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《刹车距离与二次函数》教学课件


2.3 刹车距离与二次函数

想一想
?你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗? ?汽车刹车时向前滑行的距离(称为刹车距离)与什么 因素有关? ?影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度 及路面的摩擦系数.有研究表明,晴天在某段公路 上行驶时,速度为v(km/h)的汽车的刹车距离s(m) 可以由公式(1)确定: ?雨天行驶时,由公式(2)来计算: 1 2 1 2 ?1?.s ? v . ?2 ?.s ? v . 100 50

1 2 1 2 v 与s ? v 比较函数 s ? 100 50

的图象

?在同一直角坐标系中作出函数(1)(2)的图象(先想 一想,在函数(2)中,v可以取任何值吗?为什么?).
1 2 ?1?.s ? v . ?2?.s ? 1 v 2 . 100 50
0 0 20 4 40 16 60 36 80 64 100 100 120 144 140 196

?完成下表:
v

1 2 s? v 100 1 2 s? v 50

0

8

32

72

128

200

288

392

描点,连线
s 288

200 144 128 100 72 64 36
32

1 2 ?2?s ? v 50

1 2 ?1?s ? v 100

16
-20 0 20 40 60 80 100 120 140 V/(km/h)

观察图象回答问题
(1)两个图象有什么相同与不同?
相同点: (1)它们都是抛物线的一部分; (2)二者都位于y轴的左侧. (3)函数值都随y值的增大而增大. 不同点: (2)的图像在(1)的图象的内侧. (2)的s比(1)中的S增长速度快 .

(2)如果行车速度是60km/h,那么在雨天行 驶和在晴天行驶相比,刹车距离相差多少米? 你是怎么知道的?
刹车距离相差一半(36m),由图象,表格或解析 式都可以获知.

函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
?在同一坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象. ?(1)完成下表:
x y=x2 y=2x2 … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 … …



18

8

2

0

2

8

18



?(2)分别作出y=x2和y=2x2的图象.

?(3)二次函数y=2x2的图象

y ? x2

y ? 2x2

是什么形状?它与二次函数 y=x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
二次函数y=2x2的 图象形状与y=x2 一样,仍是抛物线. 只是开口 大小不同. 顶点都是 原点(0,0).

二次项系数a>0,开口都向上;对 称轴都是y轴;增减性与也相同.

?想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-x2和y=-2x2 的图象,会是什么样?

?(4)二次函数y=-2x2的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么? 二次函数y=-2x2的 顶点都是 2 图象形状与y=-x 原点(0,0). 一样,仍是抛物线.

y ? ?x

2

y ? ?2x 2

只是开口 大小不同.

二次项系数a<0,开口都向下;对 称轴都是y轴;增减性与也相同. ?请你总结二次函数y=ax2的图象和性质.

议一议
?在同一坐标系中作出二次函数 y=2x? +1的图象与二次函数y=2x? 的图象. ?二次函数y=2x? +1的图象与二次函数 y=2x? 的图象有什么关系?它们是轴对称 图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐 标分别是什么?作图看一看.

?二次函数y=2x2+1的图象
是什么形状?它与二次函数 y=2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).

y ? 2x2 ? 1

y ? 2x2

二次项系数为2,开口向上; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同.

位置不同; 最小值不同: 分别是1和0.

?想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-2x2+1 和y=-2x2的图象,会是什么样?

y y ? ?2 x ? 1
2

?二次函数y=-2x2+1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-2x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么? 顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,1).

y ? ?2x 2

位置不同; 最大值不同: 分别是1和0..

二次项系数为-2,开口向下; 开口大小相同;对称轴都是 y轴;增减性与也相同. ?想一想,二次函数y=ax2+c和y=ax2的图象和性质?

议一议
?在同一坐标系中作出二次函数y=3x? -1的图象 与二次函数y=3x? 的图象. ?二次函数y=3x? 一l的图象与二次函数y=3x? 的图 象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方 向、对称轴和顶点坐标分别是什么?

?二次函数y=3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?
y ? 3x 2 ? 1

y ? 3x2

顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
二次项系数为正数3,开口 向上;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.

位置不同; 最大值不同: 分别是1和0.

?想一想,在同一坐标系中作二次函数y=-3x2-1和 y=-3x2的图象,会是什么样?

?二次函数y=-3x2-1的图象 是什么形状?它与二次函数 y=-3x2的图象有什么相同和 不同?它的开口方向、对称 轴和顶点坐标分别是什么?

y ? ?3x 2

y ? ?3x 2 ?1

顶点不同,分别是 原点(0,0)和(0,-1).
二次项系数为正数-3,开口 向下;开口大小相同;对称 轴都是y轴;增减性与也相同.

位置不同; 最大值不同: 分别是0和-1.

?请你总结二次函数y=ax2+c的图象和性质.

二次函数y=ax2+c的图象和性质
1.顶点坐标与对称轴

2.位置与开口方向
3.增减性与最值

y ? ax ? c
2

y ? ax2 ? c

根据图形填表:
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 y=ax2 +c(a>0) (0,c) y=ax2 +c(a<0) (0,c) y轴 向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.

y轴

当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限); 当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限); 当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限). 当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).

开口方向
增减性 最值

向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

当x=0时,最小值为c.

当x=0时,最大值为c.

小结拓展 二次函数y=ax? +c与=ax? 的关系
1.相同点 (1)图像都是抛物线, 形状相同, 开口方向相同.

(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴.
(3)都有最(大或小)值.

(4)a>0时, 开口向上,在y轴左侧,y都随x的增大而减
小,在y轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向 下,在y轴左侧,y都随x的增大而增大,在y轴右侧,y都 随 x的增大而减小 .

2.不同点:(1)顶点不同:分别是(0,c),(0,0). (2)最值不同:分别是c和0. 3.联系: y=ax?+c(a≠0) 的图象可以看成y=ax? 的图象沿y轴整体平移|c|个单位得到的.(当 c>0时向上平移;当c<0时,向下平移).

作业布置
习题2.3 1,2题.


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