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【2012高考数学理科苏教版课时精品练】6-2.3函数的单调性和奇偶性

【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业6 第三节 函数的单调性和奇偶性 1.已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于________. ?x+1??x+a? 2.(2011 年徐州质检)设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x 3.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则 该函数的解析式 f(x)=________. 4.已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 f(0),f(-1),f(2) 的大小关系为________. 5.(2011 年盐城调研)若函数 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函 数,则 a 的取值范围是________. 6.(2009 年高考辽宁卷改编)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足 f(2x 1 -1)<f( )的 x 的取值范围是________. 3 7. 若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0, +∞)上为增函数, 则实数 a, 的取值范围是________. b 8.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),则实数 m 的取值范围是________. a 9.(2011 年苏州高三调研)已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. a 10.已知函数 y=x+ 有如下性质,如果常数 a>0,那么该函数在(0, a ]上是减函数, x 在[ a,+∞)上是增函数. 2b (1)如果函数 y=x+ 在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求实常数 b 的值; x c (2)设常数 c∈[1,4],求函数 f(x)=x+ (1≤x≤2)的最大值和最小值; x c (3)当 n 是正整数时,研究函数 g(x)=xn+ n(c>0)的单调性,并说明理由. x 11.(探究选做)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且对任意 a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a) +f(b).且当 x>0 时,f(x)<0 恒成立,f(3)=-3. (1)证明:函数 y=f(x)是 R 上的减函数; (2)证明:函数 y=f(x)是奇函数; (3)试求函数 y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域.


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【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业6 第三节 函数的单调性和奇偶性 1.已知 f(x)=x5+ax3+bx-8,且 f(-2)=10,那么 f(2)等于________. 解析:设 F(x)=f(x)+8=x5+ax3+bx, 则 F(x)为奇函数, F(-2)=f(-2)+8=18. ∴F(2)=f(2)+8=-18, ∴f(2)=-26. 答案:-26 ?x+1??x+a? 2.(2011 年徐州质检)设函数 f(x)= 为奇函数,则 a=________. x 解析:∵f(x)为奇函数, ∴由 f(-1)=-f(1),得 a=-1. 答案:-1 3.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a、b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则 该函数的解析式 f(x)=________. 解析:f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2 为偶函数,则 2a+ab=0?a=0 或 b =-2, 又 f(x)的值域(-∞,4],
?b<0, ? ?a=± 2, ?a=± 2, ∴? 2 ?? ∴? ? ?2a =4 ?b<0. ?b=-2.

∴f(x)=-2x2+4. 答案:-2x2+4 4.已知函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上是单调减函数,则 f(0),f(-1),f(2) 的大小关系为________. 解析:由 f(x-2)在[0,2]上单调递减, ∴f(x)在[-2,0]上单调递减. ∵y=f(x)是偶函数, ∴f(x)在[0,2]上单调递增. 又 f(-1)=f(1),故应为 f(0)<f(-1)<f(2). 答案:f(0)<f(-1)<f(2) - 5.(2011 年盐城调研)若函数 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函 数,则 a 的取值范围是________. - 解析:f(x)=-(x-a)2+a2 在区间[1,2]上是减函数,则 a≤1;g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2] 上是减函数, 则 a+1>1,a>0.故 a 的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1] 6.(2009 年高考辽宁卷改编)已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上单调增加,则满足 f(2x 1 -1)<f( )的 x 的取值范围是________. 3 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(2x-1)=f(|2x-1|), 又 f(x)在[0,+∞)上为增函数, 1 1 2 ∴|2x-1|< ,解得 <x< . 3 3 3
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1 2 答案:( , ) 3 3 7. 若函数 f(x)=a|x-b|+2 在[0, +∞)上为增函数, 则实数 a, 的取值范围是________. b ? ?a?x-b?+2?x≥b? 解析:f(x)=a|x-b|+2=? , ? ?a?b-x?+2?x<b? ∵f(x)在[0,+∞)上是增函数,∴a>0. 若 b>0,则增区间为[b,+∞)而不是[0,+∞), ∴b≤0.故 a>0,b≤0. 答案:a>0,b≤0 8.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),则实数 m 的取值范围是________. 解析:∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式 f(1-m)<f(m)?f(|1-m|)<f(|m|). 又当 x∈[0,2]时,f(x)是减函数,

?|1-m|>|m|, ? ∴?-2≤1-m≤2, ?-2≤m≤2. ?
1 答案:[-1, ) 2

1 解得-1≤m< . 2

a 9.(2011 年苏州高三调研)已知函数 f(x)=x2+ (x≠0,常数 a∈R). x (1)讨论函数 f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f(x)在 x∈[2,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,f(x)=x2, 对任意 x∈(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)=(-x)2=x2=f(x), ∴f(x)为偶函数, a 当 a≠0 时,f(x)=x2+ (a≠0,x≠0). x 取 x=± 1,得 f(-1)+f(1)=2≠0, f(-1)-f(1)=-2a≠0. ∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1), ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (2)设 2≤x1<x2, a a f(x1)-f(x2)=x2+ -x2- 1 x1 2 x2 ?x1-x2? = [x1x2(x1+x2)-a], x1x2 要使函数 f(x)在∈[2,+∞)上为增函数, 必须 f(x1)-f(x2)<0 恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4,即 a<x1x2(x1+x2)恒成立. 又∵x1+x2>4, ∴x1x2(x1+x2)>16. ∴a 的取值范围是(-∞,16]. a 10.已知函数 y=x+ 有如下性质,如果常数 a>0,那么该函数在(0, a ]上是减函数, x
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在[ a,+∞)上是增函数. 2b (1)如果函数 y=x+ 在(0,4]上是减函数,在[4,+∞)上是增函数,求实常数 b 的值; x c (2)设常数 c∈[1,4],求函数 f(x)=x+ (1≤x≤2)的最大值和最小值; x c (3)当 n 是正整数时,研究函数 g(x)=xn+ n(c>0)的单调性,并说明理由. x 解:(1)由已知, 2b=4?2b=16?b=4. c (2)f(x)=x+ 在(0, c]上是减函数, x 在( c,+∞)上是增函数. ∵c∈[1,4],∴ c∈[1,2], c ∴f(x)的最小值为 c+ =2 c. c c 当 1≤c<2 时,f(x)的最大值为 2+ ; 2 当 2≤c≤4 时,f(x)的最大值为 1+c. c c (3)g(x)=xn+ n(c>0),令 t=xn,g(x)=t+ . x t ∵n∈N*,当 x>0 时,t=xn 是增函数, c t>0,函数 y=t+ 在(0, c]上是减函数,在[ c,+∞)上是增函数, t 1 ∴g(x)在(0, 2n]上为减函数, c 1 在[ 2n,+∞)上是增函数. c 1 1 当 n 为奇数时,g(x)在[- 2n,0],(0, 2n]上是减函数, c c 1 1 在(-∞,- 2n],[ 2n,+∞)上是增函数. c c 1 1 1 1 当 n 为偶数时,g(x)的减区间有(-∞,- 2n)和(0, 2n),增区间有[- 2n,0)和[ 2n,+ c c c c ∞). 11.(探究选做)已知函数 y=f(x)的定义域为 R,且对任意 a,b∈R,都有 f(a+b)=f(a) +f(b).且当 x>0 时,f(x)<0 恒成立,f(3)=-3. (1)证明:函数 y=f(x)是 R 上的减函数; (2)证明:函数 y=f(x)是奇函数; (3)试求函数 y=f(x)在[m,n](m,n∈Z)上的值域. 解:(1)证明:∵x1、x2∈R,且 x1<x2, 则 f(x2)=f[x1+(x2-x1)]=f(x1)+f(x2-x1), ∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)<0, ∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)<f(x1), 故 f(x)是 R 上的减函数. (2)证明:∵f(a+b)=f(a)+f(b),令 a=-b=x, 则有 f(x)+f(-x)=f(0), 又令 a=b=0,∴f(0)=0,∴f(x)+f(-x)=0, ∴f(x)是奇函数. (3)由于 f(x)是 R 上的减函数,
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∴f(x)在[m,n]上也是减函数, ∴f(x)在[m,n]上最大值为 f(m),最小值为 f(n), 又 f(n)=f[1+(n-1)]=f(1)+f(n-1)=…=nf(1),同理,f(m)=mf(1), 又 f(3)=3f(1)=-3, ∴f(1)=-1, ∴f(m)=-m,f(n)=-n, ∴f(x)在[m,n]上值域为[-n,-m].

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