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宁夏银川一中2013-2014学年高二下学期期末考试数学(理)试题

银川一中 2013/2014 学年度(下)高二期末考试

数 学 试 卷(理)
命题人:宋彦东
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知随机变量 ? 服从正态分布 N(0,? 2 ) ,若 P(? >2)=0.023 ,则 P(-2 ? ? ? 2)= ( A.0.477 B. 0.628 C. 0.954 D. 0.977 ) )

2. 将曲线 y2=4x 按 ? : ?

? x' ? 2 x 变换后得到曲线的焦点坐标为( ? 2 y' ? y
B. ( ,0)

A. ( ,0)

1 8

1 4

C. ( ,0)

1 2

D. (1,0) )

3. 在极坐标系中,圆 ? =2cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( A. ? ? 0( ? ? R) 和 ? cos? ? 2 C. ? ? B. ? ?

?
2

( ? ? R) 和 ? cos? ? 2

?
2

( ? ? R) 和 ? cos? ? 1

D. ? ? 0( ? ? R) 和 ? cos? ? 1

4. 已知离散型随机变量 X 的分布列为 X p 则 X 的数学期望 E(x)=( A. ) C. 1 2 a 3

3 5

1 10

3 2

B. 2

5 2
)

D. 3

5.极坐标方程 ρ2cos2θ=1 所表示的曲线是( A.圆 B. 两条相交直线

C. 椭圆

D. 双曲线 )

6.若直线的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t (t 为参数),则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
2 3
C.

A.

2 3

B. ?

3 2

D. ?

3 2
)

7.若点 P(x,y)在椭圆 A. 3+ 5 8.曲线 C: ?

( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 上,则 x+y 的最大值为( 4
C. 5 D. 6

B. 5+ 5

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数 )上两点 A、B 所对应的参数是 t1, t2, 且 t1+t2=0,
1

则|AB|等于( A.|2p(t1-t2)|

) B. 2p(t1-t2) C. 2p(t12+t22) D. 2p(t1-t2)2

9.如图,将一个各面都凃了油漆的正方体,切割为 125 个同样大小 的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油 漆面数为 X,则 X 的均值 E(X)=( A. ) C.

126 125

B.

6 5

168 125

D.

7 5


10.“a≤0”是“函数 f (x)= (ax-1)x 在区间 (0,+?) 内单调递增”的( A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

11.袋中装有标号为 1、2、3 的三个小球,从中任取一个,记下它的号码,放回袋中,这样连续做三次. 若抽到各球的机会均等,事件 A=“三次抽到的号码之和为 6”,事件 B=“三次抽到的号码都是 2”,则 P(B|A)=( A. ) B.

1 7

2 7

C.

1 6

D.

7 27


12.已知 0<x<1,a、b 为常数,且 ab>0,则 y ? A. (a+b)2 B. (a-b)2 C. a+b

a2 b2 ? 的最小值为( x 1? x
D. a-b

二、填空题: (每小题 5 分,共 20 分)
1 13.已知随机变量 ? ~ B(6, ) ,则 P ?? ? 2? ? ____________(用数字作答). 3

14.若关于实数 x 的不等式 x ? 5 ? x ? 3 ? a 无解,则实数 a 的取值范围是

.

15.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考试中,男、女生平均分数分别是 75、80, 则这次考试该年级学生平均分数为 16.给出下列四个命题:
a b ① 若 a ? b,c ? d,则 ? ; c d

.

② 若 a、b 是满足 ab ? 0 的实数,则 | a ? b |?| a ? b | ; ③ 若 a ? b ,则
a b ; ? 1? a 1? b

④ 若 a ? 0,b ? 0,a ≠ b,a ? b ? 2 ,则

a 2 ? b2 ? 1 ? ab ; 2

其中正确命题的序号是____________。 (填上你认为正确的所有序号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)
2

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 Y(吨标准 煤)的几组对照数据 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

(1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 Y 关于 x 的线性回归方程 Y=bx+a; (2)已知该厂技改前,100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据(1)求出的线性回归方程,预测 生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3× 2.5+4× 3+5× 4+6× 4.5=66.5)

18. (本小题满分 12 分) 某公司拟资助三位大学生自主创业,现聘请两位专家,独立地对每位大学生的创业方案进行评审.假 设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是

1 .若某人获得两个“支持”,则给予 10 万元的创业资助;若只 2

获得一个“支持”,则给予 5 万元的资助;若未获得“支持”,则不予资助,令 ? 表示该公司的资助总额. (1) 写出 ? 的分布列; (2) 求数学期望 E? .

19. (本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系。圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程 分别为 ? ? 4sin ? , ? cos(? ?

?
4

) ? 2 2.

(1)求 C1 与 C2 的交点的极坐标; (2) 设 P 为 C1 的 圆 心 , Q 为 C1 与 C2 的 交 点 连 线 的 中 点 , 已 知 直 线 PQ 的 参 数 方 程 为

? x ? t 3 ? a, ? ? b 3 (t ? R为参数).求 a , b 的值。 ? y ? t ?1 ? 2
20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a , 其中a ? 1. (1)当 a ? 2 时,求不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集; (2)已知关于 x 的不等式 f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 2 ,求 a 的值。

?

?

3

21. (本小题满分 12 分) 电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图:

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为“体育迷”. (1)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关?

(2)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中, 采用随机抽样方法每次抽取 1 名 观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的 分布列,期望 E ( X ) 和方差 D( X ) . 附: x 2 ?

n(n11 n22 ? n12 n21 ) 2 n11 n22 n12 n21

P(x2≥k) k

0.05 3.841

0.01 6.635

4

22. (本小题满分 12 分) 某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1,2,3,…,24 这 24 个整数中等可能随机产生. (1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的 值为 i 的概率 Pi(i=1,2,3); (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自 编写程序重复运行 n 次后,统计记录了输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数.以下是甲、乙所作频数统计表的 部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 次数 n 30 … 2 100 输出 y 的值 为 1 的频数 14 … 1 027 输出 y 的值 为 2 的频数 6 … 376 输出 y 的值 为 3 的频数 10 … 697

乙的频数统计表(部分) 运行 次数 n 30 … 2 100 输出 y 的值 为 1 的频数 12 … 1 051 输出 y 的值 为 2 的频数 11 … 696 输出 y 的值 为 3 的频数 7 … 353

当 n=2100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率(用分数表 示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大. (3)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次,求输出 y 的值为 2 的次数 ξ 的分布列及数学期望.

5

高二期末数学(理科)试卷参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 A 3 B 4 A 5 D 6 D 7 A 8 A 9 B 10 C 11 A 12 A

二、填空题 13.

80 243

14.a≤8

15. 78

16.② ④

三、解答题 17.(1)由对照数据,计算得:

? X iYi ? 6 6 . 5
i ?1

4

?X
i ?1

4

2 i

? 3 2 ?4 2 ?5 2 ?6 2 ?8 6

? ? 66.5 ? 4 ? 4.5 ? 3.5 ? 66.5 ? 63 ? 0.7 ; X ? 4.5 , b 86 ? 4 ? 4.52 86 ? 81

? ? 3.5 ? 0.7 ? 4.5 ? 0.35 ? ? Y ? bX a
所求的回归方程为 (2)

y?0.7 x? 0.35

x ? 100 ,

y ? 100 ? 0.7 ? 0.35 ? 70.35 吨,

预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 90 ? 70.35 ? 19.65 (吨) 18. (1) ? 的所有取值为 0,5,10,15, 20, 25,30

P (? ? 0 )?

1 64

P (? ? 5 )?

3 32

P(? ? 10) ?

15 64
1 64

P(? ? 1 5 ? )

5 16

P (? ? 20) ?

15 3 P (? ? 25) ? 64 32

P (? ? 3 0 ? )

(2) E? ? 5 ? 19. (?) 由 ? ?

3 15 5 15 3 1 ? 10 ? ? 15 ? ? 20 ? ? 25 ? ? 30 ? ? 15 . 32 64 16 64 32 64
x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y 得,
2 2

圆 C1 的直角坐标方程为 x ? ( y ? 2) ? 4 直线 C2 的直角坐标方程分别为 x ? y ? 4 ? 0

? x2 ? ( y ? 2)2 ? 4, ? x1 ? 0, 由? 解得 ? ? y1 ? 4, ? x ? y ? 4 ? 0.

? x2 ? 2, ? ? y2 ? 2,

所以圆 C1 ,直线 C2 的交点直角坐标为 (0, 4),(2, 2) 再由 ? ?

x 2 ? y 2 , ? cos ? ? x, ? sin ? ? y ,将交点的直角坐标化为极坐标 (4, ), (2 2, ) 所以 C1 与 2 4

?

?

? ? C2 的交点的极坐标 (4, ), (2 2, ) 2 4
(?? ) 由 (?) 知,点 P , Q 的直角坐标为 (0, 2), (1,3)
故直线 PQ 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 ①
6

由于直线 PQ 的参数方程为

? x ? t 3 ? a, ? ? b 3 (t ? R为参数). ? y ? t ?1 ? 2
消去参数 y ?

b ab x? ?1 2 2



?b ? 1, ? ? 2 对照① ② 可得 ? ?? ab ? 1 ? 2. ? ? 2
解得 a ? ?1, b ? 2.

x ? 2, ??2 x ? 6, ? ? 2 ? x ? 4, 20.(1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 4 ? ?2, ?2 x ? 6, x ? 4. ?
当 x ? 2 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 ? ?2 ? 6 ? 4 ? x ? 1 ; 当 2 ? x ? 4 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 ? 2 ? 4 ,不成立; 当 x ? 4 时,由 f ( x) ? 4 ? x ? 4 ? 2x ? 6 ? 4 ? x ? 5 ; 综上, x ? 1, 或x ? 5 所以,当 a ? 2 时,不等式 f ( x) ? 4 ? x ? 4 的解集为 x x ? 1, 或x ? 5 . (2)记 h( x) ? f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2x ? 2 x ? a

?

?

? ?2 a , ? 则 h( x ) ? ? 4 x ? 2a, ? 2a, ?

x ? 0, 0 ? x ? a, x ? a.

由 f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2 得 h( x) ? 2 , 即 4 x ? 2a ? 2 ? ?2 ? 4 x ? 2a ? 2 ?

a ?1 a ?1 ?x? 2 2

由已知不等式 f (2x ? a) ? 2 f ( x) ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 2 亦即 h( x) ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 2

?

?

?

?

? a ?1 ?1 ? ? 2 所以 ? 解得 a ? 3. ? a ?1 ? 2 ? ? 2
21.【解题指南】(1)据频率分布直方图可计算“体育迷”, “非体育迷”人数,按照提供的公式,计算相关数 值,与所给数据比较,获得结论; (2)将所有的基本事件罗列,很容易解决问题. 【解析】(1)由所给的频率分布直方图知,
7

“体育迷”人数为

100 ? (10 ? 0.020 ? 10 ? 0.005) ? 25



“非体育迷”人数为 75,则据题意完成 2? 2 列联表: 非体育迷 男 女 合计 将 2? 2 列联表的数据代入公式计算: 30 45 75 体育迷 15 10 25 合计 45 55 100

2 n100(30 (n11n? ? n n221 )2100100(30?10? 45?15)2 100 ? n12 n21 ) 10 ? 45 ? 15) 2 22 12 ? ?? ? ? 3.030 ? ? ?75 3.030 ?25?45 ?45?55 . ?55 ?? n25 ? n ? n 33 ? n22 ? n12 ? n21 n11 75 33 22 12 21

1n22

因为 3.030 ? 3.841 ,所以没有理由认为“体育迷”与性别有关. (2)由频率分布直方图知,抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”
1 1 X ~ B(3, ) 4 ,从而 X 的分布列为 的概率为 4 .由题意,

X P

0
1 0 C3 (1 ? )3 4

1
1 1 1 C3 ( )(1 ? )2 4 4

2
1 2 1 2 C3 ( ) (1 ? ) 4 4

3
3 1 3 C3 ( ) 4

E ( X ) ? np ? 3 ?
X 的数学期望为

1 3 9 1 3 D( X ) ? np(1 ? p) ? 3 ? ? ? ? 4 4 16 . 4 4 ,X 的方差为

22.(1)变量 x 是在 1,2,3,…,24 这 24 个整数中随机产生的一个数,共有 24 种可能. 1 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时,输出的 y=1,故 P1= ; 2 1 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出的 y=2,故 P2= ; 3 1 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出的 y=3,故 P3= . 6 1 1 1 所以输出 y 的值为 1 的概率是 ,输出 y 的值为 2 的概率是 ,输出 y 的值为 3 的概率是 . 2 3 6 (2) 当 n=2100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率如下: 输出 y 的值为 1 的频率 甲 乙 1027 2100 1051 2100 输出 y 的值为 2 的频率 376 2100 696 2100 输出 y 的值为 3 的频率 697 2100 353 2100

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. (Ⅲ )随机变量?的所有可能取值为 0,1,2,3. 1 2 8 P(?=0)=C30( )0( )3= , 3 3 27
8

? ~ B( 3, )

1 3

1 2 4 P(?=1)=C31( )1( )2= , 3 3 9 1 2 2 P(?=2)=C32( )2( )1= , 3 3 9 1 2 1 P(?=3)=C33( )3( )0= . 3 3 27 故?的分布列为

?
P 所以,E?=0?

0 8 27

1 4 9

2 2 9

3 1 27

1 8 4 2 1 +1? +2? +3? =1,即?的数学期望为 1. ? E ? ? 3 ? ? 1 27 9 9 27 3

9


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