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2018-2019学年人教A版高中数学选修2-1复习课件:3.1.1(共32张PPT)

第三章 空 间向量与

3.1 空间 向量及其

3.1.1 空 间向量及

学习目标

思维脉络

1.了解空间向量的概念,掌

握空间向量的几何表示与 空间向量及其加减运算

字母表示方法.

空间向量及相关概念

2.理解空间向量的相关概 念. 3.掌握空间向量的加减运算

加减运算的定义 加减运算 运算律

及其运算律,理解空间向量

几何意义

加法、减法的几何意义.

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1.空间向量及其表示 (1)定义:在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量.向量的大 小叫做向量的长度或模.
(2)表示:①几何表示法,用有向线段表示; ②字母表示法,用a,b,c,…表示或用表示向量的有向线段的起点
和终点的字母表示.
如图,相应的向量可表示为:a 或.
(3)模的表示方法:向量的模记为||,向量 a 的模记为|a|.

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特别提醒 注意区分有向线段与向量.向量可用有向线段来表示, 但是有向线段不是向量,它只是向量的一种表示方法.

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2.空间向量的相关概念 (1)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记为0. (2)单位向量:模为1的向量称为单位向量. (3)相反向量:与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反 向量,记为-a. (4)相等向量:方向相同且模相等的向量称为相等向量.

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名师点拨 1.空间向量的表示方法,以及零向量、单位向量、相等 向量、相反向量等概念与平面向量相同.
2.凡涉及空间两个向量的问题,平面向量中有关结论仍然适用它 们.
3.两个向量的关系:空间向量是具有大小与方向的量,两个向量只 有相等与不相等之分,而无大小之分.

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【做一做1】 下列命题正确的是( ) A.若向量a与b的方向相反,则称向量a与b为相反向量 B.零向量没有方向 C.若a是单位向量,则|a|=1 D.若向量m,n,p满足m=n,n=p,则不一定有m=p 解析:单位向量是指模等于1的向量,所以若a是单位向量,则必 有|a|=1,即C项正确. 答案:C

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3.空间向量的加减运算及其运算律
类似平面向量,定义空间向量的加法、减法 运算(如图).

空间向量的 加减法

OB = OA + AB=a+b

= ? =a-b

加法运算律

1.交换律:a+b=b+a 2.结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

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特别提醒 1.首尾相接的若干向量之和等于由起始向量的起点指 向末尾向量的终点的向量.
2.首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和是零向 量.

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【做一做 2】 已知空间四边形 ABCD 中,=a,=b, =c,则等于( ) A.a+b-c B.c-a-b C.c+a-b D.c+a+b
解析: = + + =- ? + =-a-b+c=c-a-b.
答案:B

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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)有向线段可用来表示空间向量,有向线段长度越长,其所表示 的向量的模就越大. ( )
(2)空间两非零向量相加时,一定可用平行四边形法则运算. ( ) (3)零向量是长度为0,没有方向的向量. ( ) (4)若|a|=|b|,则a=b或a=-b. ( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×

探究一

探究二 思维辨析

空间向量及相关概念的理解

【例 1】 给出下列命题:①在同一条直线上的单位向量都相

等;②只有零向量的模等于 0;③在正方体 ABCD-A1B1C1D1

中,1与1是相等向量;④在空间四边形 ABCD 中,与是

相反向量;⑤在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1的模一定相等的向

量一共有 4 个.其中正确命题的序号为

.

探究一

探究二 思维辨析

解析:①错误,在同一条直线上的单位向量,方向可能相同,
也可能相反,故它们不一定相等;
②正确,零向量的模等于 0,模等于 0 的向量只有零向量;
③正确,1 与1 的模相等,方向相同; ④错误,空间四边形 ABCD 中,与的模不一定相等,方向
也不相反;
⑤错误,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,与1的模一定相等的向
量是1, 1, 1, 1, 1,一共有 5 个. 答案:②③

探究一

探究二 思维辨析

反思感悟 解决空间向量相关概念的问题时,注意以下几点: (1)向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可; (2)单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1; (3)两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个 向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件; (4)由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有 意义的,但向量的模是可以比较大小的.

探究一

探究二 思维辨析

变式训练1下列说法正确的是( ) A.若|a|=|b|,则a,b的长度相同,方向相同或相反 B.若向量a是向量b的相反向量,则|a|=|b| C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同 D.若|a|>|b|,|b|>|c|,则a>c 解析:两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故B项正确. 答案:B

探究一

探究二 思维辨析

空间向量的加法与减法运算
【例 2】 如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列各式 中运算的结果为向量1的共有( )

① + + 1;②1 + 11 + 11;③ ? 1 +

11;④1 + + 11.

A.1 个

B.2 个

C.3 个 D.4 个

探究一

探究二 思维辨析

解析:根据空间向量的加法法则以及正方体的性质,逐一进
行判断:① + + 1 = + 1 = 1;②1 + 11 + 11 = 1 + 11 = 1;③ ? 1 + 11 = 1 + 11 = 1;④1 + + 11 = 1 + 11 = 1;因此所给四个式
子的运算结果都是1 .
答案:D

探究一

探究二 思维辨析

反思感悟 1.空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量:向量加减法的三角形法则是解决空间向量加 法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使有关向量首尾相接, 从而便于运算. (2)巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加 法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间 向量的自由平移获得更准确的结果.

探究一

探究二 思维辨析

2.化简空间向量的常用思路 (1)分组:合理分组,以便灵活运用三角形法则、平行四边形法则 进行化简. (2)多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还 可利用多边形法则,若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向 量求和. (3)走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即 沿几何体的边选择途径).

探究一

探究二 思维辨析

变式训练 2 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,给出以下向量表达

式:①(11 ? 1)-;②( + 1)-11;③( ?

)-21;④(11 + 1)+1.其中能够化简为向量1的



.

解析:①中(11 ? 1)- = 1 ? = 1;②中

( + 1)-11 = 1 ? 11 = 1;③中( ? )-21 =

-21 ≠ 1;④中(11 + 1)+1 = 1 + 1 = 11 ≠ 1,所以①②正确.

答案:①②

探究一

探究二 思维辨析

对空间向量的有关概念理解不清致误

【典例】 下列说法中,错误的个数为( )

(1)若两个空间向量相等,则表示它们有向线段的起点相同,

终点也相同.

(2)若向量, 满足||=||,与同向,则 > .

(3)若两个非零向量, 满足 + =0,则, 互为相

反向量.

(4) = 的充要条件是 A 与 C 重合,B 与 D 重合.

A.1

B.2

C.3

D.4

探究一

探究二 思维辨析

易错分析向量相等,则向量的方向相同,模相等,但表示它们的有 向线段的起点未必相同,终点也未必相同.
故(1)(4)错误. 反过来,方向相同,模相等的向量是相等向量,只能用“=”连接,故(2) 错误.

探究一

探究二 思维辨析

解析:(1)错误,两个空间向量相等,其模相等且方向相同,但与 起点和终点的位置无关.
(2)错误,向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小. (3)正确,由 + =0,得=-,所以, 互为相反向 量. (4)错误,由 = ,||=||,且, 同向,但 A 与 C,B 与 D 不一定重合. 故一共有 3 个错误命题,正确答案为 C.
答案:C

探究一

探究二 思维辨析

纠错心得在理解空间向量相关概念时,注意以下几点: (1)对于向量,其两个特征是“大小”与“方向”,注意向量与实数的 关系. (2)对于相反向量,两向量方向相反,模相等,但表示向量的有向线 段不一定在同一条直线上. (3)对于相等向量,方向相同、大小相等,但向量的起点和终点并 不一定重合.

探究一

探究二 思维辨析

跟踪训练下列命题中,正确的是( ) A.“两个向量平行”是“两个向量相等”的充分不必要条件 B.“两个向量是相反向量”是“两个向量的模相等”的必要不充分 条件 C.两个有公共点的向量一定是共线向量 D.若两个向量不共线,则这两个向量中没有零向量 解析:因为零向量和任一向量共线,所以D项正确. 答案:D

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1.“两个非零空间向量的模相等”是“两个空间向量相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:两个向量相等是指两个向量的模相等并且方向相同,因此 “两个非零向量的模相等”是“两个向量相等”的必要不充分条件. 答案:B

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2.已知空间向量, , , ,则下列结论正确的是 ( )

A. = +

B. = + +

C. = ? +

D. = ?

解析: ? + = + ? = ? = + = ,故 C 项正确.
答案:C

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3.在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中,与向量相等的向量共有

()

A.1 个

B.2 个

C.3 个 D.4 个

解析:与向量相等的向量是, 11, 11,共 3 个.
答案:C

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4.设 A,B,C,D 为空间任意四点,则 ? + =

.

解析: ? + = + + = .

答案:

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5.如图所示的是平行六面体 ABCD-A1B1C1D1,化简下列各式.
(1) + + 1;(2)1 ? + . 解(1) + + 1 = + 1 = 1. (2)1 ? + = 1 ? + = 1 + = 1.


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