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湖南省长沙市长郡中学高中数学 第二章 第三节 直线的参数方程 2.3.1直线的参数方程课件 新人教版选修4-4_图文

t

问题提出
1.椭圆

x2

y 2 p

?

? ??

1 2

? ??

5730

?

? 1(a ? b ? 0),双曲线

x2

?

y2

? 1(a

a2
? 0,b

b2
? 0) 和抛物线y2=2px

a2 b2

(p>0)的基本参数方程分别是什么?

椭圆

? ? ?

x y

? ?

a b

cos?(φ sin ?

为参数),

双曲线

? ? ?

x y

? ?

a b

staenc??(φ

为参数),

抛物线

? ? ?

x y

? ?

2 2

pptt2(t为参数).

2.利用圆锥曲线的参数方程解决实 际问题的核心思想是什么?
将圆锥曲线上点的坐标用参数形式表示.
3.对圆,椭圆,双曲线和抛物线等 二次曲线的参数方程已分别进行了研究, 由于直线是解析几何的一个重要研究对 象,因此,如何建立直线的参数方程也 就成为当务之急.

探究(一):直线参数方程的基本形式

思考1:过点M0(x0,y0),倾斜角为 α (α ≠90°)的直线l的普通方程是什么?

y ? y0 ? tan?(x ? x0 )

思考2:将上述直线l的方程写成

y ? y0 x ? x0

?

sin ? cos?

,令

y?

y0

? t sin? ,

则直线l的参数方程是什么?

? ? ?

x y

? ?

x0 y0

?t ?t

cos?
(t为参数)
sin ?

思考3:在直线l上任取一点M(x,y),设

e为直线l的单位方向向量,则向量 M0M

和e的坐标分别是什么?

l

y

M

M0M =(x-x0,y-y0) e

e=(cosα,sinα)

M0 α

O

x

思考4:因为 M0M ∥e,则存在实数t使

得 M0M =te,利用坐标运算得到什么结

论?

l

x=x0+tcosα , y=y0+tsinα .

y

M

e M0
α

O

x

思考5:由 M0M =te得参数t的几何意义

是什么?

l

| M0M |?| t |

y

M

e

当 M0M 方向向上时, t>0;

M0 α

O

x

当 M0M 方向向下时, t<0;

当点M与M0重合时,t=0.

探究(二):直线参数方程的拓展形式

思考1:过点M0(x0,y0),斜率为

b 的直
a

线l的普通方程是什么?

b y ? y0 ? a (x ? x0 )
思考2:将上述直线l的方程写成

y? x?

y0 x0

?

b a

令 y ? y0 ? ?b ,则直线l的参数方程是什

么?

?x

? ?

y

? ?

x0 y0

? ?

?a ?b(λ

为参数)

思考3:由 tan? ? b ,可得cosα ,

a

sinα
cos?

分别等于什么?
? a , sin?

?

b

a2 ? b2

a2 ? b2

思考4:根据上述关系,参数方程

? ? ?

x y

? ?

x0 y0

? ?a(λ ? ?b

为参数)可变形为什么?

??x ? x0 ? ?
?

a2 ? b2 cos? (λ 为参数)

?? y ? y0 ? ? a2 ? b2 sin?

思考5:对于直线l的两种参数方程

? ? ?

x y

? ?

x0 y0

?t ?t

cos sin

?(t为参数)和 ?

?x ? x0 ? ?a

? ?

y

?

y0

? ?b(λ

为参数),参数λ



参数t有什么关系?

?? t
a2 ? b2

练习:设直线的参数方程为???xy

? ?

5 ? 3t (t为参数) 10 ? 4t

将该参数方程化为标准形式。

理论迁移

例1 已知直线l:x+y-1=0与抛物

线y=x2相交于A,B两点,求线段AB的长

和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.

y

B

|AB|=|t1-t2|= 10 ,

M A

O

x

|MA|·|MB|=|t1t2|=2.

例2 过点M(2,1)作直线l,交椭圆
x2 ? y2 ? 1于A,B两点,如果点M恰好为 16 4
线段AB的中点,求直线l的方程.

y

x+2y-4=0

BM O

Ax

例3 当前台风中心P在某海滨城市O

向东300km处生成,并以40km/h的速度向

西偏北45°方向移动.已知距台风中心

250km以内的地方,都属于台风侵袭的范

围,那么约经过多长时间后该城市开始

受到台风侵袭?受台风侵袭的持续时间

有多长? 大约经过2h后该城 市开始受到台风侵

y lB
A 135°

袭,受台风侵袭的

O

Px

持续时间约6.6h.

例4 如图,AB,CD是中心为点O的椭 圆的两条相交弦,交点为P,两弦AB,CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1,∠2,且 ∠1=∠2,求证:|PA|·|PB|= |PC|·|PD|.
y

C

2

O

P A

B
1
x
D

小结作业
1.直线的参数方程也有多种形式,但 只要求掌握“点角式”参数方程,其中 参数t表示有向距离.
2.利用直线参数方程中参数t的几何 意义处理有关距离问题,是一个重要的 解题技巧,在解析几何中有着广泛的应 用,其中合理选取点(x0,y0)是正确解 题的关键.

3.参数方程

? ? ?

x y

? ?

x0 y0

? ta(t为参数)
? tb



? ??

x

?

?

x0

?

?y ??

?

y0

?

at
a2 ? b2 (t为参数)表示
bt
a2 ? b2

同一条直线,但两个参数方程中的参数t

具有不同的几何意义,二者不可混为一

谈.


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