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重庆一中高2016级13-14学年(下)半期试题——数学[1] 2

秘密★启用前

2014 年重庆一中高 2016 级高一下期半期考试

数 学 试 题 卷 2014.5
数学试题共 4 页,共 21 个小题。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干 净后,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题的四个选项中,只有一项是符合要 求的. 1.已知向量 a ? ?1, m?, b ? ?m,2?,若 a // b ,则实数 m 等于( A.- 2 2.不等式 A. ? x B. 2 ) C. ? x x ? 2或x ? ? C.- 2或 2

?

?

?

?

) D.0

3x ? 1 ? ?1 的解集是( x?2
B. ? x

? 3 ? ? x ? 2? ? 4 ?

? 3 ? ? x ? 2? ? 4 ?

? ?

3? 4?

D. x x ? 2

?

?

3.执行如图所示的程序框图,如果输入 a ? 2 ,那么输出的 a 值为( A. B. 16 C. 256 D. log 3 16
开始 输入 a



log3 a ? 4




输出 a

a ? a2
结束

4.等腰直角三角形 ABC 中, D 是斜边 BC 的中点,若 AB ? 2 ,则 BA? AD =( A. ? 2 5.下列命题正确的是( A. ac ? bc ? a ? b C.当 x ? 0 且 x ? 1 时, lg x ? B. ) B. 若a ? b ? 0, 则 C. D. ? 3

)

b a ? a b

1 ?2 lg x

D. a ? b ? a ? b

x+y≤8, ? ?2y-x≤4, 6.若变量 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, A.16 B.30

则 z=5y-x 的最大值是(

)

C.24

D.8 形状是

7.设△ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 b cos C ? c cos B ? a sin A , 则△ABC 的 ( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定

8.已知 a1 , a2 , b1 , b2 均为非零实数,不等式 a1 x ? b1 ? 0 与不等式 a2 x ? b2 ? 0 的解集分别为集 合 M 和集合 N,那么“ A.充分非必要条件

a1 b1 ? ”是“ M ? N ”的 ( a2 b2



B.既非充分又非必要条件 C.充要条件

D.必要非充分条件

9.(原创)在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、B、C 的对边,若 a ? 1, 且2 cosC ? c ? 2b ,则 ?ABC 的周长的 取值范围是( A. ?1,3? ) B. [2, 4] C. ?2,3? D. [3,5] )

1? 10.(原创)对任意正数 x,y 不等式 ? ? k ? ? x ? ky ? 2 xy 恒成立,则实数的最小值是 ( ? 2?
A.1 B.2 C.3 D.4

二.填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答卷对应的横线上. 11.已知等差数列 ?an ? 前 15 项的和 S15 =30,则 a1 ? a8 ? a15 =___________. 12. 下 面 框 图 所 给 的 程 序 运 行 结 果 为 S = 28 , 如 果 判 断 框 中 应 填 入 的 条 件 是 “ k ? a ”, 则 整 数

a ? _______.

是 开始 开始 k=10, SS =1 =10, =1 k>a 否 输出 S 结束 S=S+k k= 1 =k k1

13.已知非零向量 a, b 满足 a ? b ? a ? b ?

? ?

?

?

?

?

2 3 ? ? ? ? ? a ,则向量 a ? b 与 a ? b 的夹角为 3

.

14.已知数集 A ? {a1, a2 , a3 , ?, an } ,记和 ai ? a j (1 ? i ? j ? n) 中所有不同值的个数为 M ( A) .如当

A ? {1,2,3,4} 时,由 1 ? 2 ? 3 ,1 ? 3 ? 4 ,1 ? 4 ? 2 ? 3 ? 5 ,2 ? 4 ? 6 ,3 ? 4 ? 7 ,得 M ( A) ? 5 .若 A ? {1, 2,3, , n} , 则 M ( A) =
.

15.( 原 创 ) 设 实 数 a, b, c, d 满 足 : 1 ? a ? b ? c ? d ? 100 , 则

a?b?c?d ?

a c ? 取得最小值时, b d

.

三.解答题:本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(13 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且满足 cos A ? (1).求 ?ABC 的面积; (2).若 b ? c ? 6 ,求的值.

3 , AB ? AC ? 3 . 5

17. (13 分)已知关于的不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的解集为 ?x | x ? 1或x ? b?. (1).求实数 a,b 的值;
2

(2).解关于的不等式

x?c ? 0 (c 为常数). ax ? b

18. (13 分) 在 ?ABC中, a, b, c 分别是角 A、 B、 C 的对边, 且m ? n. m ? ?b,2a ? c?, n ? ?cosC,? cos B? , (1).求角 B 的大小; (2).求 sin A+sin C 的取值范围.

?

?

?

?

19.(12 分)已知数列 {a n }是首项为 a1 ?

1 1 , 公比 q ? 的等比数列 ,设数列 ?bn ?满足 4 4

bn ? 2 ? 3 log 1 an (n ? N *) .
4

(1).求数列 ?an ? bn ?的前项和为 S n ; (2).若数列 {cn }满足cn ? an ? bn , 若 cn ?

1 2 m ? m ? 1对 一切正整数恒成立,求实数 m 的取值范 4

围. 20.(12 分)如图,公园有一块边长为 2 的等边△ ABC 的边角地,现修成草坪, 图中 DE 把草坪分成 面积相等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1).设 AD ? x (x≥0) , DE ? y ,求用表示的函数关系 式,并求函数的定义域; (2).如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短, DE 的 位置应在哪里?如果 DE 是参观线路,则希望它最长, DE 的位置又应在哪里?请予证明. D B x y C A E

21.(12 分)( 改编)设正项数列 {a n } 的前项和为 S n ,向量 a ? 足 a // b . (1).求数列 {a n } 的通项公式; (2).设数列 {bn } 的通项公式为 b n ? 成等差数列,求和 m 的值; (3).如果等比数列 ?cn ?满足 c1 ? a1 ,公比满足 0 ? q ?

?

?

? * ( n ? N )满 sn ,1 , b ? ?an ? 1,2? ,

?

?

?

an (t ? N *) ,若, b2 , b m ( m ? 3, m ? N * ) an ? t
1 ,且对任意正整数, 2

ck ? ?ck ?1 ? ck ?2 ? 仍是该数列中的某一项,求公比的取值范围.

命题人:黄勇庆 审题人:王 明

2014 年重庆一中高 2016 级高一下期半期考试(本部)

数 学 答 案 2014.5
一、单项选择题(每小题分,满分 50 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

A

A

二填空题: (每小题分,满分 25 分) 11. ; 12.7; 13. 60 ; 三、解答题: 16.(本小题满分 13 分) 解: (1)因为 cos A ?
?

14. 2n ? 3 ;

15. 121.

4 3 2 ,所以 sin A ? 1 ? cos A ? , 5 5

又由 AB ? AC ? 3 ,得 bc cos A ? 3, ? bc ? 5 ,? S?ABC ? (2)对于 bc ? 5 ,又 b ? c ? 6 ,? b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 , 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ? 20 ,? a ? 2 5
2 2 2

1 bc sin A ? 2 2

17.(本小题满分 13 分) 解:(1)由题知 1,b 为方程 ax2-3x+2=0 的两根,

?b=a, 即? 3 ?1+b=a,
2

∴a=1,b=2.

(2)不等式等价于(x-c)(x-2)>0, 所以:当 c>2 时解集为{x|x>c 或 x<2}; 当 c=2 时解集为{x|x≠2,x∈R}; 当 c<2 时解集为{x|x>2 或 x<c}. 18. (本小题满分 13 分) ? ? 解:(1)由 m ? n ,得 b cosC ? (2a ? c) cos B,

? b cos C ? c cos B ? 2a cos B. 由正弦定理得

sin B cosC ? sin C cos B ? 2 sin A cos B,
? sin(B ? C ) ? 2 sin A cos B. 又 B ? C ? ? ? A, ? sin A ? 2 sin A cos B.
又 sin A ? 0,? cos B ?

? 1 . 又 B ? (0, ? ),? B ? . 3 2
? ?

2π ? 2? ? ? A? (2)∵A+B+C=π,∴A+C= ,∴sin A+sin C=sin A+sin ? 3 3

=sin A+sin

?? 2π 2π 3 3 ? cos A-cos sin A= sin A+ cos A= 3sin ? A ? ? , 3 3 2 2 6
? ? ? ?

?? 2π π π 5π 1 3 ? ∵0<A< ,∴ <A+ < ,∴ <sin ? A ? ? ≤1,∴ <sin A+sin C≤ 3. 3 6 6 6 2 2 6
故 sin A+sin C 的取值范围是 ? 19.(本小题满分 12 分) 解: (1)由题意知, a n ? ( ) ( n ? N *)

? 3 ? ? 2 , 3? . ? ?

? bn ? 3 log1 an ? 2
4

1 n 4 ∴ bn ? 3n ? 2

?1? n 1? ? ? ?1? ? 4 ? ? n?3n ? 1? . ∴ an ? bn ? ? ? ? ?3n ? 2? ∴ S n ? 3 2 ? 4?
(2)由(1)知, a n ? ( ) , bn ? 3n ? 2(n ? N *)
n

n

1 4

1 ? c n ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N *) 4 1 1 1 ? c n ?1 ? c n ? (3n ? 1) ? ( ) n ?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n ? 9(1 ? n) ? ( ) n ?1 , (n ? N *) 4 4 4
∴当 n=1 时, c 2 ? c1 ?

1 当 n ? 2时, cn?1 ? cn ,即c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? cn 4;

∴当 n=1 时, c n 取最大值是 . 又 cn ?
2

1 2 1 1 2 m ? m ? 1对一切正整数 n恒成立 ? m ? m ? 1 ? 4 4 4

即 m ? 4m ? 5 ? 0得m ? 1或m ? ?5 。 20.(本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ADE 中, y 2 ? x 2 ? AE2 ? 2 x ? AE ? cos60?

? y 2 ? x 2 ? AE2 ? x ? AE ; ①
又 S ?ADE ?

1 3 1 S?ABC ? ? x ? AE ? sin 60? ? x ? AE ? 2 . ② 2 2 2

② 代入① 得 y 2 ? x 2 ? ? ? ? 2 (y>0), ∴ y ?

? 2? ? x?

2

x2 ?

4 ?2 x2

由题意知点 D 至少是 AB 的中点,DE 才能把草坪分成面积相等的两部分。

所以 x ? 1 ,又 D 在 AB 上, AB ? 2 ,所以函数的定义域是 ?1,2 ?,

? y ? x2 ?

4 ? 2 , ?x ? ?1,2?? 。 x2
x2 ? 4 ? 2 ≥ 2?2 ? 2 ? 2 , x2

(2)如果 DE 是水管 y ? 当且仅当 x2=

4 ,即 x= 2 时“=”成立,故 DE ∥BC ,且 DE = 2 . x2 4 2 如果 DE 是参观线路,记 f ? x ? ? x ? 2 ,可知 x
函数在[1, 2 ]上递减,在[ 2 ,2]上递增, 故 f ?x ?max ? f ?1? ? f ?2? ? 5 ∴ y max= 5 ? 2 ? 3 .

即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时, DE 最长。 21.(本小题满分 12 分) 解: (1) a // b , 2 Sn ? an ? 1, 4S n ? (an ? 1) ①
2

?

?

当 n ? 1 ,有 2 S1 ? 2 a1 ? ?a1 ? 1? , {a n } 是正项数列, an ? 0 a1 ? 1
2

当 n ? 2 ,有 4Sn?1 ? ?an?1 ? 1? ② ,
2

① ② ,得 ?an ? an?1 ??an ? an?1 ? 2? ? 0 , an ? 0 , an ? an?1 ? 2 , 数列 {a n } 以 a1 ? 1 ,公差为的等差数列 an ? 2n ? 1。 (2)易 知 bn ?

2n ? 1 , 因 为 b1 , b2 , bm (m ? 3) 是 等 差 数 列 , 即 2b2 ? b1 ? bm , 2n ? 1 ? t 4 3 1 2m ? 1 ?2? ? ? ,整理得 m ? 3 ? , t ?1 3 ? t 1 ? t 2m ? 1 ? t
因为 m , t 是正整数,所以只可能是 2,3,5 ,? m?7 , m?5 , m?4 。

? ? ?
t ?2 t ?3

t ?5

(3)易知 cn ? q n?1 ,因为 ck ? ?ck ?1 ? ck ?2 ? 仍是该数列中的某一项, 所以 q
k ?1

? q k ? q k ?1 ? q k ?1 1 ? q ? q 2 是该数列中的某一项,又 c n 是的几次方的形
1 1 2 ,所以 ? 1 ? q ? q ? 1 ,所 2 4
2

?

?

?

?

式,所以

1 ? q ? q 2 也是的几次方的形式,而 0 ? q ?

以 1? q ? q 只 有 可 能

2 1? 2 是, ? ?因为q ? ? ,所以 1 ? q ? q ? q ,所以 q ? 2 ?1。 4? ?


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