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2017-2018版高中数学第一章算法初步1.1.1算法的概念学案新人教B版必修3

1.1.1 算法的概念 [学习目标] 1.通过解二元一次方程组的方法,体会算法的基本思想. 2.了解算法的含义和特征. 3.会用自然语言表述简单的算法. [知识链接] ? ?x-2y=-1 1.初中时,可以通过消去法解二元一次方程组? ?2x+y=1 ? ① ② . 2.只能够被 1 和本身整除的大于 1 的整数叫质数. 3.对于区间[a,b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 f(x),通过不断把函数 f(x)的 零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐渐逼近零点,进而得到零点近似值的方 法叫做二分法. [预习导引] 1.算法 (1)算法的定义 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤,或者看成按照 要求设计好的有限的确切的计算序列,并且这样的步骤或序列能够解决一类问题. (2)描述算法的方式 描述算法可以有不同的方式.例如可以用自然语言和数学语言加以叙述,也可以借助形 式语言(算法语言)给出精确的说明,也可以用框图直观地显示算法的全貌. 我们在描述算法时,用英文 Step1,Step2,?来表示 S1,S2,?,也可以简写为 S1, S2,?. 2.算法设计的目的 设计算法的目的实际上是寻求一类问题的算法,它可以通过计算机来完成.设计算法的 关键是把过程分解成若干个明确的步骤,然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述 出来,从而达到计算机执行的目的. 3.算法设计的要求 (1)写出的算法,必须能解决一类问题(例如解任意一个二元一次方程组),并且能重复 使用; 1 (2)要使算法尽量简单、步骤尽量少; (3)要保证算法正确,且计算机能够执行. 要点一 算法的概念 例 1 下列关于算法的说法,正确的个数有( ①求解某一类问题的算法是唯一的; ②算法必须在有限步操作之后停止; ) ③算法的每一步操作必须是明确的,不能有歧义或模糊; ④算法执行后一定产生确定的结果. A.1 答案 C 解析 由于算法具有有限性、确定性、输出性等特点,因而②③④正确,而解决某类问 题的算法不一定唯一,从而①错. 规律方法 1.算法实际上是解决问题的一种程序性方法,它通常解决某一个或一类问 B.2 C.3 D.4 题,在用算法解决问题时,显然体现了特殊与一般的数学思想. 2. 算法的特点有: ①有限性, ②确定性, ③顺序性与正确性, ④不唯一性, ⑤普遍性. 解 答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点. 跟踪演练 1 下列叙述中,①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤;②按顺序进 行下列运算:1+1=2,2+1=3,3+1=4,?,99+1=100;③从青岛乘动车到济南, 再从济南乘飞机到沈阳观看全运会开幕式;④3x>x+1;⑤求所有能被 3 整除的正数, 即 3,6,9,12,?. 能称为算法的有________. 答案 ①②③ 解析 根据算法的含义和特征:①②③都是算法;④⑤不是算法.其中④,3x>x+1 不 是一个明确的步骤,不符合明确性;⑤的步骤是无穷的,与算法的有限性矛盾. 要点二 算法的设计 例 2 (1)设计一个算法,判断 7 是否为质数. (2)设计一个算法,判断 35 是否为质数. 解 (1)S1 用 2 除 7,得到余数 1,所以 2 不能整除 7. 2 S2 用 3 除 7,得到余数 1,所以 3 不能整除 7. S3 用 4 除 7,得到余数 3,所以 4 不能整除 7. S4 用 5 除 7,得到余数 2,所以 5 不能整除 7. S5 用 6 除 7,得到余数 1,所以 6 不能整除 7. 因此,7 是质数. (2)S1 用 2 除 35,得到余数 1,所以 2 不能整除 35. S2 用 3 除 35,得到余数 2,所以 3 不能整除 35. S3 用 4 除 35,得到余数 3,所以 4 不能整除 35. S4 用 5 除 35,得到余数 0,所以 5 能整除 35. 因此,35 不是质数. 规律方法 设计一个具体问题的算法,通常按以下步骤: (1)认真分析问题,找出解决此题的一般数学方法; (2)借助有关变量或参数对算法加以表述; (3)将解决问题的过程划分为若干步骤; (4)用简练的语言将这个步骤表示出来. 跟踪演练 2 判断一个大于 2 的整数是否为质数的算法步骤如何设计? 解 S1 给定一个大于 2 的整数 n. S2 令 i=2. S3 用 i 除 n,得到余数 r. S4 判断“r=0”是否成立.若是,则 n 不是质数,结束算法;否则,将 i 的值增加 1, 仍用 i 表示. S5 判断“i>n-1”是否成立.若是,则 n 是质数,结束算法;否则,返回 S3. 要点三 算法的应用 例 3 一次青青草原园长包包大人带着灰太狼、懒羊羊和一捆青草过河.河边只有一条 船,由于船太小,只能 装下两样东西.在无人看管的情况下,灰太狼要吃懒羊羊,懒羊羊要吃青草,请问包包 大人如何才能带着他们平安过河?试设计一种算法. 解 包包大人采取的过河的算法可以是: 3 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 包包大人带懒羊羊过河; 包包大人自己返回; 包包大人带青草过河; 包包大人带懒羊羊返回; 包包大人带灰太狼过河; 包包大人自己返回; 包包大人带懒羊羊过河. 规律方法 对于像查找、变量代换、文字处理等非数值型计算问题,设计算法时,首先 建立过程模型,然后根据过程设计步骤,完成算法. 跟踪演练 3 一位商人有 9 枚银元,其中有 1 枚略轻的是假银元,你能用天平(无砝码) 将假银元找出来吗? 解 S1 法一 算法如下: 任取 2 枚银元分别放在天平的两边, 若天平左、 右不平衡, 则轻的一枚就是假银元, 若天平平衡,则进行 S2. S2 取下右边的银元放在一边,然后把剩下的 7 枚银元依次放在右边进行称量,直到天 平不平衡,偏轻的那一枚就是假银元. 法二 算法如下. S1 把 9 枚银元平均分成 3 组,每组

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