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高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围

高考数学专题复习——求解圆锥曲线离心率的取值范围
求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点, 也是一个难点, 求离心率的难点在于如何 建立不等关系定离心率的取值范围. 一、直接根据题意建立 a , c 不等关系求解. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 例 1: (08 湖南)若双曲线

3a x2 y 2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)上横坐标为 的点到右焦点的距离大 2 2 a b

于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2) 解析 由题意可知 ( a ? B.(2,+ ? ) C.(1,5) D. (5,+ ? )

3 2

3 3 1 a2 3 a2 )e ? ( a ? ) 即 e ? 1 ? ? 解得 e ? 2 故选 B. 2 2 e c 2 c

备选(07 北京)椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的焦点为 F1 , F2 ,两条准线与 x 轴的交点分别 a 2 b2


为 M ,N ,若 MN ? ? F 1F 2 ,则该椭圆离心率的取值范围是( A. (0, ]

1 2

B. (0, ]

2 2

1) C. [ ,

1 2

D. [

2 , 1) 2

解析 由题意得

2a 2 2 ? 2 ? 2c ∴ e ? 故选 D. c 2

二、借助平面几何关系建立 a , c 不等关系求解

x2 y 2 例 2: (07 湖南)设 F1,F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点,若在其右 a b
准线上存在 P, 使线段 PF1 的中垂线过点 F2 ,则椭圆离心率的取值范围是( A. (0, ] )

2 2

B. (0, ]

3 3

C. [

2 , 1) 2

D. [

3 , 1) 3

分析 通过题设条件可得 PF2 ? 2c ,求离心率的取值范围需建立不等关系,如何建立?

a2 ?c 解析:∵线段 PF1 的中垂线过点 F2 , ∴ PF2 ? 2c ,又点 P 在右准线上,∴ PF2 ? c a2 c 3 3 ?c∴ ? ? e ? 1 ,故选 D. 即 2c ? ∴ c a 3 3
点评 建立不等关系是解决问题的难点,而借助平面几何知识相对来说比较简便.

1

三、利用圆锥曲线相关性质建立 a , c 不等关系求解. 例 3: (2008 福建)双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点, a 2 b2
B. ?1,3? C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3)

分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系,题设是双曲线一点与两焦点之间关系应 想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢? 解析:∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1|?|PF2|=|PF2|= 2 a ,|PF2| ? c ? a 即 2a ? c ? a ∴ 3a ? c 所以双曲线离心率的取值范围为 1 ? e ? 3 ,故选 B. 点评:本题建立不等关系是难点,如果记住一些双曲线重要结论(双曲线上任一点到其对应 焦点的距离不小于 c ? a )则可建立不等关系使问题迎刃而解. 备选(04 重庆)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1, (a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双 a 2 b2
)

曲线的右支上,且 | PF 1 |? 4 | PF 2 | ,则此双曲线的离心率 e 的最大值为:(

7 3 2 5 ∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1|?|PF2|=3|PF2|= 2 a ,|PF2| ? c ? a 即 a ? c ? a ∴ a ? c 3 3 5 所以双曲线离心率的取值范围为 1 ? e ? ,故选 B. 3
A B C

4 3

5 3

2

D

备选已知 F1 , F2 分别为

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,P 为双曲线右支上任一

点,若 A (1, 2]

PF1 PF2

2

的最小值为 8a ,则该双曲线的离心率的取值范围是( ) C [2,3] D [3, ??)

B (1,3]
2

PF1 (2a ? PF2 ) 2 4a 2 ? ? ? PF2 ? 4a ? 2 4a 2 ? 4a ? 8a ,欲使最小值为 8a , 解析 PF2 PF2 PF2
需右支上存在一点 P,使 PF2 ? 2a ,而 PF2 ? c ? a 即 2a ? c ? a 所以 1 ? e ? 3 . 例 5:已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 右顶为 A,点 P 在椭圆上,O 为坐标原点,且 OP 垂直 a 2 b2

于 PA,求椭圆的离心率 e 的取值范围。

2

? x0 2 y0 2 ? 2 ?1 ? 解:设 P 点坐标为( x0 , y0 ),则有 ? a 2 b 2 ? x ? ax ? y 2 ? 0 0 0 ? 0
消去 y0 2 得 (a2 ? b2 ) x02 ? a3 x0 ? a2b2 ? 0 若利用求根公式求 x0 运算复杂,应注意到方程的 一个根为 a,由根与系数关系知 ax0 ?

a 2b 2 ab2 2 ? x ? 由 0 ? x0 ? a 得 ? e ?1 0 2 2 2 2 a ?b a ?b 2

x2 y 2 M使 例 6:椭圆 G : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F 1 (?c,0), F2 (c,0) ,椭圆上存在点 a b

????? ????? F1M ? F2 M ? 0 .

求椭圆离心率 e 的取值范围;

2 2 2 解析 设 M ( x, y), F 1M ? F 2 M ? 0 ? x ? y ? c ……①

????? ?????

将 y ?b ?
2 2

b2 2 a 2b 2 2 2 x x ? a ? 代入①得 a2 2

? 0 ? x2 ? a2 求得

2 ? e ?1 2

.

x2 y 2 点评: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 中 x ? a ,是椭圆中建立不等关系的重要依据,在求解参数 a b
范围问题中经常使用,应给予重视. 四、运用数形结合建立 a , c 不等关系求解 例 7( :06 福建) 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F, 若过点 F 且倾斜角为 60 ? a 2 b2
(C) [2, ??) (D) (2, ??)

的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 (A) (1, 2] (B) (1, 2)

解析 欲使过点 F 且倾斜角为 60 ? 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点, 则该直线的斜 率的绝对值小于等于渐近线的斜率

b b 2 2 2 ,∴ ≥ 3 , 即 b ? 3a 即 c ? a ? 3a ∴ a a

c 2 ? 4a 2 即 e ? 2 故选 C.
五、运用函数思想求解离心率

x2 y2 例 8: (08 全国卷Ⅱ)设 a ? 1 ,则双曲线 2 ? ? 1的离心率 e 的取值范围是 a (a ? 1)2
A. ( 2 ,2) B. ( 2 , 5 ) C. (2,5) D. (2, 5 )

解析:由题意可知 e ? 1 ? (

1 a ?1 2 1 ) ? 1 ? (1 ? )2 ∵ a ? 1 ∴ 1 ? 1 ? ? 2 a a a

3

∴ 2 ? e ? 5 ,故选 B. 六、运用判别式建立不等关系求解离心率 例 9:在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上 有 一 点 M , F1 , F2 是 椭 圆 的 两 个 焦 点 , 若 a 2 b2

MF 1 ? MF2 ? 2b2 ,求椭圆的离心率.
解析: 由椭圆的定义,可得

MF 1 ? MF2 ? 2a 又 MF 1 ? MF2 ? 2b2 , 所 以

M F1 , M 2 F 是 方 程 x2 ? 2ax ? 2b2 ? 0 的 两 根 , 由 ? ? (?2a)2 ? 4 ? 2b2 ? 0 , 可 得
a 2 ? 2b2 ,即 a2 ? 2(c2 ? a2 ) 所以 e ?

c 2 2 ,所以椭圆离心率的取值范围是 [ ? ,1) a 2 2

例 10: (04 全国Ⅰ)设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两个不同的 a2

点 A、B.求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: 解析 由 C 与 l 相交于两个不同的点,故知方程组

? x2 2 ? 2 ? y ? 1, 有两个不同的实数解.消去 y 并整理得 ?a ? x ? y ? 1. ?
(1-a2)x2+2a2x-2a2=0. ①
2 ? ?1 ? a ? 0. 所以 ? 4 解得 0 ? a ? 2且a ? 1. 2 2 ? ?4a ? 8a (1 ? a ) ? 0.

双曲线的离心率

e?

6 1 ? a2 1 且e ? 2 ? ? 1 ?0 ? a ? 2且a ? 1, ∴ e ? 2 2 a a 6 , 2) ? ( 2, ??) 2

所以双曲线的离心率取值范围是 (

总结:在求解圆锥曲线离心率取值范围时,一定要认真分析题设条件,合理建立不等关系, 把握好圆锥曲线的相关性质,记住一些常见结论、不等关系,在做题时不断总结,择优解题. 尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.

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