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高中数学定义法求轨迹方程精品课件新人教A版必修_图文

定义法求轨迹方程

椭圆的定义
1.平面内到两定点F1F2的距离的和等于常数(大于 F1F2 ) 的点的轨迹叫椭圆

2. PF 1 ? PF 2 ? 2a(2a ? F 1F 2) 3. PF 1 ? PF 2 ? 2a(2a ? F 1F 2) 4. PF 1 ? PF 2 ? 2a(2a ? F 1F 2)

椭圆 线段
无轨迹

2

双曲线的定义
1.平面内到两定点F1 F2的距离的差的绝对值等于常数 (大于 F1 F2 )的点的轨迹叫双曲线
2. PF1 ? PF2 ? 2a (0 ? 2a ? F1 F2 ) 3. PF1 ? PF2 ? 2a (2a ? F1 F2 ) 4. PF1 ? PF2 ? 2a (2a ? F1 F2 )

双曲线 线段
无轨迹

3

抛物线定义
平面内到定点 P的距离与到定直线 l的距离 (P ? l)相等的点的轨迹叫抛 物线

P在定直线l上时P点的轨迹是直线

2 例1.已知圆C:(x ? 1 ) ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M为圆上一动点,

P在AM上点N在CM上,且满足AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0, 求N点得轨迹方程。

M

y

分析:
1.P为线段AM的中点
2.NP为线段AM的垂直 平分线
N

P
x

C

A

例1

2 例1.已知圆C:(x ? 1 ) ? y 2 ? 8, 定点A(1,0), M为圆上一动点,

P在AM上点N在CM上,且满足AM ? 2 AP, NP ? AM ? 0, 求N点得轨迹方程。

NM ? NA

M
>2
N
P

y

NM ? NC ? NA ? NC ? 2 2
N的轨迹是以A,C为焦点的椭圆

C

A

x

a ? 2, c ? 1, b ? 1
x N的轨迹方程是: ? y 2 ? 1 2
2

变式1.?ABC的一边BC在x轴上,B(?8,0), C (8,0), AB和AC两边上中线长的和为 30,则?ABC重心 G的轨迹方程 .
变式1

y

A
G

F
B
O

E
C

x

>16

( y ? 0)

例2 已知两圆C1 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 2; C2 : ( x ? 4)2 ? y 2 ? 2,
A、x ? 0 x y C、 ? ? 1 2 14
2 2 2 2

例2

动圆M 与两圆都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是:

x y B、 ? ? 1( x ? 2) 2 14 MM 2M ? 2 x ? y ? D、x ? 0或 ? ? 1 2 14 ? ? ? ? ?

C C C11 1

C C C22 2

? ( 2 二 当动圆 )1? 当动圆 M与圆 M与圆 C 2 外切,与 C1外切,与 C1C 内切时, 2内切时,

则 | MC MC |?r r ?? 2, 2 |, MC | MC ?|? r? r ?2 2 12|? 2 |1 则 | MC MC |? | MC | MC |?|? 2 22 2 12| ? 2 1 所以点M M轨迹为以 轨迹为以 C C C C 1、 1、 2为焦点的双曲线右支 2为焦点的双曲线左支

变式2..在?ABC中,B(4,0), C (?4,0).动点A满足 1 sin B ? sin C ? sin A, 求动点A的轨迹方程。 2 解:由正弦定理得:

1 AC ? AB ? BC ? 4 ? 8 2

变式2

所以A点的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的 左支且去掉与x轴的交点。

x2 y2 ? ? 1 ( y ? 0) 4 12

a ? 2, c ? 4, b ? 2 3

例3.求与C : 圆( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4相外切且与y轴相切的 动圆圆心P的轨迹方程。
y 例3

分析: 设动圆半径是r , P到y轴的距离为d

PC ? r ? 2,d ? r

P

PC ? d ? 2
y ? 8x(x ? 0) , 或y ? 0( x ? 0)
2

C

O

x

P点到C点的距离比

到y轴的距离多 2

变式3:已知圆A : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1, 动圆P与圆A外切 且与x ? 1相切,求动圆圆心 P的轨迹方程。 变式3
y

P

y ? ?8x
2

A
x

O

x2 y2 例4:P为椭圆 2 ? 2 ? 1上的任意一点,过 F2作 a b ?F1 PF2的外角平分线的垂线, 垂足为M,求 点M的轨迹。
Y

例4

延长F2 M交直线F1P于N, 易知 | PF2 |?| PN |
1 所以 | OM |? | F1 N |? a 2
F1

N
P M

O

F2

X

点M轨迹:x2 ? y 2 ? a 2

角分线想对称

x y 变式4:A为双曲线 2 ? 2 ? 1上的任意一点,过 a b 焦点F1作?F1 AF2的角平分线的垂线,垂 足为D, 求点D的轨迹。

2

2

故 | AF1 |?| AN |

解:延长F1M交AF2延长线于N, y
A

变式4

AF 1 ? AF 2 ? 2a
故 | AN | ? AF2 ? 2a 所以| F2 N |? 2a
1 所以 | OM |? | F2 N |? a 2
F1
0

F2

x

D
N

评析 (1)本题为利用圆锥曲线的定义求动 点轨迹方程的问题.若动点轨迹的条件 符合某一基本轨迹的定义,如圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义,则可以直接根 据定义求出动点的轨迹方程. (2)圆锥曲线的定义提示了其本质特 征,而圆锥曲线的方程随坐标系的不同 而不同,因而掌握定义是根本.

14

设计思路: 1.通过动态轨迹形成过程,让学生感受求轨迹方程方法。 2.通过动态轨迹形成过程,让学生感受数学的美。 3.通过动态轨迹形成过程,让学生产生疑惑,引起兴趣, 产生动力。


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