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2015年深圳二模理科数学试题纯word版

试卷类型:A

2015 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科) 2015.4
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号, 同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、 不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写 上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多 涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:如果柱体的底面积为 S ,高为 h ,则柱体的体积为 V ? Sh ; 如果随机变量 X 服从正态分布 N (? , ? 2 ) ,则 P(a ? X ? b) ?
? 1 e 其中 ?? ,? ( x) ? 2 π? ( x ? ? )2 2? 2

? ?? ? ( x)dx ,
a ,

b

, x ? (?? , ? ?) , ? 为均值, ? 为标准差.

一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一 1 2 1 项是符合题目要求的. 2015 1 1.设 i 为虚数单位,则复数 i 等于 A. 1 B. ?1 C. i D. ? i 2 2.平面向量 a ? (1, ? 2) , b ? (?2 , x) ,若 a // b ,则 x 等于 A. 4 B. ?4 C. ? 1 3.下列四个函数中,在闭区间 [?1 , 1] 上单调递增的函数是 D. 2
正视图 侧视图

A. y ? x 2 B. y ? 2x C. y ? log2 x D. y ? sin 2 x 2 4.如图 1,已知某品牌墨水瓶的外形三视图和尺寸, 则该墨水瓶的容积为(瓶壁厚度忽略不计) 开始 A. 8 ? π B. 8 ? 4 π C. 16 ? π D. 16 ? 4 π x ? 3, v ? 0, i ? 3

俯视图

?1 ? x ? y ? 3 5.若实数 x , y 满足约束条件 ? , ??1 ? x ? y ? 1 则 2 x ? y 的取值范围是 A. [0 , 6] B. [1 , 6] C. [1 , 5] D. [0 , 5]

图1
i ? i ?1

v ? vx ? ai
输入 ai

6.如图 2,在执行程序框图所示的算法时,若输入 a3 , a2 , a1 , a0 的值依次是 1 , ? 3 , 3 , ?1 , 则输出 v 的值为 A. ? 2 B. 2
·1 ·

i ?0?
否 输出 v 结束



图2

C. ? 8 D. 8 7.从 1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 这六个数字中任取五个,组成五位数,则不同的五位数共有 A. 50 个 B. 60 个 C. 100 个 D. 120 个 8.设 X 是直角坐标平面上的任意点集,定义 X * ? {(1 ? y, x ?1) | ( x , y) ? X } .若 X * ? X ,则称点 集 X “关于运算*对称”. 给定点集 A ? {( x, y) | x2 ? y 2 ? 1} , B ? {( x, y) | y ? x ? 1} , C ? {( x, y) | | x ? 1 | ? | y |? 1} , 其中“关于运算 * 对称”的点集个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选 做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9.不等式 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ? 5 的解集为 . 10.已知随机变量 X 服从正态分布 N (1 , ? 2 ) ,若 P( 0 ? X ? 1) ? 0.3 , 则 P( X ? 2 ) ? .
2

11.已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,若其渐近线与抛物线 y ? 4 x 的准线围成的三角形面 积为 1 ,则此双曲线的离心率等于 . 12.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 S3 ? 15 , S9 ? 153 ,则 S6 ? .
2 13.已知△ ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边为 a 、 b 、 c ,则“ ab ? c ”是“ C ?

π ” 3

的 条件. (填“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中的一种) . (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系中,已知直线 l : ?

?x ? 1? s ( s 为参数)与曲线 C : ?y ? 2 ? s

?x ? t ? 3 ( t 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 AB ? _______. ? 2 y ? t ? 15. (几何证明选讲选做题)如图 3, AB 、 AC 是⊙ O 的 A 两条切线,切点分别为 B 、 C .若 ?BAC ? 60? , BC ? 6 , 则⊙ O 的半径为 .

B

?
C
图3

O

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ?) (其中 0 ? ? ? π , x ? R ) .已知 f (0) ? ? . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若角 ? 满足 sin(? ? ) ? f (? ) ,且 0 ? θ ? π ,求角 ? 的值. 17. (本小题满分 12 分) 深圳市于 2014 年 12 月 29 日起实施小汽车限购政策.根据规定,每年发放 10 万个小汽车名额, 其中电动小汽车占 20%,通过摇号方式发放,其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半.政策 推出后,某网站针对不同年龄段的申请意向进行了调查,结果如下表所示: 申请意向 摇号 竞价(人数) 合计
·2 ·

1 2

π 3

年龄 30 岁以下 (含 30 岁) 30 至 50 岁 (含 50 岁) 50 岁以上 合计

电动小汽车(人数) 非电动小汽车(人数) 50 50 100 200 100 150 150 400 50 300 50 400 200 500 300 1000

(1)采取分层抽样的方式从 30 至 50 岁的人中抽取 10 人,求其中各种意向人数; (2)在(1)中选出的 10 个人中随机抽取 4 人,求其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率; (3)用样本估计总体,在全体市民中任意选取 4 人,其中摇号申请电动小汽车意向的人数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA , OB , OC 两两垂直, △ ABC 为等边三角形, M 为△ ABC 内部一点,点 P 在 OM 的延长 线上,且 PA? PB. (1)证明: OA ? OB ; (2)证明:平面 PAB? 平面 POC ; (3)若 AP : PO : OC ? 5: 6 :1, 求二面角 P ? OA ? B 的余弦值.
C

P

?

M
B

O

A

19. (本小题满分 14 分)

图4 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? an?1 ? n ? 2n?3 ? 4 , n ? N* ,且 a1 , S 2 , 2a3 ? 4 成等比数列. (1)求 a1 , a2 , a3 的值; (2)求数列 ?

? an ? 的通项公式; n ? ?2 ?

(3)证明:对一切正整数 n ,有

3 4 n?2 ? ?…? ?1. a1 a2 an

·3 ·

20. (本小题满分 14 分) 已知动点 M ( x, y ) 和定点 N ( 0,1) , MN 的中点为 P ,若直线 MN 、 OP 的斜率乘积为 ? (其中 O 为 原点, ?1 ? ? ? 0 ),动点 M 的轨迹为 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)曲线 C 上是否存在两点 A, B ,使得 NAB 是以 N 为顶角的等腰直角三角形?若存在,指出这样 的三角形共有几个;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 其中 a , b 为常数. (1)若 f ( x) 的图像在 x ? 1 处切线过点 (0 , ? 5) ,求 a 的值;

b 1 ,对任意的 x ? (0 , ? ?) ,满足 f ( x) ? f ( ) ? 0 , x x

a2 ) ? 0; (2)已知 0 ? a ? 1 ,求证: f ( 2 (3)当 f ( x) 存在三个不同的零点时,求 a 的取值范围.

·4 ·

2015 年深圳市高三年级第二次调研考试

数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项是符合题目要求的.

题号 答案

1 D

2 A

3 B

4 C

5 B

6 D

7 B

8 B

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选 做题两部分. (一)必做题:第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. ? ?2 ,3? 10.

0.2

11.

2

12.

66

13. 充分非必要

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题) 2 15. (几何证明选讲选做题) 2 3

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? A cos(2 x ? ? ) (其中 A ? 0 , 0 ? ? ? π , x ? R ) .已知 x ? 小值 ?2 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)若角 ? 满足 2sin(? ?

π 时, f ( x ) 取得最 6

π π ) ? f (? ) ,且 0 ? θ ? π ,求 sin(? ? ) 的值. 3 3

解: (1)由 f ( x ) 最小值 ?2 且 A ? 0 ,所以 A ? 2 . …………………………………………1 分 因为 f ( ) ? ?2 ,所以 cos( 由 0 ? ? ? π 可得

π 6

π ? ? ) ? ?1 , ……………………………………………………2 分 3

π π 4π π ? ?? ? ,所以 ? ? ? π , ………………………………………3 分 3 3 3 3
·5 ·

所以 ? ?

2π . ……………………………………………………………………………………4 分 3 2π ). 3
…………………………………………………5 分

故 f ( x) 的解析式为 f ( x) ? 2 cos(2 x ?

2π ), 3 π π π π 即 sin(? ? ) ? 1 ? 2 sin2 (? ? ) , 2 sin2 (? ? ) ? sin(? ? ) ? 1 ? 0 , ……………………8 分 3 3 3 3 π π 1 所以 sin(? ? ) ? ?1 或 sin(? ? ) ? . ………………………………………………10 分 3 3 2
(2) (法 1)由(1) ,得 sin(? ? ) ? cos(2? ? 又 0 ? ? ? π ,所以 所以 sin(? ? ) ?

π 3

π π 4π ?? ? ? . 3 3 3

…………………………………………………11 分

π 3

1 . 2

………………………………………………………………………12 分

(法 2)由(1) ,得 sin(? ? ) ? cos(2? ? 即 cos( ? ? ) ? cos(2? ?

π 3

2π ), 3

2π ………………………………………………………8 分 ). 3 2π π 2π π 所以 2? ? ? 2kπ ? ? ? 或 2? ? ? 2kπ ? ? ? , k ? Z . …………………………10 分 3 6 3 6 2kπ π 5π 即? ? ? 或 ? ? 2kπ ? , k ? Z . 3 6 6 π 又 0 ? ? ? π ,所以 ? ? . …………………………………………………………11 分 2 π 1 所以 sin(? ? ) ? . ………………………………………………………………………12 分 3 2
【说明】本题主要考查 y ? A cos(? x ? ? ) 的性质,倍角公式、解三角方程、特殊角的三角函数值, 考查学生的运算能力. 17. (本小题满分 12 分) 深圳市于 2014 年 12 月 29 日起实施汽车限购政策.根据规定,每年发放 10 万个小汽车名额, 其中电动小汽车占 20%,通过摇号方式发放,其余名额通过摇号和竞价两种方式各发放一半.政策 推出后,在全市有购车意向的市民中,某网站针对不同年龄段的申请意向进行了抽样调查,结果如 下表所示: 申请意向 年龄 30 岁以下 (含 30 岁) 30 至 50 岁 (含 50 岁) 摇号 电动小汽车(人数) 非电动小汽车(人数) 50 50
·6 ·

π 6

竞价(人数) 50 300

合计 200 500

100 150

50 岁以上 合计

100 200

150 400

50 400

300 1000

(1)采取分层抽样的方式从 30 至 50 岁的人中抽取 10 人,求其中各种意向人数; (2)在(1)中选出的 10 个人中随机抽取 4 人,求其中恰有 2 人有竞价申请意向的概率; (3)用样本估计总体,在全体有购车意向的市民中任意选取 4 人,其中摇号申请电动小汽车意 向的人数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望. 解:(1)因为 30 至 50 岁的人中有意向参与摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数占总体的 比例分别为:

50 1 150 3 300 6 ? 、 ? ? . 、 500 10 500 10 500 10

………………………………………2 分

所以,抽取的人 10 人中摇号电动小汽车、非电动小汽车和竞价的人数分别为:

1 3 6 ? 10 ? 1 人、 ? 10 ? 3 人、 ? 10 ? 6 人. 10 10 10

……………………………………4 分

(2)由题意可知,在上述 10 人中有竞价申请意向的人数为 10 ? 所以,4 人中恰有 2 人竞价申请意向的概率为
2 2 C6 C4 4 C10

300 ? 6 人, 500

?

3 . 7

…………………………………6 分 ………………………………………7 分

(3) n ? 4 , ? 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4 .

因为用样本估计总体,任取一人,其摇号电动小汽车意向的概率为 p ? 所以,随机变量 ? 服从二项分布,即 ? ~ B(4 , ) .
0 4 1

200 1 ? ,……………8 分 1000 5

1 5

…………………………………………9 分
3

1? 256 1? 256 0? 1 ? ? 1? 1 ? ? P(? ? 0) ? C4 , P(? ? 1) ? C4 , ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 625 625 ?5? ? 5? ?5? ? 5? P(? ? 2)
2? 1 ? ? C4 ? ?

96 1? 16 ? 1? 3? 1 ? ? , P(? ? 3) ? C4 , ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 625 ?5? ? 5? ? 5 ? ? 5 ? 625
4 0

2

2

3

1

1? 1 4? 1 ? ? P(? ? 4) ? C4 . ? ? ?1 ? ? ? 625 ?5? ? 5?
即 ? 的分布列为:

?

P

0 256 625
1 5

1 256 625
4 5

2 96 625

3 16 625

4 1 625

……………………………………………………………………………11 分

? 的数学期望为: E? ? np ? 4 ? ? .

…………………………………………12 分

【说明】本题主要考查分层抽样、排列组合、古典概型、二项分布等知识,考查了考生读取图表、 数据处理的能力.
·7 ·

18. (本小题满分 14 分) 如图 4,已知三棱锥 O ? ABC 的三条侧棱 OA , OB , OC 两两垂直,△ ABC 为等边三角形,

M 为△ ABC 内部一点,点 P 在 OM 的延长线上,且 PA? PB.
(1)证明: OA ? OB ; (2)证明:平面 PAB? 平面 POC ; (3)若 AP : PO : OC ? 5: 6 :1 ,求二面角 P ? OA ? B 的余弦值. 证明:(1)因为 OA , OB , OC 两两垂直, 所以 OA 2 ? OC 2 ? AC 2 , OB 2 ? OC 2 ? BC 2 . 又△ ABC 为等边三角形, AC ? BC , 所以 OA 2 ? OC 2 ? OB 2 ? OC 2 , 故 OA ? OB . …………………………………………………………………………3 分

(2)因为 OA , OB , OC 两两垂直,

OC ? OA OC ? OB 所以, OA ? OB ? O

? ? ? ? ? OC ? 平面 OAB , ? OA , OB ? 平面OAB ? ?
…………………………………………………………5 分

而 AB ? 平面 OAB ,所以 AB ? OC . 取 AB 中点 D ,连结 OD , PD .

由(1)知, OA ? OB ,所以 AB ? OD . 由已知 PA? PB,所以 AB ? PD.

AB ? OD AB ? PD 所以, OD ? PD ? D

? ? ? ? ? AB ? 平面 POD , ? OD , PD ? 平面POD ? ?
…………………………………………………7 分

而 PO ? 平面 POD ,所以 AB ? PO .

AB ? OC AB ? PO 所以, OC ? PO ? O

? ? ? ? ? AB ? 平面 POC , ? OC , PO ? 平面POC ? ?

又 AB ? 平面PAB ,所以,平面 PAB? 平面 POC . …………………………………………9 分
·8 ·

解: (3) (法一)由(2)知 AB ? 平面 POD , 所以平面 OAB ? 平面 POD ,
C

P

且平面 OAB

平面 POD ? OD ,

过点 P 作 PH ? 平面 OAB ,且交 OD 的延长线于点 H ,连接 AH , 因为 PA ?

5OC , OP ? 6OC ,
O
2 2 2

?

M
B

由(1)同理可证 OA ? OB ? OC , 在△ POA 中, OP ? PA ? OA , 所以 OA ? PA ,又因为 PH ? OA , 所以 OA ? 平面 PAH , 所以 ?PAH 为二面角 P ? OA ? B 的平面角, 在直角△ PHA 中, cos ?PAH ?

D
A

H
图4

………………………………………………11 分

AH , PA

……………………………………………………12 分

由(2)知 ?AOD ? 45? ,所以△ OAH 为等腰直角三角形, 所以 AH ? OA ? OC ,所以 cos ?PAH ?

AH 5 ? , PA 5
…………………………………………………14 分

所以,二面角 P ? OA ? B 的余弦值为

5 . 5

(法 2)如图 6,以 OA , OB , OC 所在的直线分别为 x , y , z 轴,建立空间直角坐标系. 由 (1) 同理可证 OA ? OB ? OC , 设 OA ? OB ? OC ? 1 , 则 A(1 , 0 , 0) ,B(0 , 1 , 0) ,C (0 , 0 , 1) ,

OA ? (1, 0, 0) , AB ? (?1,1, 0) .
设 P( x , y , z ) ,其中 x ? 0 , y ? 0 , z ? 0 . 由 OP ? ( x , y , z ) , AP ? ( x ?1, y , z ) . 由(2)知 OP ? AB ,且 PA ? 5 OC ? 5 , OP ?
P

6 OC ? 6 ,
z
C

?(?1) ? x ? y ? 0 ? ? 2 2 2 得 ?x ? y ? z ? 6 . ? 2 2 2 ? ?? x ? 1? ? y ? z ? 5
解之,得 x ? y ? 1 , z ? 2 .

……………………………11 分
·9 ·

?

M

O

B

y

所以, OP ? (1,1, 2) 设平面 POA 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 由 n1 ? OA , n1 ? OP ,得 ?

? x1 ? 0 . ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0

取 z1 ? 1 ,得 y1 ? ?2 , n1 ? (0 , ? 2 ,1) . 由(2)知,平面 OAB 的法向量为 n2 ? OC ? (0 , 0 ,1) , ………………………………………13 分 记二面角 P ? OA ? B 的平面角为 ? ,由图可得 ? 为锐角, 所以 cos ? ?| cos? n1 , n2 ? |?

0 ? (?2) ? 0 ? 1?1

1? 5 5 所以,二面角 A ? PC ? B 的余弦值为 . 5

?

5 . 5

……………………………………………………14 分

【说明】本题主要考察空间点、线、面的位置关系,线面垂直、面面垂直的判定与性质,用空间向 量求二面角,考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力. 19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? an?1 ? n ? 2n?3 ? 4 , n ? N* ,且 a1 , S 2 , 2a3 ? 4 成等比数 列. (1)求 a1 , a2 , a3 的值;

an , n ? N* ,求数列 ?bn ? 的通项公式; n 2 3 4 n?2 ?…? ?1. (3)证明:对一切正整数 n ,有 ? a1 a2 an
(2)设 bn ?

?a1 (2a3 ? 4) ? (a1 ? a2 ) 2 , ? 解: (1)由已知,得 ?a1 ? a2 ? 20 , ?a ? a ? a ? 68 . 3 ? 1 2
解之,得 a1 ? 4 , a2 ? 24 , a3 ? 96 .

…………………………………………2 分

…………………………………………………4 分

(2) (法 1)因为 Sn ? an ?1 ? n ? 2n ?3 ? 4 , n ? N* , ……① 所以 Sn ?1 ? an ? (n ?1) ? 2n ? 2 ? 4 ,其中 n ? 2 . ……② ……………………………6 分

① ② ,并整理得 an ?1 ? 2an ? (n ? 1) ? 2n ? 2 , n ? 2 , 即 bn?1 ? bn ? 2(n ? 1) , n ? 2 .

·10·

b3 ? b2 ? 2 ? 3 ? b4 ? b3 ? 2 ? 4 ? ? 所以, ? 相加,得 bn ? b2 ? ? n ? 2?? n ? 3? . ?????? ? bn ? bn ?1 ? 2n ? ?

……………………………8 分

由(1)知 a2 ? 24 ,所以 b2 ? 6 ,所以 n ? 2 时, bn ? n ? n ? 1? , 又 a1 ? 4 , b1 ? 2 也符合上式, 所以,数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n ? n ? 1? , n ? N* . (法 2)因为 Sn ? an ?1 ? n ? 2n ?3 ? 4 , n ? N* , 所以 Sn ?1 ? an ? (n ?1) ? 2n ? 2 ? 4 ,其中 n ? 2 .

……………………9 分

…………………………………10 分 ……①

……②

即 bn?1 ? bn ? 2(n ? 1) , n ? 2 .

① ② ,并整理得 an?1 ? 2an ? (n ? 1) ? 2n?2 , n ? 2 , ……………………………………………………………6 分 由(1)知 a1 ? 4 ? 1? 2 ? 2 , a2 ? 24 ? 2 ? 3 ? 22 , a3 ? 96 ? 3 ? 4 ? 23 . 可得 b1 ? 2 ? 1? 2 , b2 ? 6 ? 2 ? 3 , b3 ? 12 ? 3 ? 4 . 猜想 bn ? n ? n ? 1? , n ? N* . …………………………………………………………8 分

以下用数学归纳法证明之: (i)当 n ? 1 时或 n ? 2 时,猜想显然正确. (ii)假设 n ? k ( k ? 2 )时,猜想正确,即 bn ? k ? k ?1? . 那么 n ? k ? 1 时, bk ?1 ? bk ? 2(k ? 1)

? k (k ? 1) ? 2(k ? 1) ? (k ? 1) ? (k ? 2) .

? (k ?1) ?(k ?1) ?1?
即 n ? k ? 1 时,猜想也正确. 由(i) (ii) ,根据数学归纳法原理,对任意的 n ? N* ,猜想正确. 所以,数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? n ? n ? 1? , n ? N* . (3)对一切正整数 n ,因为 …………………………………10 分

n?2 n?2 1 1 ? ? ? , n n ?1 an n(n ? 1) ? 2 n?2 (n ? 1) ? 2n 3 4 n?2 3 4 n?2 ?…? ? ? ?…? 所以, ? 1 2 a1 a2 an 1? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 n(n ? 1) ? 2n
·11·

…………12 分

? 1 ? 1 ? ? 1 1 ? 1 ? 1 ?? ? ? ? ? …?? ? 0 1? ? 1 2 ? n ?1 n? (n ? 1) ? 2 ? ? 1? 2 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 3 ? 2 ? ?n?2 1 ? 1? ? 1. ………………………………………14 分 ( n ? 1) ? 2 n
【说明】本题主要考查等比数列的定义,处理 Sn 与 an 的递推公式,用累加法求数列通项,数学归纳 法,理解裂项求和,考查考生运算求解、推理论证、归纳猜想的能力. 20. (本小题满分 14 分) 已知动点 M ( x , y ) 和定点 N ( 0,1) , MN 的中点为 P .若直线 MN ,OP 的斜率之积为常数 ? (其中 O 为原点, ?1 ? ? ? 0 ),动点 M 的轨迹为 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)曲线 C 上是否存在两点 A 、 B ,使得△ NAB 是以 N 为顶点的等腰直角三角形?若存在, 指出这样的三角形共有几个;若不存在,请说明理由. 解: (1)设直线 MN , OP 的斜率分别为 k1 , k 2 ,因为 P (

x y ?1 , ) , ………………1 分 2 2

y ?1 y ?1 所以 k 1 ? (x ? 0) , k2 ? 2 (x ? 0) , x x 2

……………………………………3 分

由 k1k 2 ? ? 可得:

? y ? 1? ? ? ?

y ?1 ? ? ? 2 ? ? ?(x ? 0) , x x? 2

……………………………………4 分

2 2 化简整理可得 ?? x ? y ? 1 ( x ? 0 ) ,

所以,曲线 C 的方程为 ?? x ? y ? 1 ( x ? 0 ) .
2 2

………………………………………5 分

(2)由题意 N ? 0,1 ? ,且 NA ? NB ,当直线 NA 的斜率为 0 ,则 N 与 A 重合,不符合题意, 所以直线 NA 、 NB 的斜率都存在且不为 0 ,设直线 NA 的斜率为 k , 所以直线 NB 的斜率为 ?

1 ,不妨设 k ? 0 , k 1 x ? 1 ,………………………6 分 k

所以直线 NA 的方程为 y ? kx ? 1 ,直线 NB 的方程为 y ? ?

·12·

将直线 NA 和曲线 C 的方程联立,得 ?

? y ? kx ? 1 ? ?? x ? y ? 1
2 2

2 2 ,消 y 整理可得 k ? ? x ? 2kx ? 0 ,

?

?

解得 x A ? ?

2k 2k 2 ,所以 NA ? 1 ? k ? 2 , k ?? k ??
2

以?

1 1 替换 k ,可得 NB ? 1 ? 2 ? 1 k k

2 k ??

? 1? k 2 ?

2 1 ? ?k 2

, …………………………8 分

k2
由 NA ? NB ,可得 1 ? k ?
2

2k 2 ? 1? k 2 ? , k ?? 1 ? ?k 2
2

………………………………9 分

2 3 2 所以 ? k ? k ? k ? ? ? 0 ,即 ? k ? 1? ? ?? k ? ? ? ? 1? k ? ? ? ? ? 0 ,……………………………10 分

(1)当 ?1 ? ? ? ?

1 时, 3
2

2 2 方程 ?k ? ? ? ?1? k ? ? ? 0 有 ? ? ? ? ? 1? ? 4? ? ? ? 3? ? 1?? ? ? 1? ? 0 , 2 所以方程 ? k ? 1? ? ?? k ? ? ? ? 1? k ? ? ? ? ? 0 有唯一解 k ? 1 ; ……………………………11 分

(2)当 ? ? ? (3)当 ?

1 1 3 ? k 2 ? ? ? ? 1? k ? ? ? ? ? ? k ? 1? ? 0 ,解得 k ? 1 ; ………12 分 时, ? k ? 1? ? ? ? 3 3

1 2 ? ? ? 0 时,方程 ?k 2 ? ? ? ?1? k ? ? ? 0 有 ? ? ? ? ? 1? ? 4? 2 ? ? ? 3? ? 1?? ? ? 1? ? 0 , 3

且 ? ?1 ? ? ? ?1? ?1? ? ? 3? ?1 ? 0 ,
2
2 所以方程 ? k ? 1? ? ?? k ? ? ? ? 1? k ? ? ? ? ? 0 有三个不等的根.

综上,当 ?1 ? ? ? ?

1 1 时,有一个圆符合题意;当 ? ? ? ? 0 时,有三个符合题意的圆. 3 3

……………………………………………………………………………………14 分 (注: (3)也可直接求解: 当?

1 2 ? ? ? 0 时, 方程 ?k 2 ? ? ? ?1? k ? ? ? 0 ,因为 ? ? ? ? ? 1? ? 4? 2 ? ? ? 3? ? 1?? ? ? 1? ? 0 , 3

所以 k1,2 ?

?? ? 1 ?

?3? ? 1??1 ? ? ?
2?

,又因为 ? ?1 ? ? ? ?1? ?1? ? ? 3? ?1 ? 0 ,
2

2 所以 k1,2 ? 1 ,故方程 ? k ? 1? ? ) ?? k ? ? ? ? 1? k ? ? ? ? ? 0 有三个不等的根.

·13·

【说明】本题主要考查曲线与方程,直线与椭圆的位置关系,弦长问题,一元二次方程根的个数问 题,考查考生数形结合、函数与方程的数学思想方法及运算求解能力. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? 其中 a , b 为常数. (1)若 f ( x) 的图象在 x ? 1 处的切线经过点 (0 , ? 5) ,求 a 的值; (2)已知 0 ? a ? 1 ,求证: f (

b 1 ,对任意的 x ? (0 , ? ?) ,满足 f ( x) ? f ( ) ? 0 , x x

a2 ) ? 0; 2

(3)当 f ( x) 存在三个不同的零点时,求 a 的取值范围. 解: (1)在 f ( x) ? f (

1 ) ? 0 中,取 x ? 1 ,得 f (1) ? 0 , x
……………………………………1 分

又 f (1) ? ln 1 ? a ? b ? ?a ? b ,所以 b ? a . 从而 f ( x) ? ln x ? ax ?

a 1 1 , f ?( x ) ? ? a (1 ? 2 ) , f ?(1) ? 1 ? 2a . x x x ? 5 ? f (1) ? 5, 又 f ?(1) ? 0 ?1 所以 1 ? 2a ? 5 , a ? ?2 . ………………………………………………………………3 分 2 2 3 a a a 2 2 a3 ? ? ? 2 ln a ? ? ? ln 2 . (2) f ( ) ? ln 2 2 2 a a 2 2 2 3x 2 ? 3x 4 ? 4( x ? 1) 2 x3 ? ln 2 ,则 g ?( x) ? ? 2 ? ? 令 g ( x) ? 2 ln x ? ? . x 2 x x 2 2 x2
所以, x ? (0, 1) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, 故 x ? (0, 1) 时, g ( x) ? g (1) ? 2 ? 所以, 0 ? a ? 1 时, f ( …………………………………5 分

1 ? ln 2 ? 1 ? ln e ? 0 . 2

a2 ) ? 0. ……………………………………………………7 分 2 1 1 ? ax2 ? x ? a (3) f ?( x) ? ? a(1 ? 2 ) ? . x x x2
① 当 a ? 0 时,在 (0, ? ?) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递增,

所以, f ( x) 至多只有一个零点,不合题意; ② 当a ?

…………………………………………8 分

1 时,在 (1, ? ?) 上, f ?( x) ? 0 , f ( x) 递减, 2
……………………………………10 分

所以, f ( x) 也至多只有一个零点,不合题意; ③ 当0 ? a ?

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a ? 1. ? 1 , x2 ? 时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 2 2a 2a
·14·

此时, f ( x) 在 (0 , x1 ) 上递减, ( x1 , x2 ) 上递增, ( x2 , ? ?) 上递减, 所以, f ( x) 至多有三个零点. …………………………………………………………12 分

因为 f ( x) 在 ( x1 , 1) 上递增,所以 f ( x1 ) ? f (1) ? 0 . 又因为 f ( 又 f(

a2 a2 ) ? 0 ,所以 ?x0 ? ( , x1 ) ,使得 f ( x0 ) ? 0 . ……………………………13 分 2 2

1 ) ? ? f ( x0 ) ? 0 , f (1) ? 0 , x0 1 . x0
1 ) . ………………14 分 2

所以 f ( x) 恰有三个不同的零点: x0 , 1 ,

综上所述,当 f ( x) 存在三个不同的零点时, a 的取值范围是 (0 ,

【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,包括函数的极值、零点,二次方程根的分 布等知识,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力,同时也考查函数与方程思想、化归与转化 思想. 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

·15·


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