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2019年高中数学 1.3.1函数的单调性教案 新人教版必修1

2019 年高中数学 1.3.1 函数的单调性教案 新人教版必修 1
教学目标 (一)知识与技能目标 学生通过经历观察、归纳、总结、证明等数学活动能够: 1、理解增函数、减函数的概念及函 数单调 性的定义 2、会根据函数的图像判断函数的单调性 3、能根据单调性的定义证明函数在某一 区间上是增函数还是减函数 (二)过程目标 1、培养学生利用数学语言对概念进行概括的能力 2、学生利用定义证明单调性,进一步加强逻辑推理能力及判断推理能力的培养 (三)情感、态度和价值观 1、通过本节课的教学,启发学 生养成细心观察,认真分析,严谨论证的良好习惯 2、通过问题链的引入,激发学生学习数学的兴趣,学生通过积极参与教学活动,获得成功的体验,锻炼克服困难 的意志,建立学习数学的自信心 教学重点:函数单调性的定义及单调性判断和证明 一、复习回顾,新课引入 1、函数与映射的定义。 2、函数的常用表示方法 3、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 1 x

①随 x 的增大,y 的值有什么变化?②能否看出函数的最大(小)值?③函数图象是否具有某种对称性? 4、作出下列函数的图象: 2 (1)y=x ; (2)y=x ; 二、师生互动,新课讲解: 2 观察函数 y=x 与 y=x 的图象,当 x 逐渐增大时,y 的变化情况如何? 可观察到的图象特征: (1)函数 f ( x) ? x 的图象由左至右是上升的; (2)函数 f ( x) ? x 2 的图象在 y 轴左侧是下降的,在 y 轴右侧是上升的;也就 是图象在区间 (??,0] 上, 随着 x 的增大, 相应的 f ( x) 随着减小, 在区间 (0,??) 上, 随着 x 的增大, 相应的 f ( x) 也随着增大. 归纳:从上面的观察分析可以看出:不同的函数,其图象的变化趋势不同,同 一函数在不同区间上的变化趋势也不同.函数图象的这种变化规律就是函数性质的 反映. 1.如何用函数解析式 f ( x) ? x 描述“随着 x 的增大,相应的 f ( x) 随着减小” , “随着 x 的增大,相应的 f ( x) 也 随着增大”? 在区间 (0,??) 上任取 x1,x2, 函数值的大小变化与自变量的大小变化有何关系?如何用数学符号语言来描述这种关 系呢?
2

对于函数 f ( x) ? x , 经过师生讨论得出: 在区间 (0,??) 上, 任取两个 x1 , x 2 , 当 x1 ? x 2 时, 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 这
2

时,我们就说函数 f ( x) ? x 在区间 (0,??) 上是增函数. 课堂练习
2

请你仿照刚才的描述,说明函数 f ( x) ? x 在区间 (??,0] 上是减函数. 2.增函数和减函数的定义 设函数 f ( x) 的定义域为 I :
2

(1)如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么 就说函数 f ( x) 在区间 D 上是增函数(increasing function) .区间 D 叫做函数的增区间。

(2)请你仿照增函数的定义给出函数 f ( x) 在区间 D 上是减函数的定义. 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么就说 函数 f ( x) 在区间 D 上是减函数(decreasing function) .区间 D 叫做函数的减区间。

3.对定义要点分析 问: (1)你能分析一下增函数定义的要点吗? (2)你能分析一下减函数定义的要点吗? 引导学生分析增(减)函数定义的数学表述,体会定义 中“区间 D 上的任意两个自变量都有…”的含义. 例题选讲: 例 1:(课本 P29 例 1)图 2-10 是定义在闭区间[-5,5]上的函数 y=f(x)的图象,根据图象说出 x=f(x)的单调区 间,以及在每一单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数.

解:函数 y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中 y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是 减函数,在区间[-2 , 1),[3, 5]上是增函数. 变式训练 1:如图为 2008 年北京奥运会奥林匹克公园场馆自动气象站某日一天 24 小时内的气温变化图(24 时与 0 时气温相同为 32 C),观察这张气温变化图:

问:该图形是否为函数图象?定义域是什么? 问:如何用数学语言来刻画温度随时间变化而变化的趋势呢? 例 2 证明函数 f(x)=3x+2 在 R 上是增函数. 证明:设 x1,x2 是 R 上的任意两个实数, 且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2) =3(x1-x2). 由 x1<x2,得 x1-x2<0, 于是 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2).

所以,f(x)= 3x+ 2 在 R 上是增函数. 想一想:函数 f(x)=-3x+2 在 R 上 是增函数还是减函数?试画出 f(x)的图象,判断你的结论是否正确. 归纳:利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) ○ . 变式训练 2:

1 在(0,+ ? )上为减函数。 x 1 (2)证明函数 y ? x ? 在(1,+∞)上为增函数. x
(1)证明函数 y= 课堂练习: (课本 P32 练习 NO:1;2;3;4) 三、课堂小结,巩固反思: (1)增减函数的图象有什么特点? 增减函数的图象从左自右是上升的,减函数的图象从左自右是下降的. (2)用定义证明函数的单调性: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 (3)如果函数 y ? f ( x) 在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y ? f ( x) 在这一区间具有(严格的)单调 性,区间 D 叫做 y ? f ( x) 的单调区间. 四、布置作业: A 组: 1、( 课本 P39 习题 1.3A 组 NO:1)

2、(课本 P39 习题 1.3A 组 NO:2)

3、(课本 P39 习题 1.3A 组 NO:3)

4、证明函数 y ? x ?

1 在(0,1)上为减函数. x

B 组: 2 1、作出函数 y =-x +2|x|+3 的图象并指出它的的单调区间。(提示:可以看作 y=f(|x|)的图象的作法)

2、(tb0109105)已知函数 f(x)是区间(0,+ ? )上的减函数,那么 (1)f(3)与 f(2)的大小关系是_____________; (答:f(3)<f(2)) (2)f(a -a+1)与 f(
2

3 3 2 )的大小关系是____________(答:f(a -a+1) ? f( )) 4 4

C 组: 1. 设 f(x)是定义在 R 上的增函数,f(xy)=f(x)+f(y), 1 求 f(0)、f(1)的值; ○ 2 若 f(3)=1,求不等式 f(x)+f(x-2)>1 的解集. ○


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