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2017-2018学年数学北师大版必修4《平面向量数量积的坐标表示》练习含试卷分析详解

17 平面向量数量积的坐标表示 时间:45 分钟 满分:80 分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题:(每小题 5 分,共 5×6=30 分) 1.已知 a=(-3,4),b=(5,2),则 a· b=( ) A.23 B.7 C.-23 D.-7 答案:D 2.若向量 a=(2,0),b=(1,1),则下列结论正确的是( ) A.a· b=1 B.|a|=|b| C.(a-b)⊥b D.a∥b 答案:C 解析:a· b=2,选项 A 错误;|a|=2,|b|= 2,选项 B 错误;(a-b)· b=(1,-1)· (1,1)= 0,选项 C 正确,故选 C. 3.已知向量 a=(0,-2 3),b=(1, 3),则向量 a 在 b 方向上的投影为( ) A. 3 B.3 C.- 3 D.-3 答案:D a· b -6 解析:向量 a 在 b 方向上的投影为 = =-3.选 D. |b| 2 4.若 A(1,2),B(2,3),C(-3,5),则△ABC 为( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 答案:C 解析:∵A(1,2),B(2,3),C(-3,5), → → ∴AB=(1,1),AC=(-4,3), → → AB· AC 1×?-4?+1×3 1 cosA= = =- <0,∴∠A 为钝角,△ABC 为钝角三角形. → → 2× 25 5 2 |AB||AC| → → → 5.若向量AB=(3,-1),n=(2,1),且 n· AC=7,那么 n· BC等于( ) A.-2 B.2 C.-2 或 2 D.0 答案:B → → → → → → 解析:n· (AB+BC)=n· AB+n· BC=7,所以 n· BC=7-n· AB=7-(6-1)=2. 7 1 1 7 6.与向量 a=( , ),b=( ,- )的夹角相等,且模为 1 的向量是( ) 2 2 2 2 4 3 A.( ,- ) 5 5 4 3 4 3 B.( ,- )或(- , ) 5 5 5 5 2 2 1 C.( ,- ) 3 3 2 2 1 2 2 1 D.( ,- )或(- , ) 3 3 3 3 答案:B 7 1 1 7 解析:设与向量 a=( , ),b=( ,- )的夹角相等,且模为 1 的向量为 e=(x,y),则 2 2 2 2 4 4 x2+y2=1 x= , x=- , ? 5 5 ? ?7 1 1 7 ,解得 或 故选 B. 3 3 ?2x+2y=2x-2y ? y=- , y= , 5 5 ? ? ? ? ? ? 二、填空题:(每小题 5 分,共 5×3=15 分) → → 7.已知点 A(4,0),B(0,3),OC⊥AB 于点 C,O 为坐标原点,则OA· OC=________. 144 答案: 45 → → ? AB=0 ?OC· 解析:设点 C 的坐标为(x,y),因为 OC⊥AB 于点 C,∴? ,即 → → ?AC ∥AB ? ??x,y?· ?-4,3?=-4x+3y=0 ? ? ,解得 ? ?3x+4y-12=0 ?x=25 ? 48 ?y=25 36 144 → → ,∴OA· OC=4x= . 25 8.已知向量 a=(1, 3),2a+b=(-1, 3),a 与 2a+b 的夹角为 θ,则 θ=________. π 答案: 3 解析:∵a=(1, 3),2a+b=(-1, 3),∴|a|=2,|2a+b|=2,a· (2a+b)=2,∴cosθ= a· ?2a+b? 1 π = ,∴θ= . 3 |a||2a+b| 2 9.若平面向量 a=(log2x,-1),b=(log2x,2+log2x),则满足 a· b<0 的实数 x 的取值集合 为________. ? 1 ? <x<4 ? 答案:?x? 2 ? ? ? 1 解析:由题意可得(log2x)2-log2x-2<0?(log2x+1)(log2x-2)<0,所以-1<log2x<2,所以 2 <x<4. 三、解答题:(共 35 分,11+12+12) → 10.在平面直角坐标系中,A,B 两点的坐标分别为(1,2),(3,8),向量CD=(x,3). → → (1)若AB∥CD,求实数 x 的值; → → (2)若AB⊥CD,求实数 x 的值. → 解析:(1)依题意,AB=(3,8)-(1,2)=(2,6). → → → ∵AB∥CD,CD=(x,3), ∴2×3-6x=0,∴x=1. → → → (2)∵AB⊥CD,CD=(x,3), ∴2x+6×3=0,∴x=-9. 11.已知:a=(4,3),b=(-1,2),m=a-λb,n=2a+b.按照下列条件求 λ 的值: (1)m 与 n 的夹角为钝角; (2)|m|=|n|. 解析:(1)因为 m 与 n 的夹角为钝角,所以 m· n<0,且 m 与 n 不共线. 因为 m=a-λb=(4+λ,3-2λ),n=2a+b=(7,8). ? ?7?4+λ?+8?3-2λ?<0 所以? . ?8?4-λ?-7?3-2λ?≠0 ? 52 解得 λ> . 9 (2)因为|m|=|n|,所以 ?4+λ?2+?3-2λ?2= 72+82.整理可得 5λ2-4λ-88=0.解之得 λ= 2± 2 111 . 5 π π 12.已知平面向量 a=(sinα,1),b=(1,cosα),- <α< . 2 2 (1)若 a⊥b,求 α; (2)求|a+b|的最大值. 解析:(1)由已知,得 a· b=0, 即 sinα+cosα=0,∴tanα=-1. π π π ∵- <α< ,∴α=- . 2 2 4 π α+ ?. (2)由已知得|a+b|2=a2+b2+2a· b=sin2α+1+cos2α+1+2(sinα+cosα)=3+2 2sin? ? 4? π π ∵- <α< , 2 2

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