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二次函数复习[上学期] 浙教版1_图文

九年级数学(下)第三章 圆
圆的轴对称性(2)

复习
? 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 ? 弦所对的两 条弧.
C

A

M└


如图∵ CD是直径, CD⊥AB, B
O

∴AM=BM,

⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
CD平分弦AB 结论 CD平分弧AB CD平分弧ADB

D

条件

CD为直径

CD⊥AB

探索规律
? AB是⊙O的一条弦,且AM=BM.
?

过点M作直径CD.
?

右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
C

? 你能发现图中有哪些等量关系?
B O

A





M


⌒ ⑤AD=BD. D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.

发现图中有: ?由 ① CD是直径 ③ AM=BM
?

②CD⊥AB,
可推得

⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒

讨论
平分弧的直径一定垂直平分弧所对的弦吗? 你能证明吗?

注意
? 根据垂径定理与逆定理,在下列五个条件中:

⌒ ⌒ ① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM, ④AC=BC, ⌒ 具备其中两个条件,可推出其余三个结论吗? ⌒ ⑤AD=BD.
C

A

M└


B O
? ?

你可以写出相应的命题吗? 相信自己是最棒的!

D

C

定理及逆定理
条件
①② ①③ ①④ ①⑤ ②③

A

M└


B O

结论

定理及逆定理
D

③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.

②④⑤ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的 ②③④ 另一条弧. ①④⑤ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.

②④
②⑤ ③④

①③⑤

垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且 ①③④ 平分弦和所对的另一条弧. ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.

③⑤
④⑤

填一填

挑战自我
? 1、判断: ? ⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两 条弧. ( ?) ? ⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的 另一条弧. (√ )

? ⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.(

?

) )

? ⑷圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行 . ( ?)

? ⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. (



例题

赵州石拱桥

? 1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱 是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.2 m,拱高 (弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的 半径(精确到0.01m).

你能告诉 同学们解 题方法和 结果吗?
?

挑战自我定理的推论
? 如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所平的弧相 等吗? ? 老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况: 1.两条弦在圆心的同侧
O

2.两条弦在圆心的两侧
A


A C



B D

O

B D

C

垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.

船能过拱桥吗
? 2 . 如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶 高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并 高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这 座拱桥吗?
? 相信自己能独立 完成解答.

试一试P93 15

挑战自我画一画
? 4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、 H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.
A H G D

B

E

· 0

F

C

推论(1)
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧 (2)平分弧的直径垂直平分弧所对的弦。

推论(2)
圆的两条平行弦所夹的弧相等

M A

. O

B A C

C A O E

.

.O
N

D B

D

B

小结:

解决有关弦的问题,经常是过圆心作 弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连结半 径等辅助线,为应用垂径定理创造条件。

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