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湖南省长沙市长郡中学高中数学 第二章 第二节 圆锥曲线的参数方程 2.2.5双曲线与抛物线的参数方程课件 新人_图文

复习提问:椭圆的参数方程

1、对于椭圆方程

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

b

?

0)

由此得到椭圆的参数方程是什么?

?x ? a cos?

? ?

y

?

b sin?

(φ

为参数)

2、类似地,椭圆

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a

?b

? 0)

的参数方程是什么?

?x

? ?

y

? ?

b cos?(φ a sin?

为参数)

3、参数φ 几何意义是什么?范围?

探究(一):双曲线的参数方程

思考1:由

1? sin2 ? cos2 ?

? 1,得

1 cos2

?

?

tan2

?

?1

记 1 ? sec? ,则 sec2 ? ? tan2 ? ?1
cos?

类比建立椭圆参数方程的方法,双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0)的参数方程是什么?
?x ? a sec?

? ?

y

?

b

tan

?(φ为参数)

思考2:如图,以原点O为圆心,a,b

(a>0,b>0)为半径分别作两个同心圆

C1,C2,设点A为圆C1上任意一点,点B为 圆C2与x轴的交点,设以Ox为始边,OA为 终边的角为φ ,则asecφ 和btanφ 的几

何意义分别是什么? y B′

A
asecφ 是点A′

的横坐标,

φ

btanφ 是点B′ O B

A′ x

的纵坐标.

思考3:设点M(asecφ ,btanφ ),则点M 在双曲线上,如何根据点A′,B′的位 置确定点M的位置?

过点A′作x轴的

y B′ A

M

垂线,过点B′作

x轴的平行线,其

φ

交点为M.

OB

A′ x

思考4:双曲线参数方程中参数φ 叫做点

M的离心角,以Ox为始边,OM为终边的角

θ 叫做点M的旋转角,怎样理解这两个角

的大小关系?

y B′

A

M

当φ 和θ 都为锐

角时,φ >θ .

φ OB

A′ x

思考5:类似地,双曲线

y2 a2

?

x2 b2

? 1(a

? 0,b ? 0)的参数方程是什么?

?x ? b tan?

? ?

y

?

a

sec?

(φ

为参数)

探究(二):抛物线的参数方程

思考1:对于抛物线y2=2px(p>0),设 点M(x,y)为抛物线上除顶点外的任意一 点,以Ox为始边,OM为终边的角为α , 则x,y,α 三者关系是什么?
yM

y ? tan?
x

α O

x

思考2:联立y2=2px和y=xtanα ,可得 x,y分别等于什么?

x

?

2p
tan2 ?

,

y

?

2p
tan ?

思考3:参数方程

? ?? ?

x

?

?y ?

2p
tan2 ?(α
2p

为参数)

?? tan ?

是抛物线y2=2px的参数方程吗?

思考4:用t替换

1
,得
tan ?

?x ? 2 pt2 ? ? y ? 2 pt

?x ? 2 pt2

那么参数方程

? ?y

?

2 pt

(t为参数)是

抛物线y2=2px的参数方程吗?参数t的

几何意义是什么?

参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点 与原点连线的斜率的倒数.

思考5:设点M为抛物线y2=2px(p>0)上 任意一点,若以点M到抛物线准线的距离 t为参数,则该抛物线的参数方程是什么?

? ?

x

?

?t

?

p 2



?? y ? 2 pt ? p2

yt M

O

x

? ?

x

?

? ?

y

?t? ??

p 2 2 pt

?

p2 (t为参数)

例1 设点M为双曲线

x2 ? y2 ? 1(a ? 0,b ? 0) 上任意一点, a2 b2
O为原点,过点M作双曲线两渐近线的平

行线,分别与两渐近线交于A,B两点,

试探求平行四边形MAOB的面积,由此可

以发现什么结论?

y

S ? ab 2

A M

OB

x

例2 设点A,B是抛物线y2=2px(p>0)

上异于顶点的两动点,O为原点,OA⊥OB,

OM⊥AB,并与AB相交于点M.

(1)求点M的轨迹方程;

(2)求△AOB面积的最小值.

x2+y2-2px=0 y A

4p2

(x≠0)

M

O

x

B

小结作业
1.对同一条曲线选取不同的参数,就 得到不同形式的参数方程,对圆锥曲线 的参数方程,只要求掌握上述几种形式.
2.在研究圆锥曲线上的动点或未知点 的有关问题时,可利用其参数方程设出 点的坐标,从而拓广了解决问题的途径, 优化了解题思路.
3.利用圆锥曲线的参数方程解题时, 一般不考虑参数的几何意义,只利用参 数方程的外在形式.


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