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“对称与反对称”物理模型

建构物理模型,巧手解决问题 “对称与反对称”物理模型 太原市第十二中学 姚维明 模型建构: 一、竖直上抛运动、斜抛运动、匀速圆周运动,它们的 共同特点是: (1)轨迹具有“对称与反对称关系” (2)图象具有“对称与反对称关系” (3)规律具有“对称与反对称关系” 模型典案: 【典案 1】如图所示,从一根空心竖直钢管 A 的上端边 缘,沿直径方向向管内水平抛入一钢球,球与管壁多次 相碰后落地(球与管壁相碰时间不计) 。若换一根等高 但较粗的钢管 B,以同样的方向抛入此钢球,则运动时 间( ) A、在 A 管中的球运动时间长 B、在 B 管中的球运动时间长 C、在两管中的运动时间一样长 D、无法确定 【解析】根据斜抛运动的对称性与反对称性关系,把 图象反对称“搬开或平移”得到的轨迹恰好是一个完 整的平抛运动。竖直方向是自由落体运动。 由h? 1 2 gt 知,时间相同。 2 正确答案:C 【典案 2】一个质量为 m、电荷量为+q 的小球以初速度 v0 水平抛出,在小球经过的竖直平面内,存在着若干个如图所 示的无电场区和有理想上下边界的匀强电场区, 两区域相互 间隔、竖直高度相等,电场区水平方向无限长,已知每一电 场区的场强大小相等、方向均竖直向上,不计空气阻力,下 列说法正确的是( ) A.小球在水平方向一直作匀速直线运动 mg B.若场强大小等于 ,则小球经过每一电场区的时间均相同 q C.若场强大小等于 2m g ,则小球经过每一无电场区的时间均相同 q D.无论场强大小如何,小球通过所有无电场区的时间均相同 【解析】小球在水平方向不受外力作用,做匀速直线运动,故 A 正确。 若场强大小等于 mg ,则小球经过每一电场区都做匀速直线运 q 动, 但在无电场区做匀加速曲线运动, 因此在电场区域的匀速 速度逐渐增大,B 错。 1 建构物理模型,巧手解决问题 若场强大小等于 2m g ,则小球经过每一电场区做“反对称”的平抛运动,如图所示时间必 q 定相等,C 对。D 错 正确答案:A、C 【典案 3】如图所示的直角坐标系中,在直线 x=-2l0 到 y 轴区域内存在着两个大小相等、 方向相反的有界匀强电场,其中 x 轴上方的电场方向沿 y 轴负方向,x 轴下方的电场方向沿 y 轴正方向,在电场左边界上 A(-2l0 l0)到 C(-2l0,0)区域内连续分布着电量为+q、 质量为 m 的粒子。从某时刻起由 A 点到 C 点间的粒子,依次连续以相同的速度 v0 沿 x 轴正 方向射入电场。若从 A 点射入的粒子,恰好从 y 轴上的 A′(0,l0)沿 x 轴正方向射出电场, 其轨迹如图。 不计粒子的重力及它们间的相互作 用。 ⑴求匀强电场的电场强度 E; ⑵求在 AC 间还有哪些位置的粒子, 通过电场后 也能沿 x 轴正方向运动? 【解析】 (1)物体先做类平抛运动,然后做逆向 平抛运动 l0 ? v0t , l 0 ? 解得: E ? 1 2 at1 2 Eq ? m a 2 2m v0 ql (2) 要使粒子通过电场后也能沿 x 轴正方向运动, 必须经过 n 次 “平抛运动和反平抛运动” , 轨迹如图。 第二种情况:如蓝色图所示 1 l ? v0 t 2 2 1 2 y 2 ? at 2 2 解得: y 2 ? 1 l0 22 第三种情况:如粉色图所示 1 l ? v0 t 3 3 1 y 3 ? at 32 2 解得: y 3 ? ?? 1 l0 32 n=2,3,4?? yn ? 1 l0 n2 【点评】显然研究物体的运动过程,利用反对称性,做好平抛运动的轨迹是解题的关键。 【典案 4】如图 a 所示,M、N 为竖直放置彼此平行的两块平板,析间距离为 d,两板中央各有 / 一个小孔 O、O 且正对,在两板间有垂直纸面方向的磁场,磁感应强度随时间变化的关系如 2 建构物理模型,巧手解决问题 图 b 所示。有一束正离子在 t=0 时垂直于 M 板的小孔 O 射入磁场。已知正离子的质量为 m, 带电量为 q,正离子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都是 T0, 不考虑磁场变化产生的电场的影响,不计离子的重力,求: (1)磁感应强度 B 的大小。 (2)要使正离子从 O/也垂直于 N 板射出磁场,正离子射入磁场的速度的可能值。 【解析】设垂直纸面向里的方向为正方向。 (1)正离子射入磁场, qv0 B0 ? m 做圆周运动的周期 T0 ? 2 v0 r 2? r 2?m 解得: B0 ? v0 qT0 (2) 要使正离子垂直于 N 板从 O/射出磁场, 离子的运动轨迹具 有反对称性。v0 的方向应该如图所示。 两板之间的正离子运动一个周期 T0 时, d ? 4r ; d ? n 4r ; 两板之间的正离子运动 n 个周期 nT0 时, n=1, 2, 3?? 联立方程解得: v0 ? B0 qr ?d ? m 2nT0 d ? n 4r ;n=1,2,3?? 模型体验: 【体验 1】电子以水平速度沿平行金属板中央射入,在金属板间加上如图所示的交变电压, 书籍电子的质量为 m,电荷量为 e,电压周期为 T,电压为 U0,求: (1)若电子以 t=0 时刻进入极板之间,在半个周期内恰好相反能从析的上边缘飞出,则电 子飞出的速度应多大? (2)若电子以 t=0 时刻进入极板之间,能从板的右边水平飞出,则金属板为多长? (3)若电子能从板的右边 O/点水平飞出,电子应从哪一时刻进入极板之间,两板间距至少 多大? 【解析】 (1)根据动能定理 eU 0 ? 1 2 1 2 mv ? mv0 2 2 3 建构物理模型,巧手解决问题 2 ? 解得 v ? v 0 eU 0 m (2) 若电子以 t=0 时刻进入极板之间, 能从板的右边水平飞出,由反 对称关系知粒子运动的轨迹应如图 b. 经过的时间应该满足 t ? nT n=

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