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数学:2.1.1《实数指数幂及运算》学案(新人教A版必修1)

实数指数幂及运算
学习目标:掌握实数指数幂的拓展过程过程中的不变性质。
掌握根式和有理数指数幂的意义 注意指数幂的拓展过程中的底数的约束条件

学习重点:实数指数幂的运算和底数的限制条件 学习难点:实数指数幂的运算 学习过程: 一、正整数指数幂(复习) :
1. an (n ? N? ) 的意义: 2. an (n ? N? ) 的运算: (1) a ? a ? a
m n m? n

a n ? a ? a?a ??? ? ?
n

(2) (a m )n ? a m?n (4) (a ? b)m ? a m ? bm

(3)

am ? a m?n (m ? n, a ? 0) an

二、负整数指数幂(拓展) :
规定:

a0 ? 1 ( ? 0 ) a

a?n ?

1 (a ? 0 ) an

三、分数指数:
1.复习: 问题: x ? a
2

x3 ? a

则 x 的取值是什么?

2.拓展: 如果存在实数 x ,使得 x ? a (a ? R, n ? 1, n ? N? ) ,则 x 叫做 a 的 n 次方根;
n

求 a 的 n 次方根,叫做把 a 开 n 次方,称作开方运算, 正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次算术根。 当 n a 有意义时, n a 叫做根式, n 叫做根指数。 3.根式性质: (1) ( n a )n ? a(n ? 1, n ? N? ) 4.分数指数幂(有理指数幂) : (1)正分数指数幂: (2)
n

?a, 当n为正奇数时 an ? ? ??a,当n为正偶数时

a ? a (a ? 0)
n

1 n

a ?
? m n

m n

n

am ( a? 0 , n, m ? N , ? 且
(a ? 0, n, m ? N ? , 且

m 为既约分数 n

)

(2)负分数指数幂: a

?

1 a
m n

m 为既约分数) n

-1-

5、有理指数幂运算法则: a ? 0, b ? 0 , ? , ? 是有理数 (1)

a? ? a ? ? a? ? ?

(2) (a ) ? a

? ?

? ??

(3)

(a ? b)? ? a? ? b?

四、无理指数幂: 1、 a ? 0, b ? 0 , ? , ? 是无理数 (1)

a? ? a ? ? a? ? ?

(2) (a ) ? a

? ?

? ??

(3)

(a ? b)? ? a? ? b?

2、实数指数幂: a ? 0, b ? 0 , ? , ? 是实数 (1)

a? ? a ? ? a? ? ?

(2) (a ) ? a

? ?

? ??

(3)

(a ? b)? ? a? ? b?

五、典型例题: 例 1、 (整数指数幂)化简下列各式: (1) ?? ? 3.14 ?
0

? 1? (2) ? ? ? ? 2?

?5

(3) ? 2x ?

?4

(4)

?

5?2

? ?
10

5 ?2

?

9

(5)

a ?3 ? b?2 ? ? ?3a 2b?1 ? 9a ?2b?3

(6)

?a

?a
4

3

? a ?4 ? 1?? a ? a ?1 ?

? a ?3 ?? a3 ? a ?3 ?

练习: 一组: (1) x x
2
5 7

(2) (?2a b )
?2 2

2 ?3 ?2

(3) (2 x) (? x)
2

?3

(4) ( ab) ( )

?1

a b

3

(5) (a ? 2 ? a ) ? (a ? a ) 二组:

?2

(6) ( x

?2

? y ?2 ) ? ( x2 ? y2 )

m (1)若 m, n ? Z ,满足 5 ? a , 5 ?
n

1 2m?n ? ,则 5 b

.

(2)已知 a

2n

? 2 ? 1 , (n ? N * ) ,则
?1

a 3n ? a ?3n ? an ? a?n

(3)已知 a ? a

? 1 ,则 a6 ? a ?6 的值为

例 2、 (根式)求下列各式的值: (1) 81 ? 9 3
4 2
4 (2) 4 (?3) (3)

22 2? 2
3 2

6 (4) 6 (a ? b) ( a ? b)

练习:求下列各式的值 (1) 2 3 ? 3 1.5 ? 6 12 (3) ( 6 a9 )6 ? ( 3 a6 )3
2 2 2 (2) 4 (9a ? 12ab ? 4b )

(4)若 a

4x

? 2 ,求

a x ? a? x a x ? a? x

-2-

2 例 3、求使根式 (a ? 3)( a ? 9) ? (3 ? a ) a ? 3 成立的实数 a 的取值范围

练习:若 6 4a2 ? 4a ?1 ? 3 1 ? 2a ,求实数 a 的取值范围 例 4. (有理指数幂)计算下列各式: (1) (2 ) ? 2 ? (2 )
0

3 5

?2

1 4

?

1 2

? (0.01)0.5

7 0.5 10 ? 2 37 ?2 0 (2) (2 ) ? 0.1 ? (2 ) 3 ? 3? ? 9 27 48
(3) (0.064)
? 1 3 4 1 ? 7 ? (? )0 ? [(?2)3 ] 3 ? 16?0.75 ? | ?0.01| 2 8 1 2

(4) (?3 )

3 8

?

2 3

? (0.002)

?

? 10( 5 ? 2) ?1 ? ( 2 ? 3) 0

练习:计算下列各式:

120 ? 32 ? 6?1 ? 22 ?1 ?5 ; (1) ?3?2
(3) [(1 ? 2)2 ]2 ? (1 ? 2)?1 ? 1 ? 1213 ?1214
1

(2) ( 3 25 ? 125) ? 4 5 ;
2 1 3

(4) 4a 3 b

?

2 ?1 ?1 ? (? a 3 b 3 ) 3

例 5. (1)已知 x ? 0 , y ? 0 ,化简 (2)已知 2 ? 2
x ?x

xy yx y y xx

? a(常数) ,求 8x ? 8? x 的值

y ?y y ?y 练习: (1)设 x ? 0 , y ? 0 x ? x ? 2 2 ,求 x ? x 的值

小结: 1、根式和根式的性质: 3、实数指数幂的运算律:

2、指数幂的拓展: 4、实数指数幂的运算律的应用

-3-


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