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2014年最新人教A版必修4任意角的三角函数(第一课时)_图文

任意角的三角函数 第一课时

初中:在直角三角形中锐角A 的三角函数定义:
a BC ? sin A ? c AB b AC ? cos A ? AB c
BC a tan A ? ? AC b
A
B

c
b

a
C

上述定义只限于直角三角形中的锐角, 而现在角的定义已经拓广到任意角.

如:

2? sin ?? 3 cos? ? ? tan(?

?
3

)??

任意角是 在直角坐 标平面内 给出定义

正弦、余弦、正切 是在直角三角形中 给出定义

思考:如何定义任意角的三角函数?

新课

导入

1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 其中 : MP b s in? ? ? OM ? a
OP r

MP ? b OP ? r ? a 2 ? b 2
y

OM a cos ? ? ? OP r

﹒P?a, b ?
?

MP b tan ? ? ? OM a

o


M

x

诱思

探究

如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y

P?
P(a,b)

?OMP ∽ ?OM ? P?
MP sin ? ? OP
OM cos? ? OP


M

?
O

M?

x

M ?P? ? OP ? ? OM ? OP ?

MP tan? ? OM

M ?P? ? OM ?

一、任意角的三角函数的定义 1: 设 ?是一个任意角, ?的终边上任意一点 P ( x, y )
P( x, y )(除端点外), 它与原点的距离是r (r ? x ? y ? 0), 那么:
2 2

y

r
?
O

x

y y (1)比值 叫做?的正弦, 记为sin ? ,即sin ? ? r r x x (2)比值 叫做?的余弦, 记为cos? ,即cos? ? r r y y (3)比值 叫做?的正切, 记为 tan? ,即 tan? ? x x

一、任意角的三角函数的定义 2: 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交
于点P(x,y)则: y 叫α 的正弦
y

sin α ? y
x叫α的余弦

P( x, y)
O

cos? ? x
x

x

y 叫α的正切 x y tan ? ?

一、任意角的三角函数的定义:
思考:对于一个任意给定的角α ,按照上述定义, 对应的sinα ,cosα ,tanα 的值是否存在?是否 惟一? y

α 的终边 P(x,y)

O

x

三角函数的定义域:
三角函数 定义域

y ? sin ?

R R

y ? cos?

y ? tan?

{? | ? ?

?
2

? k? , k ? Z }

说明

(1) sin ? , cos ? , tan ? 分别叫做角?的正弦函数、余弦函数、 正切函数.以上三种函数都称为三角函数;
(2)由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系, 三角函数可以看成是自变量为实数的函数.

例题

例1:已知角?的终边经过点P0 (?3,?4), 求角?的正弦、余弦、正切值 .

例题
变式1:已知角α的终边经过点P(2a,-3a)(a>0),求角α

的正弦、余弦、正切值.

例题
变式2:已知角α的终边经过点P(2a,-3a),求角α的正弦、 余弦、正切值.

例题

5? 例2:求 的正弦、余弦、正切值 . 3

几个特殊角的三角函数值
角α 0o 角α 的弧 0 度数 sinα 0 cosα 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o

? 6
1 2

? 4
2 2 2 2

? 3
3 2
1 2

? 2 1

?

1
0

tanα

3 2 3 3

0

1

3 不存在

0 ?1 0 1 ?1 0 0 不存在 0

3? 2

2?

例题

例3:已知角?终边在直线y ? 3 x上, 求角?的各个三角函数值.

练习
1. 角α的终边经过点P(0, b)则( D ) A.sin α=0 B.sin α=1 C.sin α=-1 D.sin α=± 1 2.若角600o的终边上有一点(-4, a),则a的值是(B )

A.4 3 C. ? 4 3

B. ? 4 3 D. 3

三角函数的符号
三角函数在各象限内的符号:
上正下负横为0

y 1?、正弦函数值 sin ? ? r y

y

第一象限:y ? 0, r ? 0, 故 为正值; r y 第二象限:y ? 0, r ? 0, 故 为正值; r y 第三象限:y ? 0, r ? 0, 故 为负值; r y 第四象限:y ? 0, r ? 0, 故 为负值; r

o

x

三角函数在各象限内的符号:

第一象限:x ? 0, r ? 0, 故 为正值; r x 第二象限:x ? 0, r ? 0, 故 为负值; r x 第三象限:x ? 0, r ? 0, 故 为负值; r x 第四象限:x ? 0, r ? 0, 故 为正值; r

x 2 ?、余弦函数值 cos ? ? r x

左负右正纵为0

y

o

x

三角函数在各象限内的符号:

第一象限:x ? 0, y ? 0, 故 为正值; x y 第二象限:x ? 0, y ? 0, 故 为负值; x y 第三象限:x ? 0, y ? 0, 故 为正值; x y 第四象限:x ? 0, y ? 0, 故 为负值; x

y 3?、正切函数值 tan ? ? y x

交叉正负

y

o

x

y

y

y

o

x

o

x

o

x

sin ?、 csc ?

cos?、 sec?

tan ?、 cot ?

规律: “一全正、二正弦正、三正切正、四余弦正”

“一全二正弦,三切四余弦”

例题

例1、确定下列三角函数值的符号: ? ?? ?1? cos 250 ???????????????????? 2 ? sin ? ? ? ? 4? 11 0 ? 3? tan ? ?672 ??????????????? 4 ? tan ? 3
0

练习:课本21页

3, 4


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