ PEF 的周长公式即可求出其结 果. 解答:解:∵ PA、PB 分别与⊙ O 相切于点 A、B, ⊙ O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F,切点 C 在 ∴ AE=CE,FB=CF,PA=PB=2, ∴ △ PEF 的周长=PE+EF+PF=PA+PB=4. 故填空答案:4. 点评:本题主要利用了切线长定理求解,比较简单. 22、 (2010?包头)如图,在△ ABC 中,AB=AC,∠ A=120°,BC=2 ,⊙ A 与 BC 相切于点 D,且 上,

交 AB,AC 于 M,N 两点,则图中阴影部分的面积是

(保留 π) .

考点:扇形面积的计算;勾股定理;切线的性质。 分析:我们只要根据勾股定理求出 AD 的长度,再用三角形的面积减去扇形的面积即可. 解答:解:连接 AD,∵ ⊙ A 与 BC 相切于点 D,AB=AC,∠ A=120°, ∴ ∠ ABD=∠ ACD=30°,AD⊥ BC, ∴ AB=2AD,由勾股定理知 BD +AD =AB ,即
2 2 2

+AD =(2AD)

2

2

?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com
2

解得 AD=1,△ ABC 的面积=2

×1÷1=

,扇形 MAN 得面积=π×1 × = ,所以阴影部分的面

积=



点评:解此题的关键是求出圆的半径,即三角形的高,再相减即可. 23、 (2009?株洲) 如图, AC 是⊙ O 的直径, CB 与⊙ O 相切于点 C, AB 交⊙ O 于点 D. 已知∠ B=51°, 则∠ DOC 等于 78 度.

考点:圆周角定理;切线的性质。 专题:计算题。 分析:根据切线的性质定理及三角形内角和可求得∠ A 的度数,再根据一条弧所对的圆周角 等于它所对的圆心角的一半即可求解. 解答:解:∵ CB 与⊙ O 相切于点 C ∴ AC⊥ BC ∵ ∠ B=51° ∴ ∠ A=90°﹣∠ B=39° ∴ ∠ COD=2∠ A=78°. 点评:综合运用了切线的性质定理以及圆周角定理. 24、 (2008?上海)如图,圆 O1 与圆 O2 相交于 A、B 两点,它们的半径都为 2,圆 O1 经过点 O2,则四边形 O1AO2B 的面积为 2 .

考点:相交两圆的性质;菱形的性质。 分析:连接 O1O2,由题意知,四边形 AO1BO2B 是菱形,且△ AO1O2,△ BO1O2 都是等边三角 形,四边形 O1AO2B 的面积等于两个等边三角形的面积.据此求四边形 O1AO2B 的面积.
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

解答:解: 连接 O1O2,由题意知,四边形 AO1BO2B 是菱形,且△ AO1O2,△ BO1O2 都是等边三角形,四 边形 O1AO2B 的面积等于两个等边三角形的面积, ∴ SO1AO2B=2× ×2×2×sin60°=2 .

点评:本题利用了等边三角形判定和性质,等边三角形的面积公式求解. 25、 (2006?济南)如图,AC 是⊙ O 的直径,∠ ACB=60°,连接 AB,过 A、B 两点分别作⊙ O的 切线,两切线交于点 P.若已知⊙ O 的半径为 1,则△ PAB 的周长为 .

考点:切线的性质。 专题:综合题。 分析:由 AC 是⊙ O 的直径得∠ ABC=90°,由∠ BAC=30°,AC=2OC=2,得 CB=1,AB= ;由 AP

为切线得∠ CAP=90°,再由切线长定理知得△ PAB 为正三角形,从而求得△ ABP 的周长. 解答:解:∵ AC 是⊙ O 的直径, ∴ ∠ ABC=90°,∠ BAC=30°,CB=1,AB= ∵ AP 为切线, ∴ ∠ CAP=90°,∠ PAB=60°, 又∵ AP=BP, ∴ △ PAB 为正三角形, ∴ 周长= . ,

点评:本题考查了圆的切线性质、切线长定理等边三角形的判定和性质,直角三角形的性质 等知识. 26、 (2009?重庆)已知⊙ O1 的半径为 3cm,⊙ O2 的半径为 4cm,两圆的圆心距 O1O2 为 7cm, 则⊙ O1 与⊙ O2 的位置关系是 外切 .
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

考点:圆与圆的位置关系。 分析:本题主要考查两圆的位置关系.两圆的位置关系有:相离(d>R+r) 、相切(外切: d=R+r 或内切:d=R﹣r) 、相交(R﹣r<d<R+r) . ∵ r+R=3+4=7=圆心距, ∴ 两圆外切. 解答:解:因为 R+r=3+4=7=圆心距,所以两圆外切. 点评:考查圆和圆的位置关系.由 d=R+r 可知两圆是外切的位置关系.本题部分学生由于考 虑不充分,对概念理解不清,误填为相切,导致得出错误的结论. 27、以 O 为圆心的两个同心圆的半径分别为 10cm 和 5cm,⊙ O′ 与两个圆都相切,则⊙ O′ 的 半径是 2.5cm 或 7.5cm . 考点:相切两圆的性质。 专题:计算题。 分析:分与小圆外切、与大圆内切和与两圆都内切两种情形分别求解. 解答:解:∵ ⊙ O′ 与两个圆都相切, ∴ 有两种情况: ① 与小圆外切、与大圆内切.半径=(10﹣5)÷2=2.5(cm) ; ② 与两圆都内切.半径=(10+5)÷2=7.5(cm) . 故答案为:2.5cm 或 7.5cm. 点评:此题考查了相切两圆的性质:相切两圆的连心线必过切点.难度中等. 28、 (2009?济宁) 已知两圆的半径分别是 2 和 3, 圆心距为 6, 那么这两圆的位置关系是 外 离 . 考点:圆与圆的位置关系。 分析:先计算两圆半径的和与差,再与圆心距比较,即可得出两圆的位置关系. 解答:解:因为 R+r=5<6,根据圆心距大于两圆半径的和可知,两圆外离. 点评:本题主要考查两圆的位置关系.两圆的位置关系有:相离(d>R+r) 、相切(外切: d=R+r 或内切:d=R﹣r) 、相交(R﹣r<d<R+r) . 29、 (2009?齐齐哈尔)已知相交两圆的半径分别为 5cm 和 4cm,公共弦长为 6cm,则这两 个圆的圆心距是 (4± 考点:相交两圆的性质。 专题:分类讨论。 分析:先根据勾股定理,得圆心距的两部分分别是 4, 圆心距. 解答:解:如图,AB=6,O1A=5cm,O2A=4cm, ∵ 公共弦长为 6cm, ∴ AC=3cm,AC⊥ O1O2, ∴ O1C=4cm,O2C= cm, ,然后根据两圆的位置关系确定 ) cm.

∴ 当公共弦在两个圆心之间时,圆心距=4+

cm;

?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

当公共弦在圆心的同侧时,圆心距=4﹣

cm.

∴ 则这两个圆的圆心距是 4±

cm.

点评:此题综合运用了相交两圆的性质以及勾股定理.注意此题应考虑两种情况. 30、 (2009?大兴安岭)已知相切两圆的半径分别为 5cm 和 4cm,这两个圆的圆心距是 1cm 或 9cm . 考点:圆与圆的位置关系。 分析:两圆相切,包括两圆内切或两圆外切.两圆外切,则圆心距等于两圆半径之和;两圆 内切,则圆心距等于两圆半径之差. 解答:解:∵ 这两圆相切, ∴ 两圆位置关系是内切或外切; 当两圆内切时 d=1cm;当两圆外切时 d=9cm. 则这两个圆的圆心距是 1cm 或 9cm. 点评:本题考查了由两圆位置关系来判断半径和圆心距之间数量关系的方法. 31、 (2009?襄樊)已知⊙ O1 和⊙ O2 的半径分别为 3cm 和 2cm,且 O1O2=1cm,则⊙ O1 与⊙ O2 的 位置关系为 内切 . 考点:圆与圆的位置关系。 分析:根据圆心距与半径之间的数量关系可知⊙ O1 与⊙ O2 的位置关系是内切. 解答:解:∵ 3﹣2=1, ∵ O1O2=1cm, ∴ ⊙ O1 与⊙ O2 的位置关系为内切. 点评:本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法.设两圆的半径分别为 R 和 r,且 R≥r,圆心距为 P:外离:P>R+r;外切:P=R+r;相交:R﹣r<P<R+r;内切:P=R﹣r;内 含:P<R﹣r. 32、 (2009?佛山)已知△ ABC 的三边分别是 a、b、c,两圆的半径 r1=a,r2=b,圆心距 d=c, 则这两个圆的位置关系是 相交 . 考点:圆与圆的位置关系;三角形三边关系。 分析:根据△ ABC 的三边关系推出两圆的位置关系. 解答:解:∵ 三角形中,a﹣b<c<a+b, ∴ 两圆相交. 点评:本题主要考查两圆的位置关系.两圆的位置关系有:相离(d>R+r) 、相切(外切: d=R+r 或内切:d=R﹣r) 、相交(R﹣r<d<R+r) . 33、 (2009?莆田)已知⊙ O1 和⊙ O2 的半径分别是一元二次方程(x﹣1) (x﹣2)=0 的两根, 且 O1O2=2,则⊙ O1 和⊙ O2 的位置关系是 相交 . 考点:圆与圆的位置关系;解一元二次方程-因式分解法。 分析:本题可根据方程解出两个半径的值,将两个半径的和或差与圆心距比较,若 d>R+r
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

则两圆相离, 若 d=R+r 则两圆外切, 若 d=R﹣r 则两圆内切, 若 R﹣r<d<R+r 则两圆相交. 本 题可把半径的值代入,看符合哪一种情况. 解答:解:解方程(x﹣1) (x﹣2)=0,得 x1=1,x2=2, ∵ 2﹣1=1<2<2+1=3, 所以两圆相交. 点评: 本题主要考查两圆的位置关系. 两圆的位置关系有: 外离 (d>R+r) 、 内含 (d<R﹣r) 、 相切(外切:d=R+r 或内切:d=R﹣r) 、相交(R﹣r<d<R+r) . 34、 (2009?宁波)如图,⊙ A、⊙ B 的圆心 A、B 在直线 l 上,两圆半径都为 1cm,开始时圆心 距 AB=4cm,现⊙ A、⊙ B 同时沿直线 l 以每秒 2cm 的速度相向移动,则当两圆相切时,⊙ A运 动的时间为 或 秒.

考点:切线的性质。 分析:本题所说的两圆相切,应分为两圆第一次相遇时的相切和两圆继续移动,即将相离时 的相切两种情况. 根据路程=速度×时间分别求解. 解答:解:本题所说的两圆相切,应分为两圆第一次相遇时的相切和两圆继续移动,即将相 离时的相切两种情况. 第一种情况两圆所走的路程为 4﹣2=2cm; 第二种情况两圆所走的路程为 4+2=6cm. 不妨设圆 A 运动的时间为 x 秒,根据题意可得方程 2x+2x=2 或 2x+2x=6, 解得 x= 或 . 点评:本题有两种情况,学生通常只考虑到其中的一种情况,是一道易错题.本题将圆的有 关知识和相遇问题有机的结合在了一起,是一道很好的综合题. 35、 (2009?绍兴)如图,⊙ A、⊙ B 的半径分别为 1cm、2cm,圆心距 AB 为 5cm.如果⊙ A由 图示位置沿直线 AB 向右平移 3cm,则此时该圆与⊙ B 的位置关系是 相交 .

考点:圆与圆的位置关系;平移的性质。 分析: 本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法; 可根据圆心距与半径之间的数量 关系判断⊙ A 与⊙ B 的位置关系. 解答:解:如果⊙ A 由图示位置沿直线 AB 向右平移 3cm,则圆心距为 5﹣3=2,则 2﹣1<2 <1+2, 根据圆心距与半径之间的数量关系 R﹣r<P<R+r, ∴ ⊙ A 与⊙ B 的位置关系是相交. 点评: 解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断两圆位置关系的方法. 设两圆的半径分别 为 R 和 r,且 R≥r,圆心距为 P;外离 P>R+r;外切 P=R+r;相交 R﹣r<P<R+r;内切 P=R﹣
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

r;内含 P<R﹣r. 36、 (2010?鄂尔多斯)如图,⊙ O1 和⊙ O2 的半径分别是 1 和 2,连接 O1O2,交⊙ O2 于点 P, O1O2=5 , 若 将 ⊙ O1 绕 点 P 按 顺 时 针 方 向 旋 转 360° , 则 ⊙ O1 与 ⊙ O2 共 相 切 3

次. 考点:圆与圆的位置关系。 分析:本题根据两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案. 外离,则 P>R+r;外切,则 P=R+r;相交,则 R﹣r<P<R+r;内切,则 P=R﹣r;内含,则 P <R﹣r. (P 表示圆心距,R,r 分别表示两圆的半径) . 解答:解:∵ ⊙ O1 和⊙ O2 的半径分别是 1 和 2,O1O2=5, ∴ O1P=3, ∴ 分别过 O2,P 以 3 为半径可找到相切 2 次. O1O2 的延长线可找到相切 1 次. 故⊙ O1 与⊙ O2 共相切 3 次.

点评:此题考查了两圆相切的位置关系,外切,则 P=R+r(P 表示圆心距,R,r 分别表示两 圆的半径) . 37、 (2010?锦州)如图所示,点 A、B 在直线 MN 上,AB=11cm,⊙ A、⊙ B 的半径均为 1cm, ⊙ A 以每秒 2cm 的速度自左向右运动,与此同时,⊙ B 的半径也不断增大,其半径 r(cm)与 时间 t(秒)之间的关系式为 r=1+t(t≥0) ,当点 A 出发后 3、 、11、13 秒两圆相

切. 考点:圆与圆的位置关系。 专题:分类讨论。 分析:根据两圆相切时,两圆的半径与圆心距的关系,注意有 4 种情况. 解答:解:分四种情况考虑:
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

① 当首次外切时,有 2t+1+1+t=11,解得:t=3; ② 当首次内切时,有 2t+1+t﹣1=11,解得:t= ;

③ 当再次内切时,有 2t﹣(1+t﹣1)=11,解得:t=11; ④ 当再次外切时,有 2t﹣(1+t)﹣1=11,解得:t=13. ∴ 当点 A 出发后 3、 、11、13 秒两圆相切.

点评:本题考查了两圆相切时,两圆的半径与圆心距的关系,注意有 4 种情况. 38、 (2009?崇左)如图,正方形 ABCD 中,E 是 BC 边上一点,以 E 为圆心,EC 为半径的半 圆与以 A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则 sin∠ EAB 的值为 .

考点:相切两圆的性质;勾股定理;锐角三角函数的定义。 专题:计算题。 分析:利用勾股定理和锐角三角函数的定义、两圆相外切,圆心距等于两圆半径的和. 解答:解:设正方形的边长为 y,EC=x, 由题意知,AE =AB +BE , 2 2 2 即(x+y) =y +(y﹣x) , 由于 y≠0, 化简得 y=4x, ∴ sin∠ EAB= = = = .
2 2 2

点评:此题考查两相切圆的性质,关键是先构建一个直角三角形然后解直角三角形即可. 39、如图,PA,PB 分别是⊙ O 的切线,A,B 为切点,AC 是⊙ O 的直径,已知∠ BAC=35°,∠ P 的度数为 70° .

考点:切线长定理。 专题:计算题。 分析:由等腰三角形的性质得,∠ BOA=110°,再根据切线的性质和四边形的内角和定理求得 ∠ P. 解答:解:∵ OA=OB,
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

∴ ∠ OAB=∠ OBA, ∵ ∠ BAC=35°, ∴ ∠ AOB=110°, ∵ PA,PB 分别是⊙ O 的切线, ∴ ∠ PAO=∠ PBO=90°, ∵ ∠ P+∠ AOB+∠ PAO+∠ PBO=360°, ∴ ∠ P=70°. 故答案为:70°. 点评:本题考查了切线长定理和等腰三角形的性质,以及四边形的内角和定理,是基础知识 要熟练掌握. 40、三角形三边长分别为 5cm,12cm,13cm,以这个三角形三个顶点为圆心的三个圆两两 外切,则这三个圆的半径分别为 3cm,2cm,13cm . 考点:相切两圆的性质。 专题:计算题。

分析:设三个圆的半径分别为 x,y,z,根据已知条件可得:

,解之即可得

出答案. 解答:解:设三个圆的半径分别为 x,y,z, 三角形三边长分别为 5cm,12cm,13cm,以这个三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切,

那么容易列方程得:



解得:



故答案为:3cm,2cm,10cm. 点评:本题考查了相切两圆的性质,难度适中,关键是列出方程组进行求解. 41、 (2008?宿迁)已知直角三角形两条直角边的长是 3 和 4,则其内切圆的半径是 1 . 考点:三角形的内切圆与内心。 分析:根据勾股定理求出直角三角形的斜边长,然后运用直角三角形内切圆半径公式求解. 解答:解:设直角三角形的两直角边为 a、b,斜边为 c;内切圆半径为 r; 则:a=3,b=4; 由勾股定理,得:c= =5;

∴ r=

=1.

故直角三角形内切圆的半径为 1. 点评: 本题需识记的知识点是: 直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边差的一 半.
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

42、 (2005?梅州)已知一个三角形的三边长分别是 6cm,8cm,10cm,则这个三角形的外接 圆面积等于 25π cm . 考点:三角形的外接圆与外心;勾股定理的逆定理。 分析:根据勾股定理的逆定理发现它是直角三角形,则其外接圆的半径是斜边的一半,从而 求出半径,再根据圆面积公式得圆面积是 25π. 解答:解:∵ 三角形的三边长分别是 6cm,8cm,10cm, ∴ 它是直角三角形, ∴ 外接圆的半径是斜边的一半为 5, ∴ 三角形的外接圆面积是 25π. 点评:此题综合运用了勾股定理的逆定理、直角三角形的外心在它的斜边中点的性质. 43、已知一个三角形的周长是 12cm,且这个三角形的内切圆的半径是 2cm,则这个三角形 的面积是 12 cm . 考点:三角形的内切圆与内心;三角形的面积。 专题:计算题。 分析:根据三角形的另一个面积公式 S= ?r?p,得出三角形的面积即可. 解答:解:∵ r=2cm,p=12cm, ∴ S= ?r?p,
2 2

= ×2×2×12, =12cm . 故答案为:12. 点评:本题考查了三角形的内切圆和三角形的面积,是基础知识要熟练掌握. 44、如图,AB 是⊙ O 的直径,CB 切⊙ O 于 B,连接 AC 交⊙ O 于 D,若 BC=8cm,DO⊥ AB,则⊙ O 的半径 OA= 4 cm.
2

考点:切线的性质。 分析:欲求 OA,已知 BC=8cm,则可根据等腰直角三角形转化未知边为已知,从而求解. 解答:解:由切线的性质知 BC⊥ AB; ∵ DO⊥ AB, ∴ OD∥ BC, 又∵ O 点为 AB 的中点, ∴ OD 是△ ABC 的中位线, 所以 OA=OD= BC=4cm.
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

点评:本题综合考查了切线的性质和三角形中位线的性质. 45、如图,点 I 是△ ABC 的内切圆的圆心,若∠ BIC=130°,则∠ A 的度数是 80° .

考点:三角形的内切圆与内心。 专题:计算题。 分析:先由内心的定义求得∠ BAC+∠ CBA,再由三角形的内角和定理求得∠ A 的度数. 解答:解:∵ 点 I 是△ ABC 的内切圆的圆心,∴ ∠ IAB+∠ IBA= (∠ BAC+∠ CBA) , ∵ ∠ BIC=130°,∴ ∠ IAB+∠ IBA=180°﹣∠ BIC, ∵ ∠ BIC=130°,∴ ∠ BAC+∠ CBA=2(∠ IAB+∠ IBA)=100°, ∴ ∠ A=180°﹣100°=80°, 故答案为 80°. 点评:本题考查了三角形的内切圆和内心的定义,是基础知识比较简单. 46、 (2009?张家界)如图,⊙ O 是△ ABC 的内切圆,与边 BC,CA,AB 的切点分别为 D,E,F, 若∠ A=70°,则∠ EDF= 55 度.

考点:三角形的内切圆与内心。 分析:根据切线的性质定理以及四边形的内角和定理,得∠ EOF=110°.再根据圆周角定理可 得出∠ EDF=55°. 解答:解:连接 OE,OF, ∵ ∠ A=70°,边 BC,CA,AB 的切点分别为 D,E,F ∴ ∠ EOF=180°﹣70°=110°, ∴ ∠ EDF=55°. 点评:此题综合运用了四边形的内角和定理、切线的性质定理以及圆周角定理. 47、如图,已知⊙ O 的半径为 R,AB 是⊙ O 的直径,D 是 AB 延长线上一点,DC 是⊙ O 的切线, C 是切点,连接 AC,若∠ CAB=30°,则 BD 的长为 R .

考点:切线的性质;含 30 度角的直角三角形;圆周角定理。 分 析 : 连接 OC , 由 DC 是 ⊙ O 的 切线 , 则 △ DCO 是 直 角三 角 形; 由 圆周 角 定 理可 得
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

∠ DOC=2∠ CAB=60°,则 OD=2OC=20B,BD 的长即可求出. 解答:解:连接 OC,

由于 DC 是⊙ O 的切线,则△ DCO 是直角三角形, 在 Rt△ DOC 中,∠ DOC=2∠ CAB=60°,则 OD=2OC=20B, 因此,BD=OB=R. 点评:本题考查了切线的性质及圆周角定理,要学会由切线入手解决问题. 48、 若两圆内切时圆心距为 2cm, 两圆外切时圆心距为 8cm, 则两圆的半径分别为 5, 3 . 考点:相切两圆的性质。 专题:计算题。 分析:设两圆半径分别为 R、r,由两圆外切 R+r=8cm,由两圆内切 R﹣r=2cm,解得 R、r. 解答:解:设两圆半径分别为 R、r, 当两圆外切时 R+r=8cm, 当两圆内切时 R﹣r=2cm, 解得 R=5cm,r=3cm. 故答案为:5,3. 点评:本题主要考查圆与圆的位置关系,当 d<R﹣r 时,两圆内含,当 d=R﹣r 时,两圆内 切,当 R﹣r<d<R+r 时,两圆相交,当 d=R+r 时,两圆外切,当 d>R+r 时,两圆外离. 49、OA 平分∠ BOC,P 是 OA 上任一点(O 除外) ,若以 P 为圆心的⊙ P 与 OC 相离,那么⊙ P与 OB 的位置关系是 相离 . 考点:直线与圆的位置关系;角平分线的性质。 专题:几何动点问题。 分析: 根据 OA 平分∠ BOC,P 是 OA 上任一点(O 除外) ,若以 P 为圆心的⊙ P 与 OC 相离,则作图如 上.根据角平分线的性质,角平分线上的点到角两边的距离相等,则可知点 P 到 OC 的距离 等于点 P 到 OB 的距离.

解答:解:

?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

∵ OA 平分∠ BOC,P 是 OA 上任一点(O 除外) ∴ 点 P 到∠ BOC 两边 OB、OC 的距离相等. ∵ ⊙ P 与 OC 相离 ∴ 点 P 到 OC 的距离>⊙ P 的半径 同理,>点 P 到 OB 的距离⊙ P 的半径 ∴ ⊙ P 与 OB 相离. 故答案为相离. 点评: 本题考查的是直线与圆的位置关系. 解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆 半径大小关系完成判定; 同学们尤其要注意根据已知条件, 正确画出简图, 也就成功了一半. 二、解答题(共 5 小题,满分 20 分) 50、 (2009?滨州)如图,PA 为⊙ O 的切线,A 为切点.直线 PO 与⊙ O 交于 B、C 两点,∠ P=30°, 连接 AO、AB、AC.求证:△ ACB≌ △ APO.

考点:切线的性质;全等三角形的判定。 专题:证明题。 分析:由∠ P=30°可得出∠ AOP=60°,则∠ C=30°=∠ P,那么 AC=AP;根据已知条件我们不难得出 ∠ CAB=∠ PAO=90°,这样就凑齐了角边角,那么两三角形就全等了. 解答:证明:∵ PA 为⊙ O 的切线, ∴ ∠ PAO=90 度. 又∵ ∠ P=30°, ∴ ∠ AOP=60°, ∴ ∠ C= ∠ AOP=30°, ∴ ∠ C=∠ P, ∴ AC=AP. 又 BC 为⊙ O 直径, ∴ ∠ CAB=∠ PAO=90°, ∴ △ ACB≌ △ APO(ASA) . 点评:三角形全等的判定是中考的热点,一般以考查三角形全等的方法为主,判定两个三角 形全等,先根据已知条件或求证的结论确定三角形,然后再根据三角形全等的判定方法,看
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

缺什么条件,再去证什么条件. 51、如图,点 D 在⊙ O 的直径 AB 的延长线上,点 C 在⊙ O 上,AC=CD,∠ D=30°, 求证:CD 是⊙ O 的切线.

考点:切线的判定。 专题:证明题。 分析: 要证明 CD 是⊙ O 的切线. , 即证明 OC⊥ CD. 连接 OC, 由 AC=CD, ∠ D=30°, 则∠ A=∠ D=30°, 得到∠ COD=60°,所以∠ OCD=90°.

解答:证明:连接 OC,如图, ∵ AC=CD,∠ D=30°, ∴ ∠ A=∠ D=30°, ∵ OA=OC, ∴ ∠ ACO=∠ A=30°, ∴ ∠ COD=60°, ∴ ∠ OCD=90°,即 OC⊥ CD. ∴ CD 是⊙ O 的切线. 点评: 本题考查了圆的切线的判定方法. 经过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线. 当 已知直线过圆上一点,要证明它是圆的切线,则要连接圆心和这个点,证明这个连线与已知 直线垂直即可; 当没告诉直线过圆上一点, 要证明它是圆的切线, 则要过圆心作直线的垂线, 证明垂线段等于圆的半径. 52、 (2009?朝阳) 如图, ⊙ O 是 Rt△ ABC 的外接圆, 点 O 在 AB 上, BD⊥ AB, 点 B 是垂足, OD∥ AC, 连接 CD. 求证:CD 是⊙ O 的切线.

考点:切线的判定;全等三角形的判定与性质。 专题:证明题。 分析:连接 CO,先证△ COD≌ △ BOD,从而求得∠ OCD=∠ OBD=90°即得到了 CD 是⊙ O 的切线. 解答:证明:连接 CO, (1 分)
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

∵ OD∥ AC, ∴ ∠ COD=∠ ACO,∠ CAO=∠ DOB. (3 分) ∵ ∠ ACO=∠ CAO, ∴ ∠ COD=∠ DOB. (6 分) ∵ OD=OD,OC=OB, ∴ △ COD≌ △ BOD. (8 分) ∴ ∠ OCD=∠ OBD=90°. ∴ OC⊥ CD,即 CD 是⊙ O 的切线. (10 分)

点评:本题涉及圆的切线和全等三角形的判定的综合运用. 53、 (2009?广安)已知:如图,AB 是⊙ O 的直径,AD 是弦,OC 垂直 AD 于 F 交⊙ O 于 E,连 接 DE、BE,且∠ C=∠ BED. (1)求证:AC 是⊙ O 的切线; (2)若 OA=10,AD=16,求 AC 的长.

考点:切线的判定;勾股定理;相似三角形的判定与性质。 专题:综合题。 分析: (1)要证 AC 是⊙ O 的切线,只要证明 OA⊥ AC 就可以; (2)根据△ OAF∽ △ OCA,相似三角形的对应边的比相等,就可以求出 AC 的长. 解答:解: (1)证明:∵ ∠ BED=∠ BAD,∠ C=∠ BED, ∴ ∠ BAD=∠ C. (1 分) ∵ OC⊥ AD 于点 F, o ∴ ∠ BAD+∠ AOC=90 . (2 分) o ∴ ∠ C+∠ AOC=90 . o ∴ ∠ OAC=90 . ∴ OA⊥ AC. ∴ AC 是⊙ O 的切线. (4 分) (2)∵ OC⊥ AD 于点 F,
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

∴ AF= AD=8. (5 分)

在 Rt△ OAF 中,OF= ∵ ∠ AOF=∠ AOC,∠ OAF=∠ C, ∴ △ OAF∽ △ OCA. (7 分) ∴ .

=6, (6 分)

即 OC=

. (8 分)

在 Rt△ OAC 中,AC=

. (10 分)

点评:本题主要考查了切线的证明方法,以及垂径定理,三角形相似的性质. 54、 (2009?桂林)如图,△ ABC 内接于半圆,AB 为直径,过点 A 作直线 MN,若∠ MAC=∠ ABC. (1)求证:MN 是半圆的切线. (2) 设 D 是弧 AC 的中点, 连接 BD 交 AC 于 G, 过 D 作 DE⊥ AB 于 E, 交 AC 于 F, 求证: FD=FG. (3)若△ DFG 的面积为 4.5,且 DG=3,GC=4,试求△ BCG 的面积.

考点:切线的判定;圆周角定理;相似三角形的判定与性质。 专题:综合题。 分析: (1) 要证 MN 是⊙ O 的切线, 只需证明 MA⊥ AB 即可, 易得∠ MAC+∠ CAB=90°, 即 MA⊥ AB; 故可得证. (2)连接 AD,则∠ 1=∠ 2,进而可得∠ 1+∠ DGF=90°,故∠ FDG=∠ FGD,即 FD=FG. (3)求△ BCG 的面积,只需证得△ FGH∽ △ BGC,再根据相似三角形的性质,求得△ BCG 的面积. 解答:证明: (1)∵ AB 是直径, ∴ ∠ ACB=90°. ∴ ∠ CAB+∠ ABC=90°. (1 分) ∵ ∠ MAC=∠ ABC, ∴ ∠ MAC+∠ CAB=90°. 即 MA⊥ AB. ∴ MN 是半圆的切线. (2 分)
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

(2)证法 1: ∵ D 是弧 AC 的中点, ∴ ∠ DBC=∠ 2. (3 分) ∵ AB 是直径, ∴ ∠ CBG+∠ CGB=90°. ∵ DE⊥ AB, ∴ ∠ FDG+∠ 2=90°. (4 分) ∵ ∠ DBC=∠ 2, ∴ ∠ FDG=∠ CGB=∠ FGD. ∴ FD=FG. (5 分) 证法 2:连接 AD,则∠ 1=∠ 2, (3 分) ∵ AB 是直径, ∴ ∠ ADB=90°. ∴ ∠ 1+∠ DGF=90°. 又∵ DE⊥ AB, ∴ ∠ 2+∠ FDG=90°. (4 分) ∴ ∠ FDG=∠ FGD. ∴ FD=FG. (5 分) (3)解法 1:过点 F 作 FH⊥ DG 于 H, (6 分) 又∵ DF=FG, ∴ S△FGH= S△DFG= ×4.5= . (7 分) ∵ AB 是直径,FH⊥ DG, ∴ ∠ C=∠ FHG=90°. (8 分) ∵ ∠ HGF=∠ CGB, ∴ △ FGH∽ △ BGC. ∴ . (9 分)

∴ S△BCG=

=16. (10 分)

解法 2:∵ ∠ ADB=90°,DE⊥ AB,
?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

∴ ∠ 3=∠ 2. (6 分) ∵ ∠ 1=∠ 2, ∴ ∠ 1=∠ 3. ∴ AF=DF=FG. (7 分) ∴ S△ADG=2,S△DFG=9. (8 分) ∵ ∠ ADG=∠ BCG,∠ DGA=∠ CGB. ∴ △ ADG∽ △ BCG. (9 分) ∴ .

∴ S△BCG=

. (10 分)

解法 3:连接 AD,过点 F 作 FH⊥ DG 于 H, ∵ SFDG= DG×FH= ×3FH=4.5, ∴ FH=3. ∵ H 是 DG 的中点,FH∥ AD, ∴ AD=2FH=6 ∴ S△ADG= ∵ ∠ ADG=∠ BCG,∠ DGA=∠ CGB. ∴ △ ADG∽ △ BCG. ∵ DG=3,GC=4, ∴ =( ),
2





=( ) ,

2

∴ S△BCG=16. 点评:本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这 点(即为半径) ,再证垂直即可.

?2010 箐优网

菁优网

Http://www.jyeoo.com

参与本试卷答题和审题的老师有: 开心;zhehe;zhangCF;黄玲;mrlin;py168;lanyuemeng;mmll852;lihongfang;MMCH; littlenine;zhqd;leikun;zxw;CJX;zhjh;cook2360;ln_86;心若在;Liuzhx;kuaile;mengcl; csiya; gsls; lzhzkkxx; lf2-9; Linaliu; fuaisu; ljj; bjy; 疯跑的蜗牛; lbz; xiaoliu007; jingyouwang; 张超。 (排名不分先后) 菁优网 2011 年 7 月 8 日

?2010 箐优网



相关文章:
更多相关标签: