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高二数学(2.3.2双曲线的简单几何性质第一课时)


2.3 2.3.2

双曲线

双曲线的简单几何性质

第一课时

问题提出

1.双曲线的标准方程和一般方程分别 是什么? x 2 y 2
a b 标准方程: y 2 x 2 (2) 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a b (1)
2

?

2

? 1? a ? 0, b ? 0 ?

一般方程: Ax2+By2=1(AB<0) 2.对于椭圆,我们根据其图形和方程 研究了它的一些基本性质,同样,我们 也可以根据双曲线的图形和方程探究其 简单的几何性质.

探究(一):双曲线的范围、对称性和顶点 2 2 x y 对于双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a b
y

F1

o

F2

x

思考1:从图形上可以看出,双曲线位于 两条平行于y轴的直线的外侧,并在上下 方向可以无限伸展,这两条平行直线的 方程是什么?双曲线上的点的横坐标和 纵坐标的取值范围是什么? y x=±a 横坐标: x≤-a或x≤a;

纵坐标:y∈R.

F1

o

F2

x

思考2:如何根据双曲线的标准方程确认 上述范围?
x≤-a或x≤a; y∈R.
y 2 x ? a (1 ? 2 ) ? a ?| x |? a b
2 2 2

x y ? b ( 2 ? 1) ? 0 ? y ? R a
2 2

2

思考3:从图形上观察,双曲线具有什么 对称性?如何通过双曲线的标准方程说 明这种的对称性?
y

F1

o

F2

x

关于x轴、y轴、原点对称.

思考4:双曲线与其对称轴的交点叫做双 曲线的顶点,那么双曲线有几个顶点? 其坐标分别是什么?
y

A1 A2 o

x

顶点:A1(-a,0),A2(a,0).

思考5:线段A1A2叫做双曲线的实轴,由 于点B1(0,-b),B2(0,b)不在双曲线 上,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,那么 双曲线的实轴和虚轴的长分别是多少? 怎样理解双曲线的半实轴长和半虚轴长?
y

实轴长:2a
虚轴长:2b

A1 o

B2 A2
x

B1

y x 思考6:对于双曲线 a 2 ? b2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ?

2

2

其范围、对称性、顶点分别是什么?
y F2 o

|y|≥a,x∈R 关于x轴、y轴、原点对称.
x

F1

顶点(0,±a)

探究(二):双曲线的渐近线

1 思考1:函数 y = 的图象是什么?它 x 与两坐标轴的位置关系如何? y 双曲线
O
x

x2 y 2 思考2:我们猜想双曲线 2 ? 2 ? 1 也有 a b

两条渐近线,你估计它们的交点在何处? 要得到渐近线的方程,关键解决什么问 题? y 求斜率
F1 o

F2

x

思考3:设点M(x0,y0)为双曲线上位于 第一象限内一动点,当点M走向远方时, 直线OM的斜率如何变化?
y

b k? a
M
F2 x

F1

o

b 思考4:进一步猜想直线 y = x 为双曲线 a 2 2 x y ? 2 ? 1 的一条渐近线,如何从理论上 2 a b

证明这个猜想?
y

N M

|MN|无限接近于零
x

F1

o

F2

x2 y 2 思考5:根据对称性,双曲线 2 ? 2 ? 1 a b

的另一条渐近线方程是什么?在图形上 如何画双曲线的渐近线?
y

y=

b x a

B2 A1 o B1 A2 x

b x 可作哪些 思考6:渐近线方程 y = a 变形?如何与双曲线方程联系起来记忆?
b y= 臂 x a x y - 2 = 0 2 a b
2 2

思考7:渐近线相同的双曲线有多少条? b x 的双曲线方程有何特 渐近线为 y = a 点? 2 2 x y - 2 = l (l 0) 2 a b

y x 思考8:双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的渐 a b

2

2

a y= x b 思考9:实轴长与虚轴长相等的双曲线叫 做等轴双曲线,等轴双曲线的一般式方 程是什么?其渐近线方程是什么?
近线方程是什么? 一般式:x2-y2=λ (λ ≠0) 渐近线:y=±x

探究(三):双曲线的离心率

思考1:与椭圆类似,把双曲线的焦距与 c 实轴长的比 称为双曲线的离心率, a c 用e表示,即 e ? ,那么双曲线的离心 a 率e的取值范围是什么? e∈(1, +∞) 思考2:双曲线的离心率与其渐近线的斜 率有什么关系? b 2

e ? 1? ( ) a

思考3:当离心率e在(1,+∞)内变化时, 它对双曲线的形状产生什么影响?如何 用三角函数知识解释上述现象?
y
B2 A1 o B1 A2 x
双曲线生成.gsp

a ?b?e? 2

思考4:等轴双曲线的离心率为多少? 反之成立吗?

理论迁移

例1 求双曲线9y2-16x2=144的半实 轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、 渐近线方程. 半虚轴长b=3. 半实轴长a=4. 5 焦点坐标(0, ±5). 离心率 e ? . 4 4 x 渐近线方程 y = 3

例2 求满足下列条件的双曲线的标 准方程: (1)实轴的长是10,虚轴长是8,焦点 在x轴上; (2)离心率 e ? 2,经过点M(-5,3).

x y (1) = 1, 25 16

2

2

x y (2) = 1. 16 16

2

2

小结作业

1.双曲线的对称性和离心率与椭圆 类似,但范围和顶点与椭圆有所不同, 渐近线是双曲线的一个特有性质. 2.双曲线的离心率和渐近线都能换 算为a,b,c任意两个数之间的直接关 系,也是确定双曲线的一个基本条件, 在解题中会经常遇到. 3.等轴双曲线有无数条,但其离心 率和渐近线是确定不变的.

作业:

P61练习:1,2,3,4.

2.3 2.3.2

双曲线

双曲线的简单几何性质 第二课时
(习题课)

双曲线性质
x y 对于双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a b
2 2

(1)范围:x≤-a或x≥a,y∈R.

(2)对称性:关于两坐标轴和原点对称. (3)顶点:(±a,0). (4)焦点:(±c,0). b y= x (5)渐近线: a c (6)离心率:e ? (e ? 1) a

应用举例

例1 求满足下列条件的双曲线的标 准方程: (1)实轴长与虚轴长之和等于焦距的 2 倍,一个顶点为(0,2);
(2)经过两点 A(3, - 4
9 B ( , 5) ; 2) , 4

2 (3)渐近线方程为 y ? ? x ,经过点 3 9
M ( , ?1). 2

例2 双曲线型冷却塔的外形,是双曲 线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面, 它的最小半径为12m,上口半径为13m, 下口半径为25m,高为55m,试选择适当 的坐标系,求出此双曲线的方程.

x y = 1 144 625

2

2

例3 已知两圆C1:(x+4)2+y2=2和 C2:(x-4)2+y2=2,动圆M与圆C1外切, 与圆C2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.
y M
O
C1 C2 x

x y = 1(x > 0) 2 14

2

2

x y 例4 已知双曲线 2 = 1(a > 2) a 2 的两条渐近线的夹角为60°,求双曲线 的离心率. 2 3
e=

2

2

x y 例5 设F1、F2为双曲线 2 ? 2 ? 1 a b 的左、右焦点,P为双曲线上一点,已 知PF2⊥x轴,|PF2|=6,双曲线的离心 率为 2 ,求双曲线的顶点坐标. (±6,0)

3

2

2

x y = 1 例6 已知双曲线 m m- 2 5 的离心率为 e ? ,求m的值.
4

2

2

18 32 或m = m = 7 7



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