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安徽省和县一中等四校2014-2015学年高二上学期期末联考数学试题(文理合卷)


2014/2015 学年第一学期高二年级联考

数 学 试 卷
台体的体积公式
V ? 1 S1 ? S 2 ? S1 S 2 h 3

?

?

( S1为上底面积, S 2为下底面积)

一、选择题(每题 5 分,共 10 题) 1. 已知直线 a 、 b ,且 a ∥ ? , b ? ? ,则( ) A. a ∥ b B. a 与 b 相交 C. a 与 b 异面 D. a 与 b 平行或异面 2. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周,所得的几何体包括 ( ) A.一个圆台、两个圆锥 B.两个圆台、一个圆柱 C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥 3.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个边长为 a 的正方形,那么原平面四 边形的面积等于 ( ) A.
2 a 4

B.

2 a 2

C. 2 2a

D.

2 2 a 3

4.在空间四边形 ABCD 的边 AB 、 BC 、 CD 、 DA 上分别取 E、F、G、H 四点,如果 EF 与 HG 交于点 M ,则 ( ) A. M 一定在直线 BD 上 B. M 一定在直线 AC 上 C. M 可能在 AC 上,也可能在 BD 上 D. M 不在 AC 上,也不在 BD 上 5.如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2,且侧棱 AA 1 ⊥面 A1 B1C1 ,正视图是 正方形,俯视图是正三角形,该三棱柱的侧视图面积为( A.2 3 B. 3 C. 2 2 D.4 )

? A1 B1C1 D1 中 与 AD1 成 60? 角 的 面 对 角 线 的 6. 在 正 方 体 A B CD
条数是( ) A.4 条 B.6 条 C.8 条 D.10 条 7. 下列推断错误的是 ( ) A.一条直线与两个平行平面所成的角相等 B.两个平行平面与第三个平面所成的角相等 C.两条平行直线与同一个平面所成的角相等 D.两条直线与一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 8.设 ? 、 ? 、? 是三个互不重合的平面, m 、 n 是两条不重合的直线,下 列命题中正确的是 ( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? n // ? ? ? ? m // ? A. 若 B. 若 , ,则 , , ,则 m ? n m?? , m ?? , m // ? , C. 若 ? ? ? , D. 若 ? // ? , 则 m // ? 则 m // ? 9 (文) 如右图所示,正三棱锥 V ? ABC (顶点在底面的射影是
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V

E F A P B

D

C

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底面正三角形的中心)中, D, E, F 分别是 VC,VA, AC 的中点, P 为
VB 上任意一点,则直线 DE 与 PF 所成的角的大小是(
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A

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30 0

B

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90 0

C

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60 0

D

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随 P 点的变化而变化

9(理) .在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,则异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为( ) 2 2 5 2 5 2 2 A. B. C. D. ? 5 5 5 5 10.如图所示 ,在正四棱锥 S ? ABCD (顶点 S 在底面 ABCD 上的射影是正方形 ABCD 的 中心)中, E 是 BC 的中点, P 点在侧面 ?SCD 内及其边界上运动 ,并且总是保持 PE ? AC . 则动点 P 的轨迹与 ?SCD 组成的相关图形最有可能是图中的 ( )

. 二、填空题(每小题 5 分,共 5 题) 11.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形,且侧棱垂直于底面)高为 4 ,体积为 16 ,则这个球的表面积是_______ ?A ? ?B ? 90? , AD // BC ,AB ? AD ? 1, BC ? 2 ,把直角梯形 ABCD 12.直角梯形 ABCD 中, AB 绕 所在直线旋转一周得到一个旋转体,则旋转体的体积为_____ 13.如图,在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? BC ? 2, AA1 ? 1 ,则 BC1 与平面 BB1 D1 D 所成角的正弦值为________ 14. 如图所示, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ⊥底面 ABCD , 且底面各边都相等,M 是 PC 上的一动点,当点 M 满足________时,平面 MBD ⊥平面 PCD (只要填写一个你认 为是正确的条件即可).

(13 题)

(14 题)

15. (文)已知 P 为 ?ABC 所在平面外一点,且 PA, PB, PC 两两垂直,则下列结论: ① PA ? BC ;② PB ? AC ;③ PC ? AB ;④ AB ? BC .其中正确的是______ (写出所有正 确的命题的序号) 15.(理)在三棱锥 T ? ABC 中, TA, TB, TC 两两垂直, T 在底面 ABC 内的正投影为 D , 下列结论:① D 一定是 ?ABC 的垂心; ② D 一定是 ?ABC 的外心;③ ?ABC 是锐角 三角形;④ 序号)
1 1 1 1 ? ? ? ;其中正确的是______(写出所有正确的命题的 2 2 2 TD TA TB TC 2

三、解答题(6 题,共 75 分)
(共 4 页 本页第 2 页)

16. (本题满分 12 分)一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示. (1)请画出该几何体的直观图; (2)求它的表面积和体积.

17.(本题满分 12 分)如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为棱 CC1 的中点. (1)求证: A1 B1 // 平面ABE ; (2)求证: B1 D1 ? AE .

18. (本题满分 12 分)如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中, ABCD 为正方形, PA ? AD , E , F , G 分别是线段 PA , PD , CD 的中点. 求证:(1)面 PBC //平面 EFG ; (2)平面 EFG ⊥平面 PAB .

19. (本题满分 13 分)三棱锥 P ? ABC 中△ PAC 是边长为 4 的等边三角形,△ ABC 为 等腰直角三角形, ?ACB ? 900 ,平面 PAC ? 面 ABC , D、E 分别为 AB、PB 的中 点。 (1)求证 AC ? PD ; (2)求三棱锥 P ? CDE 的体积。 (3)(理)求点 P 到面 CDE 的距离。

20. (本题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD ,底面 ABCD
l
(共 4 页 本页第 3 页)

P

E G A D

F B C

为平行四边形, E、F 分别为 PD、BC 的中点, 面PAB ? 面PCD ? l . (1)证明: l // AB ; (2)(文)证明: EF // 平面PAB. (2) (理)在线段 PD 上是否存在一点 G ,使 FG // 面ABE ? 值;若不存在,请说明理由。 若存在,求出
PG 的 GD

21.(本小题满分 14 分)如图 1,已知 ⊙O 的直径 AB ? 4 ,点 C 、 D 为 ⊙O 上两点,且 将 ⊙O 沿直径 AB 折起成两个半平面 (如 ?CAB=45? ,?DAB ? 60? ,F 为弧 BC 的中点. 图 2). (1)求证: OF // 平面ACD ; (2) (文) 当折起的两个半平面垂直时,在 AD 上是否存在点 E,使得平面 OCE⊥ ACD?若存在,试指出点 E 的位置;若不存在,请说明理由. (2)(理) 当三棱锥 C ? ADO 体积最大时,求二面角 C - AD - B 的正弦值.
C
?F

平面

?
B

C
?F
?

A

? O

?
?

A

B

O
D

D

1

2

(共 4 页

本页第 4 页)

2014/2015 学年第一学期高二年级两校联考数学试卷答案
一、 1 D 二、 选择题 2 3 D C 填空题
24?

4 B
7 12、 ? 3

5 A

6 C

7 D

8 D

(文)9 (理)9 10 B C A

11、

13、

10 5

14、DM⊥PC(或 BM⊥PC)

(文)15、①②③ (理)15、①③④ 三、解答题 16. (本题满分 12 分) (1)该几何体的直观图为:
A

3

A1 1

3
B 1 C B1 C1

………6 分

(2) ∵ AC ? 2
1 ∴表面积 S ? 3 ? 3 ? 2 3 ? 2 ? ? 3 ? 3 ? 4 3 2 3 3 体积 V ? S ?ABC ? AA1 ? ………12 分 ? 3? 2 2 17.(本题满分 12 分)

A1B1∥AB
证明:(1)

AB?平面ABE??A1B1∥平面 ABE. ………6 分 A1B1?平面ABE?

?

(2)连接 A1C1,AC. ∵AA1⊥平面 A1B1C1D1,而 B1D1?平面 A1B1C1D1,则 AA1⊥B1D1,又 B1D1⊥A1C1, 且 AA1∩A1C1=A1,则 B1D1⊥平面 AA1C1C, 而 AE?平面 AA1C1C,则 B1D1⊥AE. ………12 分 18. (本题满分 12 分) (1)证明:? E , F 分别是线段 PA、PD 的中点,? EF // AD . …2 分 又∵ ABCD 为正方形,? BC // AD , ? EF // BC . ……4 分 又 FG//PC ∴ BC //平面 EFG . ………6 分 (2)证明:∵ PA ? AD ,又 EF // AD ,
(共 4 页 本页第 5 页)

∴ PA ⊥ EF . ………8 分 又 ABCD 为正方形,∴ AB ? EF , 又 PA ? AB ? A ,∴ EF ⊥平面 PAB , …10 分

又 EF ? 平面 EFG ,∴平面 EFG ⊥平面 PAB . ………12 分 (文)19. (1)取 AC 中点 O ,连 PO ,则 PO ? AC ,又面 PAC ? 面 ABC , ? PO ? 面 ABC ,连 OD ,则 OD ∥ BC ,则 DO ? AC , ∴ AC ? 面 POD ,∴ AC ? PD 。 …6 分 (2) VP-CDE =VD-PCE , ∵ E 为 PB 中点,∴ S?PCE ? S?PBC ,
1 1 1 VD-PCE = VD-PBC = VP-DBC = VP-ABC , 2 2 4
1 2



VP-CDE 1 ? 。 VP-ABC 4

易求得 VP ? ABC ?

16 3 4 3 ,故 VP ?CDE ? 。……………………………13 分 3 3

(理)19. (1)取 AC 中点 O ,连 PO ,则 PO ? AC ,又面 PAC ? 面 ABC , ? PO ? 面 ABC ,连 OD ,则 OD ∥ BC ,则 DO ? AC , ∴ AC ? 面 POD ,∴ AC ? PD 。…4 分 (2) VP-CDE =VD-PCE , ∵ E 为 PB 中点,∴ S?PCE ? S?PBC ,
1 1 1 VD-PCE = VD-PBC = VP-DBC = VP-ABC , 2 2 4
1 2



VP-CDE 1 ? 。 VP-ABC 4

易求得 VP ? ABC ?

16 3 4 3 ,故 VP ?CDE ? 。……………………………8 分 3 3

(3)∵面 PAC ? 面 ABC ,且 AC ? BC , ∴ BC ? 面PAC ,∴ BC ? PC ,又 E 为 PB 中点,
1 1 PB ? PB 2 ? BC 2 ? 2 2 ,同理得 CD ? 2 2 , 2 2 1 又 DE ? PA ? 2 ,∴ S ?CDE ? 7 2

∴ CE ?

∵ V P ?CDE ?

1 4 21 S ?CDE ? h ,∴ h ? 3 7

所以,点 P 到面 CDE 的距离为

4 21 7

……………13 分

20.(1)证明:∵ ABCD 为平行四边形,∴ AB // CD ,又 AB ? 面PCD , ∴ AB // 面PCD ,∵ 面PAB ? 面PCD ? l ,∴ l // AB .…………6 分

(共 4 页

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(文)(2)取 PA 中点 M,连接 BM,EM,则 EM //

1 1 AD ,又∵ BF // AD , 2 2

∴ EM //BF ,∴四边形 BFEM 为平行四边形,∴ EF // BM , ∵ EF ? 面PAB , BM ? 面PAB,∴ EF // 面PAB .…………12 分 (理) (2)取 AD 中点 N,则 FN//AB,∴FN//面 ABE, ∵FG/∴/面 ABE, ∴面 FNG//面 ABE, ∴AE//NG,又∵N 为 ED 中点,∴G 为 ED 中点, ∴EG=GD,又 PE=ED, ∴
PG ? 3. GD

………………12 分

21. (1)∵∠CAB=45°,∴∠COB=90°, 又∵F 为 BC 的中点,∴∠FOB=45°, ∴OF∥AC,又 AC?平面 ACD, 从而 OF∥平面 ACD. ………………6 分

(文)(2)存在,E 为 AD 中点,∵OA=OD,∴OE⊥AD, 又 OC⊥AB 且两半圆所在平面互相垂直, ∴OC⊥平面 OAD,又 AD?平面 OAD,∴AD⊥OC, 由

AD⊥OE? AD⊥OC?

??AD⊥平面 OCE,

又 AD?平面 ACD,∴平面 OCE⊥平面 ACD. ………………14 分 (理) (2)当三棱锥 C ? ADO 体积最大时,平面 ABC ? 平面 ABD , 则过 O 作 OE ? AD 于 E ,连 CE .因为 CO ? AB ,则 CO ? 平面 ABD . 又因为 AD ? 平面 ABD ,故 CO ? AD ,所以 AD ? 平面 CEO , AD ? CE , 则 ?CEO 是二面角 C - AD - B 的平面角,又 ?OAD ? 60? , OA ? 2 ,故 OE ? 3 . 由 CO ? 平面 ABD , OE ? 平面 ABD ,得 ?CEO 为直角三角形, 又 CO ? 2 ,故 CE ? 7 ,可得 cos ?CEO = 3 = 21 ,故二面角 C - AD - B 的正弦值 7 7 为
2 7 . 7

………………14 分

(共 4 页

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