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^ | You have to believe, there is a way. The ancients said:" the kingdom of heaven is trying to enter". Only when the reluctant step by step to go to it 's time, must be managed to get one step down, only have struggled to achieve it. -- Guo Ge Tech

届高三第三次调研考试 惠州市 2011 届高三第三次调研考试 数学试题(文科) 数学试题(文科)
小题, 分钟。 本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 用 如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按 以上要求作答的答案无效。 参考公式: 参考公式:锥体的体积公式 V =

1 Sh ,其中 s 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

小题, 每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.每小题给出的四个选项中,只有一项 选择题: 是符合题目要求. 是符合题目要求. 1.已知复数 z1 = 2 + i , z 2 = 1 ? i ,则 z = z1 ? z 2 在复平面上对应的点位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ) )

2.已知向量 | a |= 10, | b |= 12 ,且 a ? b = ?60 ,则向量 a 与 b 的夹角为( A. 600 B. 1200 C. 1350 D. 1500

3.在等比数列 {an } 中, a5 ? a11 = 3, a3 + a13 = 4, 则 A.3 B.

a15 =( a5

) D. ?3 或 ?

1 3

C.3 或

1 3

1 3

4. 设 α 表示平面, a, b 表示直线,给定下列四个命题:

① a // α , a ⊥ b ? b ⊥ α ; ③ a ⊥ α , a ⊥ b ? b // α ; 其中正确命题的个数有( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 )

② a // b, a ⊥ α ? b ⊥ α ; ④ a ⊥ α , b ⊥ α ? a // b .

D.4 个

5. y = (sin x + cos x ) 2 ? 1 是( A. 最小正周期为 2π 的奇函数 C. 最小正周期为 π 的奇函数

B.最小正周期为 2π 的偶函数 D. 最小正周期为 π 的偶函数 )

6. 命题“ 若a > b, 则a ? 1 > b ? 1 ”的否命题是( A. 若a > b, 则a ? 1 ≤ b ? 1 C. 若a ≤ b, 则a ? 1 ≤ b ? 1

B.若 a ≥ b ,则 a ? 1 < b ? 1 D. 若a < b, 则a ? 1 < b ? 1 )

7.若方程 f ( x ) ? 2 = 0 在 (?∞, 0) 内有解,则 y = f ( x) 的图象是(

8.设椭圆

1 x2 y 2 + 2 = 1(m > 0,n > 0) 的右焦点与抛物线 y 2 = 8 x 的焦点相同,离心率为 ,则 2 2 m n
) B.

此椭圆的方程为( A.

x2 y 2 + =1 16 12

x2 y 2 + =1 12 16

C.

x2 y 2 + =1 48 64

D.

x2 y 2 + =1 64 48

9.已知定义域为(-1,1)的奇函数 y = f ( x) 又是减函数,且 f ( a ? 3) + f (9 ? a 2 ) < 0. 则 a 的 取值范围是( A.(3, 10 ) ) B.(2 2 ,3) C.(2 2 ,4) D.(-2,3)

10.对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y = ax + by + cxy ,其中 a, b, c 是常数,等式右边的运算是 通常的加法和乘法运算。已知 1 ? 2 = 3 , 2 ? 3 = 4 ,并且有一个非零常数 m ,使得对任意实数

x , 都有 x ? m = x ,则 m 的值是(
A. 4 B. ?4

) C. ?5 D. 6

小题, 14~ 题是选做题, 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14~15 题是选做题,考生只需 填空题( 选做其中一题,两题全答的, 选做其中一题,两题全答的,只以第一小题计分. 第一小题计分. 题计分 ) (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题都必须做答。 一 必做题: 11、12、 题为必做题,每道试题都必须做答。

? 2x ( x < 4) , 则 f (5) _____________. 11.已知函数 f ( x) = ? ? f ( x ? 1) ( x ≥ 4)
? x ≥ 0, ? 12.已知点 P(x,y)满足条件 ? y ≤ x, (k为常数), 若z = x + 3 y 的最大值为 8, ?2 x + y + k ≤ 0 ?
则 k = _____________. 13.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的 等腰三角形,俯视图是半径为 1 的半圆,则该几何体 的体积是_____________. 正视图 侧视图

考生只能从中选做一题) (二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 选做题(14— 14.(坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题)已知直线 l : x ? y + 4 = 0 与圆 C : 坐标系与参数方程选做题 则 C 上各点到 l 的距离的最小值为_____________.

俯视图

{ xy==11++2cosθθ 2sin



15.(几何证明选讲选做题)如图,已知⊙O 的割线 PAB 交⊙O 于 A,B (几何证明选讲选做题) 两点,割线 PCD 经过圆心,若 PA=3,AB=4,PO=5,则⊙O 的半径为_____________.

小题, 解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 解答题:

) (★请在答题卷的指定区域内作答,否则该题计为零分. 请在答题卷的指定区域内作答,否则该题计为零分. 16. (本小题满分 12 分) 如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A、B, 观察对岸的点 C,测得 ∠CAB = 75 , ∠CBA = 45 ,且 AB = 100 米。
o o

(1)求 sin 75 ; (2)求该河段的宽度。

o

17. (本题满分 12 分) 某高校在 2010 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到 的频率分布表如下左图所示. (1)请先求出频率分布表中①、②位置相应的数据,再在答题纸上完成下列频率分布直方图; (2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试,求第 3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试? (3)在(2)的前提下,学校决定在 6 名学生中随机抽取 2 名学生接受 A 考官进行面试, 求第 4 组至少有一名学生被考官 A 面试的概率?
频率 组距 0 . 08

组号 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 合计

分组

频数 5 ① 30 20 10 100

频率 0.050 0.350 ② 0.200 0.100 1.000
0 . 07 0 . 06 0 . 05 0 . 04 0 . 03 0 . 02

[160,165) [165,170) [170,175) [175,180)
[180,185]

0 . 01 160 165 170 175 180 频率分布直方图 185 成绩

18. (本题满分 14 分)

如图,己知 ?BCD 中, ∠BCD = 90 , BC = CD = 1, AB ⊥ 平面BCD ,
0

∠ADB = 600 , E , F 分别是AC,AD上的动点, 且

AE AF = =λ ,(0<λ <1) AC AD

(1)求证:不论 λ 为何值,总有 EF ⊥ 平面ABC; (2)若 λ =

1 , 求三棱锥 A-BEF 的体积. 2

19. (本题满分 14 分) 已知动圆过定点 F (0, 2) ,且与定直线 L : y = ?2 相切. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)若 AB 是轨迹 C 的动弦,且 AB 过 F (0, 2) , 分别以 A 、 B 为切点作轨迹 C 的切线,设 两切线交点为 Q ,证明: AQ ⊥ BQ . 20. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x 3 ? 3 x. (1)求曲线 y = f ( x ) 在点 x = 2 处的切线方程; (2)若过点 A(1, m ) ( m ≠ ?2) 可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.

21. (本题满分 14 分)
f (n) * 已知函数 f ( x ) = log 3 ( ax + b) 的图象经过点 A( 2,1) 和 B (5,2) ,记 an = 3 , n ∈ N .

(1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)设 bn =

an , Tn = b1 + b2 + L + bn ,若 Tn < m(m ∈ Z ) ,求 m 的最小值; 2n

(3)求使不等式 (1 +

1 1 1 )(1 + )L (1 + ) ≥ p 2n + 1 对一切 n ∈ N * 均成立的最大实数 p . a1 a2 an

2011 届高三第三次调研考试 惠州市 2011 届高三第三次调研考试 数学试题(文科) 数学试题(文科)答案

选择题( 小题, 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 选择题 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 B 5 C 6 C 7 D 8 A 9 B 10 A

1.【解析】∵zl·z2=3-i, 故选 D。 2.【解析】由 a ? b = a
b cos θ = ?60 ? cos θ = ?
1 ,故 θ = 1200 ,选 2

B。

3.【解析】Q a5 ? a11 = a3 ? a13 = 3, a3 + a13 = 4,∴ a3 = 1, a13 = 3 或 a3 = 3, a13 = 1,
∴ a15 a13 1 = = 3 或 ,故选 a5 a3 3

C。

4.【解析】考虑 a ? α 的情形,则排除①③,故正确命题有②、 ④,故选 B。 5. 【解析】 y = (sin x + cos x ) 2 ? 1 = sin 2 x ,故选 C。 6.【解析】由原命题与否命题的关系易得正确答案为 C。 7.【解析】方程 f ( x) ? 2 = 0 在 (?∞, 0) 内有解,即 ?x0 < 0, 使得f ( x0 ) = 2, 故 选 D。 8.【解析】抛物线 y 2 = 8 x 的焦点为(2,0) ,∴椭圆焦点在 x 轴 上且半焦距为 2,
2 1 x2 y 2 2 2 2 ∴ = ? m = 4 , n = 4 ? 2 = 12 , ∴ ∴椭圆的方程为 + = 1 m 2 16 12



选 A。 9 . 解 析 】 由 条 件 得 f(a - 3) < f(a - 9) , 即 【 ∴a∈(2
2 ,3)
2

?? 1 < a ? 3 < 1 ? 2 ?? 1 < a ? 9 < 1 ? 2 ?a ? 3 > a ? 9

故选 B。

10. 【解析】由定义有 x ? m = ax + bm + cxm = x 对任意实数 x 恒成立, 且 m ≠ 0,令 x = 0,∴ bm = 0,∴ b = 0. ∴ x ? y = ax + cxy.由? ?
?a=5 得? ?a × 2 + c × 2 × 3 = 4 ?c = ?1 a ×1 + c ×1× 2 = 3

∴5x-mx=x 对任意实数 x 恒成立, ∴m=4. 故选 A。

填空题( 二.填空题(本大题每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题后的 填空题 横线上) 横线上) 11.8; 12. k =-6; 11. 【解析】 f (5) = 13.
3 π; 6

14.

2 2 ? 2;

15. 2。

f (4) = f (3) = 2 3 = 8 。 k ? ?x = ? 3 y=x ? ? 得? ,代入 ? ?2 x + y + k = 0 ?y = ? k ? 3 ?

12. 【 解 析 】 画 图 , 联 立 方 程 组
k k ? + 3 × (? ) = 8,∴ k = ?6 3 3

13. 【 解 析 】 由 三 视 图 知 几 何 体 的 直 观 图 是 半 个 圆 锥 ,
1 π ?12 ? 3 3 3 V= π = 2 6



14.【解析】圆方程为 ( x- 1)2 ? +( y ? 1)2 = 4 ,∴ d = 离最小值为 2
2 ? 2。

1 ?1+ 4 12 + 12

=2 2

,∴距

15.解析】 【 设圆的半径为 R,由 PA ? PB = PC ? PD 得 3 × (3 + 4) = (5 ? R)(5 + R ) 解得 R=2。

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、 解答题:本大题共6小题,满分80分 解答须写出文字说明、 80 证明过程和演算步骤. 证明过程和演算步骤. 16.解: (1) sin 75o = sin(30o + 45o ) = sin 30o cos 45o + cos 30o sin 45o

1 2 3 2 6+ 2 = × + × = 2 2 2 2 4

………………4

分 (2)∵ ∠CAB = 75o , ∠CBA = 45o ∴ ∠ACB = 180o ? ∠CAB ? ∠CBA = 60o , 由正弦定理得: ∴
AB sin 75o BC = sin 60o AB BC = sin ∠ACB sin ∠CAB

…………

……7 分 如图过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D,则 BD 的长就 是该河段的宽度。



Rt ?BDC

中 分





∠BCD = ∠CBA = 45o , sin ∠BCD =

BD , ………………9 BC

∴ BD = BC sin 45o =

AB sin 75o ? sin 45o = o sin 60

100 ×

6+ 2 2 4 × 2 3 2
50 3 + 3) ( 3

=

25(6 + 2 3) 3

=

(米)

………………12 分

17 . 解 : 1 ) 由 题 可 知 , 第 2 组 的 频 数 为 0.35 ×100 = 35 ( 人, ……………… 1 分 第 3 组 的 频率 ……………… 2 分
组距







30 = 0.300 , 100

频 下: … 5分



0 . 08









0 . 07 0 . 06 0 . 05 0 . 04 0 . 03 0 . 02 0 . 01 160 165 170 175 180 频率分布直方图 185 成绩

图 如 ……………

(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生,所以利用分层抽样在 60 名学生中抽取 6 名学生,每组分别为:第 3 组: 30 × 6 = 3
60

人, 7分

……… 6 分

第4

组: 20 × 6 = 2 人, 60

………

第 5 组: 10 × 6 = 1 人,
60

……… 8 分

所以第 3、4、5

组分别抽取 3 人、2 人、1 人。 (3)设第 3 组的 3 位同学为 A1 , A2 , A3 ,第 4 组的 2 位同学为 B1 , B2 , 第 5 组的 1 位同学为 C1 , 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下:
( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , C1 ), ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , C1 ), ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , C1 ), ( B1 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ),



………… 10 分 第 4 组至少有一位同学入选的有:
( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A3 , B1 ), ( B1 , B2 ), ( A3 , B2 ), ( B1 , C1 ), ( B2 , C1 ), 9

种可

能。

所以其中第

4 组的 2 位同学为 B1 , B2 至少有一位同学入选的概率为
9 3 = ………… 15 5

12 分

18.(1)证明:因为 AB⊥平面 BCD,所以 AB⊥CD, 又在△BCD 中,∠BCD = 900,所以,BC⊥CD, 又 AB∩BC=B, 所以,CD⊥平面 ABC, 又在△ACD,E、F 分别是 AC、AD 上的动点, 且 AE =
AC AF = λ (0 < λ < 1) AD

…………3 分

所以,不论 λ 为何值,EF//CD,总有 EF⊥平面 ABC: 分

………7

(2) 在△BCD 中, 解: ∠BCD = 900, BC=CD=1, 所以, BD= 又 AB⊥平面 BCD,所以,AB⊥BD,
∠ 又在 Rt△ABD 中, ADB = 60 0 , ∴AB=BDtan 60 0 =
6。

2,

………………

10 分 由(1)知 EF⊥平面 ABE,


6 24











A



BCD









………………14 分

19.解: (1)依题意,圆心的轨迹是以 F (0, 2) 为焦点, L : y = ?2 为 准线的抛物线上……3 分 因为抛物线焦点到准线距离等于 4,
x 2 = 8 y ………………6

所以圆心的轨迹是


A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ). ………………

(2) Q直线AB与x轴不垂直, 设AB : y = kx + 2. 8分
? y = kx + 2, ? 2 由? 1 2 可得 x ? 8kx ? 16 = 0 , ?y = 8 x . ?

x1 + x2 = 8k , x1 x 2 = ?16

………11

分 抛物线方程为 y = 1 x 2 , 求导得y ′ = 1 x. 所以过抛物线上 A、B 两点的
8 4

切线斜率分别是
k1 = k2 = 1 x1 4

, 。 ………12

1 x2 4


k1 ? k2 = 1 1 1 x1 ? x2 = x1 ? x2 = ?1 4 4 16



……13 分


AQ ⊥ BQ



, ……

…14 分

20.解: (1)
f ′( x) = 3 x 2 ? 3, f ′(2) = 9, f (2) = 23 ? 3 × 2 = 2

………2 分

∴曲线 y =
9 x ? y ? 16 = 0

f ( x ) 在 x = 2 处的切线方程为 y ? 2 = 9( x ? 2) ,即

………4 分
f ( x ) 作切线,设切点为 ( x0 , y0 )

(2)过点 A(1, m) 向曲线 y = 则 y0 = x03 ? 3x0 , k = 则切线方程为
y ? ( x03 ? 3 x0 ) = (3 x0 2 ? 3)( x ? x0 )

f ′( x0 ) = 3 x0 2 ? 3.

………………6

分 将 A(1, m) 代入上式,整理得 2 x03 ? 3x02 + m + 3 = 0 。 ∵过点 A(1, m)
( m ≠ ?2) 可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线

∴方程 2x 3 ? 3x 2 + m + 3 = 0 (*)有三个不同实数 根. ……………8 分

记 g ( x) = 2x 3 ? 3x 2 + m + 3 , g ′( x) = 6 x 2 ? 6 x = 6 x( x ? 1) . 令 g ′( x) = 0, x = 0 或 1. ……10 分 ………

则 x, g ′( x), g ( x) 的变化情况如下表
x
g ′( x) g ( x) ( ?∞, 0)

0 0

(0,1)

1

(1, +∞ )

+

?

0

+

递增

极大

递减

极小

递增

当 x = 0, g ( x) 有极大值 m + 3;
m+2.

x = 1, g ( x ) 有极小值

…………12 分
g (0) > 0 , ? g (1) < 0 ? 即? m+3> 0 , ? 3 < m < ?2 时, ?m + 2 < 0

由题意有,当且仅当 ? ?

函数 g ( x) 有三个不同零点. 此时过点 A 可作曲线 y =
( ?3, ?2) f ( x)

的三条不同切线。故 m 的范围是

…………14 分

21 . 解 : ( 1 ) 由 题 意 得
?a = 2 , ? ?b = ?1 ∴ f ( x) = log 3 (2 x ? 1)

?log 3 (2a + b) = 1 ? ?log 3 (5a + b) = 2

, 解 得

…………2 分

a n = 3log3 ( 2 n ?1) = 2n ? 1, n ∈ N *
2n ? 1 2n

…………4

分 (2)由(1)得 ①
1 1 3 2n ? 5 2n ? 3 2n ? 1 Tn = + 3 + L + n?1 + + n+1 ② ①-②得 2 2 2 2 2 2n 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn = 1 + 2 + 3 + L + n ?1 + n ? n +1 = 1 + ( 1 + 2 + L + n? 2 + n ?1 ) ? n+1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2n ? 1 1 2n ? 1 2n + 3 = ? n ?1 ? n+1 . ∴Tn = 3 ? n? 2 ? n = 3 ? , …………7 2 2 2 2 2 2n bn =



∴Tn =

1 3 5 2n ? 3 2n ? 1 + 2 + 3 + L + n?1 + n 1 2 2 2 2 2

分 设
f ( n) = 2n + 3 ,n∈ N* n 2







2n + 5 n +1 f (n + 1) 2n + 5 1 1 1 1 = 2 = = + ≤ + <1 2n + 3 2(2n + 3) 2 2n + 3 2 5 f ( n) 2n 得 f (n) = 2n + 3 , n ∈ N * 随 n 的增大而减小, Tn 随 n 的增大而增大。 2n
∴当n → +∞ 时, Tn → 3


∴mmin = 3

Tn < m(m ∈ Z )









…………10 分
1 2n + 1 (1 + 1 1 1 )(1 + )L (1 + )对n ∈ N * 恒成立 a1 a2 an

(3)由题意得 p ≤ 记 F ( n) =
1 1 2n + 1 (1 +

1 1 1 )(1 + )L (1 + ) ,则 a1 a2 an 2(n + 1) 4(n + 1) 2 ? 1

F (n + 1) = F ( n)

1 1 1 1 )(1 + ) L (1 + )(1 + ) a1 a2 an a n+1 2n + 2 2n + 3 = = 1 1 1 1 (2n + 1)(2n + 3) (1 + )(1 + ) L (1 + ) a1 a2 an 2n + 1 (1 +

>

2(n + 1) =1 2(n + 1)

…………12 分
Q F (n) > 0,∴ F (n + 1) > F (n),即F (n) 是随 n 的增大而增大
F ( n) p max =


2 3. 3









F (1) =

2 3 3



∴p≤

2 3 3





…………14 分



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