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高中数学2-4-1抛物线及其标准方程课件新人教A版


2.4 抛物线 2.4.1 抛物线及其标准方程 【课标要求】 掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念. 1. 会求简单的抛物线的方程. 2. 【核心扫描】 1. 抛物线的定义及其标准方程的求法.(重点) 抛物线定义及方程的应用.(难点) 2. 自学导引 1.抛物线的定义 距离相等的 平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_________ 焦点 ,直线l叫做 点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_____ 准线 . 抛物线的_____ 试一试:在抛物线定义中,若去掉条件“l不经过点F”,点的 轨迹还是抛物线吗? 提示 当直线l经过点F时,点的轨迹是过定点F且垂直于定 直线l的一条直线;l不经过点F时,点的轨迹是抛物线. 2.抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 y2=2px(p>0) ___________ 焦点坐标 p ( ,0) 2 ______ p (- , 0) 2 _______ p (0, ) ______ 2 p (0,- ) 2 _______ 准线方程 p x=- 2 _______ p x= 2 _____ p y=- _______ 2 p y= 2 _____ _____________ y2=-2px(p>0) ____________ x2=2py(p>0) 2=-2py(p>0) x _____________ 想一想:已知抛物线的标准方程,怎样确定抛物线的焦点 位置和开口方向? 提示 一次项变量为x(或y),则焦点在x轴(或y轴)上;若 系数为正则焦点在正半轴上;系数为负,则焦点在负半轴 上.焦点确定,开口方向也随之确定. 名师点睛 1.抛物线定义的理解 (1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”,一个动 点,设为M;一个定点F即抛物线的焦点;一条定直线l即 抛物线的准线;一个定值即点M与点F的距离和它到直线l 的距离之比等于1. (2)在抛物线的定义中,定点F不能在直线l上,否则,动点 M的轨迹就不是抛物线,而是过点F垂直于直线l的一条直 线.如到点F(1,0)与到直线l:x+y-1=0的距离相等的 点的轨迹方程为x-y-1=0,轨迹为过点F且与直线l垂直 的一条直线. 2.抛物线标准方程的特点 四种抛物线及其标准方程的共同特点是:(1)原点在抛物线上; (2)对称轴为坐标轴;(3)p 为大于 0 的常数,其几何意义表示焦 点到准线的距离; (4)准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点 2p p 对称;(5)焦点、准线到原点的距离都等于 = . 4 2 抛物线的焦点坐标、准线方程以及开口方向取决于抛物线的标 准方程形式, 规律是: 焦点决定于一次项, 开口决定于正负号, 即标准方程中,如果含的是 x 的一次项,则焦点就在 x 轴上, p p p p 并且焦点的横坐标为 (或- ), 相应的准线是 x=- (或 x= ), 2 2 2 2 如果含的是 y 的一次项,有类似的结论. 题型一 求抛物线的标准方程 【例1】 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程: (1)焦点为(-2,0); (2)准线为y=-1; (3)过点A(2,3); 5 (4)焦点到准线的距离为 . 2 [思路探索] 式求抛物线方程要先确定其类型,并设出标 准方程,再根据已知求出系数p.若类型不能确定,应分类 讨论. 解 (1)由于焦点在 x 轴 的 负 半 轴 上 , 且 p =2, 2 ∴p=4, ∴抛 物 线 标 准 方 程 为 y2=-8x. p (2)∵焦点在

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