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3.1.1倾斜角与斜率(上课)_图文

3.1.1倾斜角 与斜率

1. 一条直线的位置由哪些条件确定 呢?
y

答:两点确定一条直线。

l

2. 一 点 能 否 确 定 一 条 直 线的位置吗?

x

o

3. 如图,在直角坐标系中,过点P 的不同直线的区别在哪里?
y

l2
l3
?
o

l1
x

倾斜程度不同

P

一、直线的倾斜角: 当直线l与x轴相交时,我们取x轴作 为基准,x轴正向与直线 l 向上方向之 间所成的角 ? 叫做直线的倾斜角。 y l

o

?

x

y p

l

o ? x

p o ?x
l

y

l

y p? o x

y o

p

l

x

规定:当直线和x轴平行或重合时,它 的倾斜角为0° 直线的倾斜角的取值范围为:

0 ≤?<180
o

o

确定平面直角坐标系内的一条直线 位置的几何要素:

一个点P和一个倾斜角 ? y
?
P l x

O

练习:下列图中标出的直线的倾斜角对 不对?如果不对,违背了定义中的哪 一条?
y o ? y

x

o ? x (2)

?

y o

x

y ? o (4)

x

(1)

(3)

二、直线的斜率: 我们把一条直线的倾斜角 ? 的正切值 叫做这条直线的斜率. 用小写字母 k 表示,即:

k ? tan ?

练习:已知直线的倾斜角,求直线的斜率:

?3?a ? 60? k ? tan60
?
?

?2?a ? 45? k ? tan45
?

3 ?1?a ? 30 ? k ? tan30 ? 3
?
?

?

?1

?

? 3
?

?4?a ? 120? k ? tan120
?

?? 3

3 ?5?a ? 150 ? k ? tan150 ? ? 3
?

直线 l1、 l2、 l3的斜率分别是k1、 k2、 k3,试比较斜率的大小 y l 2 l1 l3 O X

k1 ? k3 ? k2

当 ? 在内 [0 ,180 )变化时,斜 y 率k如何变化?
? ?

注:倾斜角 是90°的直 线没有斜率

O

?
P

l x

? ? 0? 0? ? ? ? 90? ? ? 90? 90? ? ? ? 180?
k=0
k >0 k不存在 k<0

练习: 判断正误: ①直线的倾斜角为α,则直线的斜率为

) ②平行于x轴的直线的倾斜角是0或π。 ( ) ③两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相 等( ) ④因为平行于y轴的直线的斜率不存在, 所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在 ( )

tan ? (

由两点确定的直线的斜率:

k ? tan ?

能不能构造一 倾斜角是锐角时 y 个直角三角形 y2 当α为锐角时, P2 ( x2 , y2 ) 去求?
y1

?

P 1 ( x1 , y1 )

Q( x2 , y1 )

? ? ?P2 PQ 1

?

在Rt?P2 P 1Q中
x2

y ? y QP 2 1 2 ? k ? tan? ? tan?P2 P Q ? 1 x2 ? x1 P 1Q

o

x1

x

倾斜角是钝角时

y2 ? y1 ? k ? tan? ? x2 ? x1

三、直线的斜率公式:

经过两点 P 1( x 1 , y1 ),P 2 ( x2 , y2 )

的直线的斜率公式:

( x1 ? x2 )

(1) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900

y2 ? y1 y1 ? y2 k? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2 P1 P2 P2 P1

(2) 直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐 标来表示 (3) 与两点的顺序无关;

y2 ? y1 ? k ? tan? ? x2 ? x1 (? ? 90?)

直线的斜率

( x1 ? x2 )

例2:如图,已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,2),求直线AB、BC、CA的斜率,并 判断这些直线的倾斜角是什么角?
2?2 k AB ? ?0 解: B ?8? 4 . ?2?2 ?4 1 k BC ? ? ?? 0 ? (?8) 8 2
y.

. . .

.

A

o

.
C

. . .

x

2 ? (?2) 4 kCA ? ? ?1 4?0 4 ? k AB ? 0 ∴直线AB的倾斜角为零

? kCA ? 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角

? kBC ? 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角

例2 在平面直角坐标系中,画出 经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3 的直线 l1 , l2 , l3 及 l4. y
A3

l3

l1

解:取 l1上某一点为 A1 的 坐标是 ( x1 , y1 ),根据斜率公式 有: y1 ? 0 1? , x1 ? 0

A1

A2

x
l2

l4 A4

即 x1 ? y1 . 设 x1 ? 1 ,则 y1 ? 1 ,于是 A1的坐标是 (1,1) .过 原点及 A1 (1,1) 的直线即为 l1 . l2是过原点及 A2 ( x2 , y2 ) 的直线,l3 是过原点及 A3 ( x3 , y3 )的直线, l4 是过原点及 A4 ( x4 , y4 ) 的直线.

练习:课本P86

【总一总★成竹在胸】
楼梯坡度
平面解 析几何

直线的斜率

斜率定义

核心
知识?方法?思想

几何意义

应用


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