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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修5【配套备课资源】第二章第二章2.3.2习题课


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习题课

学习要求 1.能由简单的递推公式求出数列的通项公式. 2.掌握数列求和的几种基本方法. 学法指导
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1.数列的前n项和常用方法: (1)公式求和法; (2)错位相减法; (3)拆项相消法; (4)奇偶并项法等. 2.求数列的前n项和时,应先考查其通项公式,根据通项公式的 特点,再来确定选用何种方法.数列求和的实质就是一个代数 式的化简问题.

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1.等差数列的前n项和公式:

n?n-1? n?a1+an? na1+ d Sn=____________=_______________. 2 2
2.等比数列前n项和公式:

na1 (1)当q=1时,Sn=________;
a1?1-qn? a1-anq 1-q 1-q (2)当q≠1时,Sn=____________=____________.

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3.数列{an}的前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an,则an=
?S , n=1, ? 1 ? ?Sn-Sn-1, n≥2 ? ________________________.

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4.拆项成差求和经常用到下列拆项公式:
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1 (1) n?n+1?

1 1 - n n+1 =____________;
1 1 1 ( - ) 2 2n-1 2n+1 =________________;

1 (2) ?2n-1??2n+1? 1 n+ n+1

(3)

n+1- n =____________.

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1 1.数列{an}的前n项和为Sn,若an= ,则S5等于( B ) n?n+1? 5 1 1 A.1 B. C. D. 6 6 30

1 1 1 解析 ∵an= = - , n n+1 n?n+1? 1 1 1 1 1 ∴S5=(1-2)+(2-3)+…+(5-6) 1 5 =1- = . 6 6

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1 1 1 1 2.数列1 ,2 ,3 ,4 ,…的前n项和为 2 4 8 16 1 2 1 A. (n +n+2)- n 2 2 1 1 B. n(n+1)+1- n-1 2 2 1 2 1 C. (n -n+2)- n 2 2 1 1 D. n(n+1)+2(1- n) 2 2

(

)

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1 1 1 1 解析 1 +2 +3 +…+(n+ n) 2 4 8 2 1 1 1 =(1+2+…+n)+( + +…+ n) 2 4 2 1 1 n?n+1? 2?1-2n? = + 2 1 1- 2 1 1 = (n2+n)+1- n 2 2 1 2 1 = (n +n+2)- n. 2 2
答案 A

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3.数列{an}的通项公式an= 数为
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1 n+ n+1

,若前n项的和为10,则项 ( C )

A.11

B.99

C.120

D.121

解析 ∵an=

= n+1- n, n+ n+1

1

∴Sn= n+1-1=10,∴n=120.

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4.数列{(-1)n· n}的前 2 013 项的和 S2 013 为 A.-2 013 C.2 013
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( B )

B.-1 007 D.1 007

解析 S2 013=-1+2-3+4-5+…+2 012-2 013=(-1)+(2-3) +(4-5)+…+(2 012-2 013)=(-1)+(-1)×1 006=-1 007.

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题型一
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分组分解求和 ? ? n 1?2 ? 2 1 ?2 1 ?2 例1 求和:Sn=?x+ ? +?x + 2? +…+?x + n? . x? ? x? x? ? ? ? ? 1 ?2 1 ?2 1 n n ?x + n? 的结构特征, ?x + n? =x2n+ 2n +2.分别组成三个 分析 x? x? x ? ? 数列从而求和.

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解 当x≠± 1时, ? ? n 1?2 ? 2 1 ?2 1 ?2 Sn=?x+ ? +?x + 2? +…+?x + n ? x? ? x? x ? ? ? ? 2 ? 2n 1? ? 4 1? 1? =?x +2+ 2?+?x +2+ 4?+…+?x +2+ 2n? x? ? x? x ? ? ? ?1 1 1? 2 4 2n =(x +x +…+x )+2n+? 2+ 4+…+ 2n? x x ? ?x -2 - 2n 2 2n x ?x -1? x ?1-x ? = 2 + +2n -2 x -1 1-x ?x2n-1??x2n+2+1? = +2n; x2n?x2-1?

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习题课

当x=± 1时,Sn=4n. ?4n, ? 2n + 综上知,Sn=??x -1??x2n 2+1? +2n, 2n 2 ? x ?x -1? ? x=± 1, x≠± 1.

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小结 某些数列,通过适当分组,可得出两个或几个等差数列 或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求 和,从而得出原数列的和.

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跟踪训练1 求数列1,1+a,1+a+a2,…,1+a+a2+…+an-1,… 的前n项和Sn(其中a≠0).
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解 当a=1时,则an=n, n?n+1? 于是Sn=1+2+3+…+n= . 2

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1-an 1 当a≠1时,an= = (1-an). 1-a 1-a 1 ∴Sn= [n-(a+a2+…+an)] 1-a a?1-an? ? a?1-an? 1 ? n ? ? = n- = - . 1-a? 1-a ? 1-a ?1-a?2 ? ? ?n?n+1? ? ?a=1?, ? 2 ∴Sn=? a?1-an? ? n - ?a≠1?. ?1-a ?1-a?2 ?

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题型二

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拆项相消求和 1 1 1 1 例2 求和: 2 + 2 + 2 +…+ 2 ,n≥2. 2 -1 3 -1 4 -1 n -1 1 分析 认真观察,式中每一项 2 均可拆成两项之差,于是 n -1 可用拆项相消法求和. 1 1 解 ∵ 2 = n -1 ?n-1??n+1? 1 ? 1? 1 ? ? - =2? , n-1 n+1? ? ?

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1?? 1 ? ?1 1 ? ?1 1? ∴原式= ??1- ?+? - ?+? - ? 2?? 3 ? ?2 4 ? ?3 5? ? 1 1 ?? ? ?? - +…+? ?? ?n-1 n+1 ? ? ? 1? 1 1 ?1+ - - 1 ? = ? 2 n 2? n+1? ? 2n+1 3 = - . 4 2n?n+1?

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小结 如果数列的通项公式可转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采 用拆项求和法.

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跟踪训练2 求和: 1 1 1 1+ + +…+ . 1+2 1+2+3 1+2+3+…+n
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?1 1 ? 1 2 ? ? ∵an= = =2?n- ?, n+1? 1+2+…+n n?n+1? ?

? 1 1 1 1 1 ? 2n ? ? ∴Sn=2?1-2+2-3+…+n- = . n+1? n+1 ? ?

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题型三 分析
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奇偶并项求和 通项中含符号数列(-1)n,按n为奇数、偶数分类讨论

例3 求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1). 后,再并项求和.
解 当n为奇数时,

Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+ [(-2n+5)+(2n-3)]+(-2n+1) n-1 =2· +(-2n+1)=-n. 2

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当n为偶数时,Sn=(-1+3)+(-5+7)+…+[(-2n+3)+ n (2n-1)]=2·=n. 2 ∴Sn=(-1)nn(n∈N*).

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跟踪训练3 已知数列-1,4,-7,10,…,(-1)n· (3n-2),…, 求其前n项和Sn.

解 n为偶数时,令n=2k(k∈N*),
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Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1)n(3n-2) =(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)] 3 =3k=2n;

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当n为奇数时,令n=2k+1(k∈N*). -3n+1 Sn=S2k+1=S2k+a2k+1=3k-(6k+1)= . 2
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?-3n+1 ?n为奇数?, ? 2 ∴Sn=? ?3n ?n为偶数?. ?2

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求数列前n项和,一般有下列几种方法.
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1.错位相减 适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数 列求和. 2.分组求和 把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

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3.拆项相消
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有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消 去中间项,只剩有限项再求和. 4.奇偶并项 当数列通项中出现(-1)n或(-1)n 1时,常常需要对n取值的奇 偶性进行分类讨论. 5.倒序相加 例如,等差数列前n项和公式的推导方法.



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