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最好的二元一次不等式组与平面区域1(修改)_图文

二元一次不等式(组) 与平面区域
人教A版必修5 §3.3.1

想 问题 一 在平面直角坐标系中,直线x+y-1=0 想 将平面分成几部分呢? y? 答:分成三部分:
(1)点在直线上
1

0

1

x (2)点在直线的右上方 x+y-1=0 (3)点在直线的左下方

?不等式x+y-1>0对应平面内哪部分的点呢?

探索规律

表示直线x +y-1=0 (1,1) (0,0) 右上方的平面区域; (2,0) (-1,0) 2、点集{(x,y)|x+y-1<0} 代入点的坐标 表示直线x +y-1=0 (2,1) (-1,1) 左下方的平面区域。 (-1,-1) (2,2) 3、直线x+y-1=0叫做这两个 正 负 x+y-1值的正负 区域的边界。

区域内的点

直线上的点的坐标满足x+y-1=0,那么直 线两侧的点的坐标代入x+y-1中,也等于 0吗?先完成下表,再观察有何规律呢? y 1、点集{(x,y)|x+y-1>0}
右上方点 左下方点

1

0

1

x

x+y-1=0

同侧同号,异侧异号

画二元一次不等式表示的平面区域的步骤:

方法总结:

1、一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 1、线定界(注意边界的虚实) 平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界, 把边界画成实线。
由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中,所得 2、 2、点定域(代入特殊点验证) 实数符号相同,所以只需在直线的某一侧取一个 特别地,当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中,从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

典例精析
题型一:画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域

y
x+4y>4

(1)x +4y>4 变式: (2)x-y-4<0 (3)x-y-4>0

x+4y=4

o

x
x+4y<4

y
o
x-y-4>0 x-y-4=0

x

题型二:画二元一次不等式组表示的区域 例2、画出不等式组表示的平面区域。 y

x-y+5≥0 x+y≥0 x≤3
分析: 画二元一次不等式组表 由于所求平面区域的点的坐
示的平面区域的步骤: 标需同时满足两个不等式, 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集,即公共部分。
-5

x-y+5=0
5

o

x
4

x+y=0

x=3

跟踪练习

如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y)所在区域应为:( )
y 1 O 2

B y
O y 1

1

χ

y 1
O 2

(A)

2

χ

(B)

χ

O

2

χ

(C)

(D)

题型三:根据平面区域写出二元一次不等式(组) 例3、写出表示下面区域 的二元一次不等式组
y

(0,1)

x
(-4,-1) (2,-1)

典例精析 题型三:根据平面区域写出二元一次不等式(组)

例3、写出表示下面区域的二元一次不等式 y 解析:边界直线方程为 x+y-1≤0 紫色区域 x+y-1=0 代入原点(0,0) 绿色区域 x-2y+2>0 得0+0-1<0 即所求不等式为 蓝色区域 y≥-1 x+y-1≤0 黄色区域

1 -2

o
-1

1

x

x+y-1≤0 x-2y+2>0 y≥-1

方法总结

根据平面区域写出二元一次 不等式(组)的步骤:
求边界直线的方程 代入区域内的点定号 写出不等式(组)

题型五:综合应用

例4、 试确定m的范围,使点(1,2)和 (1,1)在3x-y+m=0的异侧。 变式:若在同侧,m的范围又是什么呢?
解析: 由于在异侧,则(1,2)和(1,1) 解析: 由于在同侧,则(1,2)和(1,1)
代入3x-y+m 所得数值异号, 代入3x-y+m 所得数值同号, 则有(3-2+m)(3-1+m)<0 则有(3-2+m)(3-1+m)>0

所以(m+1)(m+2) <0 所以(m+1)(m+2)>0
即:-2<m<-1 即:m <-2或m>-1

题型四:综合应用 x-y+5≥0

例5、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2

y
5

C x-y+5=0
D

所表示的平面区域的面积
解析: 如图,平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5) 所以AD=3,AB=2,BC=5 故所求区域的面积为

2A -5

B
2

y=2

o

x

S= ?3 ? 5 ? ? 2 ? 8
2

1

x=2

题型四:综合应用 x-y+5≥0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

变式训练 题型四:综合应用 x-y+5≥0

y
7 5D

x-y+5=0

变式: 若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2

C

y=a y=7
y=5 y=a

所表示的平面区域是一个三角形, 求a的取值范围

答案:5≤a<7

-5

o

2 x=2

x
y=a

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件 甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配 件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
把有关数据列表表示如下:
甲产品 (1件) 乙产品 (1件) 0 4 2 资源限额

资源
A种配件 B种配件 所需时间 4 0 1 ≤16 ≤12

≤8

设甲、乙两种产品分别生产x、y件.

设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组:
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?

y
4

y ? 3
2

o

2

4

6

8

x
x ? 2y?8 ? 0

x ? 4

设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组:
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?

y
4

y ? 3
2

o

2

4

6

8

x
x ? 2y?8 ? 0

x ? 4

若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得 的利润为 z ,则 z ? 2 x ? 3 y.
y
4 B 2

2x ? 3y ? 0

N M

y ? 3

o

2

4A

6

8

x
x ? 2y?8 ? 0

x ? 4

? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?

z ? 2x ? 3y

不等组(1)是一组对变量 x、 y 的约束条件,这组约束条 件都是关于 x、 y 的一次不等式, 所以又称为线性约束条件.

函数 z ? 2 x ? 3 y 称为目标函 数,又因这里的 z ? 2 x ? 3 y 是 关于变量 x、 y 的一次解析式, 所以又称为线性目标函数.

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题, 统称为线性规划问题.

满足线性约束条 件的解 ( x , y ) 叫做 可行解.

y
4

由所有可行解组 成的集合叫做可行域.

y ? 3
2x ? 3y ? 0

2

M

使目标函数取得 最大值或最小值的可 行解叫做线性规划问 题的最优解.

o

2

4

6

8

x
x ? 2y?8 ? 0

x ? 4

在线性约束条件

? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? y ? 0. ?

下,

求(1)目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值; (2)目标函数 z ? x ? y 的最大值和最小值.
y
4
x? y ? 0

B
x? 2y ? 0

N
M

y ? 3

2

o

2

4A

6

8

x
x ? 2y?8 ? 0

x ? 4

举一反三

x-y≥0 设x,y满足约束条件:x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1
求z=2x-y最大值与最小值 。

y y=2x x+y=1 x-y=0

①作可行域(如图) 解:
②由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动 直线y=2x,若直线截距-z取得最大值, 则z取得最小值;截距-z取得最小值, y=-1 则z取得最大值. B (-1,-1) ③因此z在A(2,-1)处取得最大值, 即Zmax=2×2+1=5; 在B(-1,-1)处取得最小值, 即Zmin=2×(-1)-(-1)=-1。 ④综上,z最大值为5;z最小值为-1.

1
0

C

x
1
(2,-1) A

变式演练

x-y≥0 设x,y满足约束条件:x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1
求z=-x-y最大值与最小值 。

y x+y=1 1 0
C

①作可行域(如图) 解:

y=-x

x-y=0 x

②由z=-x-y得y=-x-z,因此平行移动 直线y=-x,若直线截距-z取得最大值, 则z取得最小值;截距-z取得最小值, 则z取得最大值. y=-1 ③因此z在B(-1,-1)处截距-z取 得最小值,z取得最大值即Zmax=2; 在边界AC处取得截距-z最大值, z取得最小值即Zmin=-2-(-1)=-1。
B (-1,-1)

1
(2,-1) A

学 案 P6 9 典 型 例 题 ? x -2 y ? 7 ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? 12 ? 0 ?x ? 2y ? 3 ? 0 ?

例1

已 知 x,y满 足 现 行 约 束 条 件

求 ( 1) u= 4x-3y的 最 大 值 与 最 小 值 。 ( 2) z=(x+3) +(y+1) 的 最 大 值 和 最 小 值 。 ( 3) t= y ?1 x?3 的最值。
2 2

4x-3y-12=0

X-2y+7=0

x+2y-3=0
P(-3,-1)

X-2y+7=0

4x-3y-12=0

P(-3,-1)

x+2y-3=0

t m ax ? k P A
X-2y+7=0
Q(x,y)

t ?

y ?1 x ? 3

4x-3y-12=0

t m in ? k P B

P(-3,-1)

x+2y-3=0


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