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内蒙古赤峰市宁城县2016-2017学年高二(上)期末数学试卷(文科)(解析版).doc


2016-2017 学年内蒙古赤峰市宁城县高二(上)期末数学试 卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,满分 60 分) 1.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为零,那么( A.ad>bc B.ac>bd ) C.a﹣c>b﹣d D.a﹣d>b﹣c ) D. (3,+∞)

2.已知集合 M={x|3x﹣x2>0},N={x|x2﹣4x+3>0},则 M∩N=( A. (0,1) B. (1,3) C. (0,3)

3.甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近,为了判断甲、乙两名同学成绩 哪个稳定,需要知道这两个人的( A.中位数 B.众数 ) C.方差 D.频率分布 )

4.执行如图所示的程序框图,若输入 x=2,则输出 y 的值为(

A.5

B.11

C.23 )

D.47

5.双曲线两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( A. B. C .2

D. )

6.在等比数列{an}中,a1=1,则“a2=4”是“a3=16”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=( A.100 B.99 C.98

) D.97 ) D.120°

8.在△ABC 的三边分别为 a,b,c,a2=b2+c2﹣bc,则 A 等于( A.30° B.60° C.75°

9.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图,图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃,B 点表示四月的平均最低气 温约为 5℃,下面叙述不正确的是( )

A.各月的平均最低气温都在 0℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 10.设 fn(x)是等比数列 1,x,x2,…,xn 的各项和,则 f2016(2)等于( A.22016﹣2 B.22017﹣1 C.22016﹣1 D.22017﹣2 ) )

11.要把半径为半圆形木料截成长方形,为了使长方形截面面积最大,则图中的 α=(

A.

B.

C.

D.

12.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极大值, 则函数 y=xf′(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,满分 20 分) 13.抛物线 y2=6x 的焦点到准线的距离为 . .

14.△ABC 的两个顶点为 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,△ABC 周长为 6,则 C 点轨迹为

15.若变量 x,y 满足约束条件

的 最大值=



16.为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况,从中抽取 100 名运动员;就这个问 题,下列说法中正确的有 ①2000 名运动员是总体; ②每个运动员是个体; ③所抽取的 100 名运动员是一个样本; ④样本容量为 100; ⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样; ⑥每个运动员被抽到的概率相等. ;

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知命题 p:x2+mx+1=0 有两个不等的实根,命题 q:4x2+4(m﹣2)x+1=0 无实根, 若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数 m 的取值范围. 18.在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (1)确定角 C 的大小; (2)若 c= ,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. =2csinA

19.设数列{an}是公差为 d 的等差数列. (Ⅰ)推导{an}的前 n 项和 Sn 公式; (Ⅱ)证明数列 是等差数列.

20.小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”,并用计步器进行统计.小王最近 8 天“健步走”

步数的频数分布直方图(图 1)及相应的消耗能量数据表(表 1)如下: 健步走步数(前步) 消耗能量(卡路里) 16 400 17 440 18 480 19 520

(Ⅰ)求小王这 8 天“健步走”步数的平均数; (Ⅱ)从步数为 17 千步,18 千步,19 千步的几天中任选 2 天,求小王这 2 天通过“健步走” 消耗的能量和不小于 1000 卡路里的概率.

21.已知动点 P 与平面上两定点 (1)试求动点 P 的轨迹方程 C; (2)设直线 l:y=kx+1 与曲线 C 交于 M.N 两点,当|MN|= 22.设函数 f(x)=2xlnx﹣1.

连线的斜率的积为定值﹣ .

时,求直线 l 的方程.

(1)求函数 f(x)的最小值及曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程;
3 (2)若不等式 f(x)≤3x +2ax 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2016-2017 学年内蒙古赤峰市宁城县高二(上)期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 12 小题,满分 60 分) 1.已知 a>b,c>d,且 c,d 不为零,那么( A.ad>bc B.ac>bd ) C.a﹣c>b﹣d D.a﹣d>b﹣c

【考点】不等式比较大小. 【分析】特殊值法判断 A、B,根据不等式的性质判断 C、D. 【解答】解:对于 A,令 a=4,b=2,c=5,d=1,显然不成立, 对于 B,令 a=2,b=﹣1,c=﹣1,b=﹣2,显然不成立, 对于 C,a>b,﹣c<﹣d,故 a﹣c<b﹣d,故 C 不成立, 对于 D,a>b,﹣d>﹣c,a﹣d>b﹣c,故 D 正确, 故选:D.

2.已知集合 M={x|3x﹣x2>0},N={x|x2﹣4x+3>0},则 M∩N=( A. (0,1) 【考点】交集及其运算. B. (1,3) C. (0,3)

) D. (3,+∞)

【分析】分别求出 M 与 N 中不等式的解集确定出 M 与 N,找出两集合的交集即可. 【解答】解:由 M 中不等式变形得:x(x﹣3)<0, 解得:0<x<3,即 M=(0,3) , 由 N 中不等式变形得: (x﹣1) (x﹣3)>0, 解得:x<1 或 x>3,即 N=(﹣∞,1)∪(3,+∞) , 则 M∩N=(0,1) , 故选:A.

3.甲、乙两位同学本学期几次数学考试的平均成绩很接近,为了判断甲、乙两名同学成绩 哪个稳定,需要知道这两个人的( A.中位数 B.众数 ) C.方差 D.频率分布

【考点】众数、中位数、平均数.

【分析】利用中位数、众数、方差、频率分布的概念直接求解. 【解答】解:在 A 中,中位数像一条分界线,将数据分成前半部分和后半部分, 因此用来代表一组数据的“中等水平”.故 A 不成立; 在 B 中,众数反映了出现次数最多的数据,用来代表一组数据的“多数水平”,故 B 不成立; 在 C 中,方差是样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数,方差是衡量一个样本 波动大小的量,故 C 成立; 在 D 中,频率分布反映数据在整体上的分布情况,故 D 不成立. 故选:C.

4.执行如图所示的程序框图,若输入 x=2,则输出 y 的值为(



A.5 【考点】程序框图.

B.11

C.23

D.47

【分析】分析程序框图,循环体为“直到型”循环结构,按照循环结构进行运算,即可求出满 足题意的 y 值. 【解答】解:根据题意,本程序框图为求 y 的和 循环体为“直到型”循环结构,输入 x=2, 第一次循环:y=2×2+1=5,|x﹣y|=3≤8,x=5; 第二次循环:y=2×5+1=11,|x﹣y|=6≤8,x=11; 第三次循环:y=2×11+1=23, ∵|x﹣y|=12>8, ∴结束循环,输出 y=23. 故选:C.

5.双曲线两条渐近线互相垂直,那么它的离心率为( A. B. C .2

) D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】设出双曲线的标准方程,则可表示出其渐近线的方程,根据两条直线垂直,推断出 其斜率之积为﹣1 进而求得 a 和 b 的关系,进而根据 c= 线的离心率可得. 【解答】解:设双曲线方程为 ∵两条渐近线互相垂直, ∴ ×(﹣ )=﹣1
2 2 ∴a =b ,

求得 a 和 c 的关系,则双曲

=1,则双曲线的渐近线方程为 y=± x

∴c= ∴e= = 故选 A

=

a

6.在等比数列{an}中,a1=1,则“a2=4”是“a3=16”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的性质进行求解即可. 【解答】解:在等比数列{an}中,a1=1,若 a2=4,则公比 q=
2 若 a3=16,则 a3=1×q =16,即 q=±4,

,则 a3=a2q=4×4=16.

当 q=﹣4 时,a2=a1q=﹣4,此时 a2=4 不成立, 即“a2=4”是“a3=16”的充分不必要条件, 故选:A.

7.已知等差数列{an}前 9 项的和为 27,a10=8,则 a100=(



A.100

B.99

C.98

D.97

【考点】等差数列的性质. 【分析】根据已知可得 a5=3,进而求出公差,可得答案. 【解答】解:∵等差数列{an}前 9 项的和为 27, ∴9a5=27,a5=3, 又∵a10=8, ∴d=1, ∴a100=a5+95d=98, 故选:C

8.在△ABC 的三边分别为 a,b,c,a2=b2+c2﹣bc,则 A 等于( A.30° 【考点】余弦定理. 【分析】利用余弦定理求得 cosA= B.60° C.75°

) D.120°

的值,可得角 A 的值.

2 2 2 【解答】解:∵△ABC 的三边分别为 a,b,c,且满足 a =b +c ﹣bc,

故有 cosA= 故选:B.

= ,结合 A∈(0° ,180° ) ,求得 A=60° ,

9.某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图,图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃,B 点表示四月的平均最低气 温约为 5℃,下面叙述不正确的是( )

A.各月的平均最低气温都在 0℃以上 B.七月的平均温差比一月的平均温差大 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同 D.平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 【考点】进行简单的合情推理. 【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可. 【解答】解:A.由雷达图知各月的平均最低气温都在 0℃以上,正确 B.七月的平均温差大约在 10° 左右,一月的平均温差在 5° 左右,故七月的平均温差比一月 的平均温差大,正确 C.三月和十一月的平均最高气温基本相同,都为 10° ,正确 D.平均最高气温高于 20℃的月份有 7,8 两个月,故 D 错误, 故选:D

10.设 fn(x)是等比数列 1,x,x2,…,xn 的各项和,则 f2016(2)等于( A.22016﹣2 B.22017﹣1 C.22016﹣1 D.22017﹣2



【考点】等比数列的前 n 项和.
2 2016 【分析】由已知得 f2016(2)=1+2+2 +…+2 ,由此利用等比数列的前 n 项和公式能求出结

果.
2 n 【解答】解:∵fn(x)是等比数列 1,x,x ,…,x 的各项和, 2 2016 ∴f2016(2)=1+2+2 +…+2

= 故选:B.

=22017﹣1.

11.要把半径为半圆形木料截成长方形,为了使长方形截面面积最大,则图中的 α=(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数模型的选择与应用.
2 【分析】由题意,长方形截面面积 S=2Rcosα?Rsinα=R sin2α,由此可得结论. 2 【解答】解:由题意,长方形截面面积 S=2Rcosα?Rsinα=R sin2α,

∴sin2α=1, 故选 A.

时,长方形截面面积最大,

12.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x) ,且函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极大值, 则函数 y=xf′(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【分析】由题设条件知:当 x>﹣2 时,xf′(x)>0;当 x=﹣2 时,xf′(x)=0;当 x<﹣2 时,xf′(x)<0.由此观察四个选项能够得到正确结果. 【解答】解:∵函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f′(x) , 且函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极大值,

∴当 x>﹣2 时,f′(x)<0; 当 x=﹣2 时,f′(x)=0; 当 x<﹣2 时,f′(x)>0. ∴当 x>﹣2 时,xf′(x)>0; 当 x=﹣2 时,xf′(x)=0; 当 x<﹣2 时,xf′(x)<0. 故选 D.

二、填空题(每小题 5 分,共 4 小题,满分 20 分) 13.抛物线 y2=6x 的焦点到准线的距离为 3 . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】直接利用抛物线方程求解即可.
2 【解答】解:抛物线 y =6x 可得 p=3,抛物线的焦点到准线的距离为:3.

故答案为:3;

14.△ABC 的两个顶点为 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,△ABC 周长为 6,则 C 点轨迹为 以 A, B 为焦点的椭圆(除去椭圆与 x 轴的交点) ,方程为 【考点】轨迹方程. 【分析】根据三角形的周长和定点,得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值,得到点 C 的轨迹是椭圆,椭圆的焦点在 x 轴上,写出椭圆的方程,去掉不合题意的点. 【解答】解:∵△ABC 的两顶点 A(﹣1,0) ,B(1,0) ,△ABC 周长为 6, ∴AB=2,BC+AC=4, ∵4>2,∴点 C 到两个定点的距离之和等于定值,点 C 满足椭圆的定义, ∴点 C 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆(除去椭圆与 x 轴的交点) , ∴2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,b= ∴椭圆的标准方程是 , , .

故答案为以 A,B 为焦点的椭圆(除去椭圆与 x 轴的交点) ,方程为



15.若变量 x,y 满足约束条件

的 最大值= 3 .

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由 z=2x+y 得 y=﹣2x+z, 平移直线 y=﹣2x+z, 则当直线 y=﹣2x+z 经过点 A(2,﹣1)时,直线的截距最大, 此时 z 最大, 此时 z=3, 故答案为:3;

16.为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况,从中抽取 100 名运动员;就这个问 题,下列说法中正确的有 ④,⑤,⑥ ; ①2000 名运动员是总体; ②每个运动员是个体; ③所抽取的 100 名运动员是一个样本; ④样本容量为 100; ⑤这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样; ⑥每个运动员被抽到的概率相等. 【考点】收集数据的方法.

【分析】2000 名运动员的年龄是总体,每个运动员的年龄是个体,所抽取的 100 名运动员 的年龄是一个样本,样本容量为 100,这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样,每个运动 员被抽到的概率相等. 【解答】解:④,⑤,⑥正确, ∵2000 名运动员的年龄情况是总体; 每个运动员的年龄是个体, 所抽取的 100 名运动员的年龄是一个样本, 样本容量为 100, 这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样,每个运动员被抽到的概率相等. 故答案为:④,⑤,⑥.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.已知命题 p:x2+mx+1=0 有两个不等的实根,命题 q:4x2+4(m﹣2)x+1=0 无实根, 若“p∧q”为假命题,“p∨q”为真命题,求实数 m 的取值范围. 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】根据题意,可分别求得 P 真与 Q 真时 m 的范围,再根据复合命题间的关系分 P 真 Q 假与 P 假 Q 真两类讨论即可求得实数 m 的取值范围. 【解答】解:若 p 真,则△=m ﹣4>0, ∴m>2 或 m<﹣2,若 p 假,则﹣2≤m≤2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2 若 q 真,则△=16(m﹣2) ﹣16<0,∴1<m<3, 2

若 q 假,则 m≤1 或 m≥3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣. 依题意知 p、q 一真一假.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 若 p 真 q 假,则 m<﹣2 或 m≥3; 若 q 真 p 假,则 1<m≤2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 综上,实数 m 的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(1,2]∪[3,+∞) .

18.在锐角△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (1)确定角 C 的大小; (2)若 c= ,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值.

=2csinA

【考点】解三角形. 【分析】 (1)利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦,整理可求得 sinC,进而求得 C.
2 2 (2)利用三角形面积求得 ab 的值,利用余弦定理求得 a +b 的值,最后求得 a+b 的值.

【解答】解: (1)∵ ∴正弦定理得 ∵A 锐角, ∴sinA>0, ∴ ,

=2csinA ,

又∵C 锐角, ∴
2 2 2 (2)三角形 ABC 中,由余弦定理得 c =a +b ﹣2abcosC 2 2 即 7=a +b ﹣ab,

又由△ABC 的面积得 即 ab=6,
2 2 2 ∴(a+b) =a +b +2ab=25



由于 a+b 为正,所以 a+b=5.

19.设数列{an}是公差为 d 的等差数列. (Ⅰ)推导{an}的前 n 项和 Sn 公式; (Ⅱ)证明数列 是等差数列.

【考点】等比关系的确定;数列递推式. 【分析】 (I)由等差数列的性质,利用“倒序相加”即可得出; (II) ,利用递推关系、等差数列的定义即可证明.

【解答】 (Ⅰ)解:Sn=a1+a2+a3+…+anSn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n﹣1)d]①, Sn=an+(an﹣d)+(an﹣2d)+…+[an﹣(n﹣1)d]② ①+②得 ∴ . ,

(II)证明:∵ 当 n=1 时,

, ,

当 n≥2 时,



∴数列

是以 a1 为首项, 为公差的等差数列.

20.小王为了锻炼身体,每天坚持“健步走”,并用计步器进行统计.小王最近 8 天“健步走” 步数的频数分布直方图(图 1)及相应的消耗能量数据表(表 1)如下: 健步走步数(前步) 消耗能量(卡路里) 16 400 17 440 18 480 19 520

(Ⅰ)求小王这 8 天“健步走”步数的平均数; (Ⅱ)从步数为 17 千步,18 千步,19 千步的几天中任选 2 天,求小王这 2 天通过“健步走” 消耗的能量和不小于 1000 卡路里的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (I)由已知条件利用平均数公式能求出小王这 8 天每天“健步走”步数的平均数. (II)设小王这 2 天通过“健步走”消耗的能量和不小于 1000 卡路里为事件 A.“健步走”17 千步的天数为 2 天,记为 a1,a2,“健步走”18 千步的天数为 1 天,记为 b1,“健步走”19 千 步的天数为 2 天,记为 c1,c2.利用列举法能求出小王这 2 天通过“健步走”消耗的能量和不 小于 1000 卡路里的概率. 【 解 答 】 解 :( I ) 小 王 这 8 天 每 天 “ 健 步 走 ” 步 数 的 平 均 数 为

(千步) .… (II)设小王这 2 天通过“健步走”消耗的能量和不小于 1000 卡路里为事件 A. “健步走”17 千步的天数为 2 天,记为 a1,a2,“健步走”18 千步的天数为 1 天,记为 b1,“健 步走”19 千步的天数为 2 天,记为 c1,c2.

5 天中任选 2 天包含基本事件有:a1a2,a1b1,a1c1,a1c2,a2b1,a2c1,a2c2,b1c1,b1c2,c1c2, 共 10 个. 事件 A 包含基本事件有:b1c1,b1c2,c1c2 共 3 个. 所以 .…

21.已知动点 P 与平面上两定点 (1)试求动点 P 的轨迹方程 C; (2)设直线 l:y=kx+1 与曲线 C 交于 M.N 两点,当|MN|=

连线的斜率的积为定值﹣ .

时,求直线 l 的方程.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的轨迹问题. 【分析】 (Ⅰ)设出 P 的坐标,利用动点 P 与平面上两定点 的斜率的积为定值 ,建立方程,化简可求动点 P 的轨迹方程 C. 连线

(Ⅱ)直线 l:y=kx+1 与曲线 C 方程联立,利用韦达定理计算弦长,即可求得结论. 【解答】解: (Ⅰ)设动点 P 的坐标是(x,y) ,由题意得:kPAkPB= ∴ 故 P 点的轨迹方程是 ,化简,整理得 , (x≠± )

(Ⅱ)设直线 l 与曲线 C 的交点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) , 由
2 2 得, (1+2k )x +4kx=0

∴x1+x2= |MN|=

,x1 x2=0, ,

4 2 2 2 整理得,k +k ﹣2=0,解得 k =1,或 k =﹣2(舍)

∴k=±1,经检验符合题意. ∴直线 l 的方程是 y=±x+1,即:x﹣y+1=0 或 x+y﹣1=0

22.设函数 f(x)=2xlnx﹣1. (1)求函数 f(x)的最小值及曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程;
3 (2)若不等式 f(x)≤3x +2ax 恒成立,求实数 a 的取值范围.

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题. 【分析】 (1)求出函数的导数,求得单调区间,可得极值、最值;求得切线的斜率和切点坐 标,由点斜式方程可得切线方程; (2)由题意可得 a≥lnx﹣ ﹣ ,在(0,+∞)上恒成立,构造函数 h(x)=lnx﹣ ﹣

,h′(x)= ﹣ +

=﹣

,求解最大值,即可求解 a 的取值范围.

【解答】解: (1)函数 f(x)=2xlnx﹣1 的导数为 f′(x)=2(lnx+1) , 当 x> 时,f′(x)>0,f(x)递增; 当 0<x< 时,f′(x)<0,f(x)递减. 即有 x= 取得极小值,也为最小值,且为﹣ ﹣1; 可得曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线斜率为 k=f′(1)=2, 切点为(1,﹣1) ,曲线 f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为 y+1=2(x﹣1) , 即为 2x﹣y﹣3=0;
3 (2)不等式 f(x)≤3x +2ax 恒成立,

可得:a≥lnx﹣



,在(0,+∞)上恒成立,

设 h(x)=lnx﹣



,h′(x)= ﹣ +

=﹣



h′(x)=0,得:x=1,x=﹣ (舍去) , 当 0<x<1 时,h′(x)>0, 当 x>1 时,h′(x)<0, ∴当 x=1 时,h(x)max=﹣2, ∴a≥﹣2, ∴实数 a 的取值范围:[﹣2,+∞) .

2017 年 2 月 19 日



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