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伪随机序列

《通信信号处理》专题

姓名:杨晶超 学号:s20070416

目 录
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伪随机序列的概念 伪随机序列的相关函数 m 序列
3.1 3.2 3.3 3.4 m 序列的定义 m 序列的构造 m 序列的性质 m 序列的相关性

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M 序列 Gold 序列
? 5.1 ? 5.2 ? 5.3 m 序列优选对 Gold 序列的产生方法 Gold 序列的相关特性

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? ? ? ? ? ? ?

伪随机序列的应用
6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 扩展频谱通信 码分多址(CDMA)通信 通信加密 误码率的测量 数字信息序列的扰码与解扰 噪声产生器 时延测量

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伪随机序列的概念
扩频系统的扩频运算是通过伪随机序列来实现的。从理论上来

讲,用纯随机序列来扩展信号的频谱是最理想的,但是接收端必须复 制同一个随机序列,由于随机序列的不可复制性,因此在工程中,无 法使用纯随机序列,而改为采用伪随机序列。 随机序列通信的基本理论源于香农的编码定理。 香农编码定理指 出:只要信息速率 Rd 小于信道容量 C,则总可以找到某种编码方法, 使得在码字相当长的条件下, 能够几乎无差错地从高斯白噪声干扰的 信号中恢复出原发送的信号。 伪随机序列应当具有类似理想随机序列的性质。 在工程上常用二 元{0,1}序列来产生伪随机序列,它具有以下三个特点: (1)随机序列中的“0”的个数和“1”的个数接近相等; (2)随机序列中长度为 1 的游程约占游程总数的 1/2,长度为 2 的 游 程 约 占 游 程 总 数 的 (1/2)2 , 长 度 为 3 的 游 程 约 占 游 程 总 数 的 (1/2)3…… 在同长度的游程中, “0”的游程数和“1”的游程数大致相等; (3)随机序列的自相关函数具有类似白噪声自相关函数的性质。

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伪随机序列的相关函数

(1) 凡自相关函数满足

? 1 N?1 2 ? N ∑ai =1, j = 0 ? i=0 Ra ( j ) = ? N?1 ? 1 aa =? 1 , j ≠0 ? N ∑ i i+ j N ? i=0
则为狭义伪随机序列。

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(2) 凡自相关函数满足
1 N ?1 2 ? ? N ∑ ai = 1, j = 0 ? i =0 Ra ( j ) = ? N ?1 ?1 a a = c < 1, j ≠ 0 ? N ∑ i i+ j ? i=0

则为广义伪随机序列。

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m 序列

3.1 m 序列的定义
m 序列是最长线性移位寄存器序列, 线性移位寄存器是由移位寄 存器加上反馈后所产生的。如图 1 所示。

图 1 n 位线性反馈移位寄存器结构 对于一个序列{an},序列的生成多项式为
G ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ??? + an x n

序列的特征多项式为
F ( x ) = c0 + c1 x + c2 x 2 + ??? + cn x n

可以证明: G ( x ) =

1 F ( x)

反馈逻辑 ci 一旦确定, 产生的序列就确定了。 n 级移位寄存器 由 产生的序列,其最大的周期为 2n-1。因此,假设在二元域上的 n 级线 性反馈移位寄存器所产生的非零序列的周期为 N=2n-1,则称这个序 列为 n 级最大周期线性移位寄存器序列,简称 m 序列。
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3.2 m 序列的构造
产生 m 序列的条件由下述定理给出。 定理 1:如果一个 n 级线性移位寄存器所产生的序列周期是 N=2n-1 的 m 序列,则其特征多项式必然是不可约的。 定理 2: F ( x ) = ∑ ci x i , 0=cn=1 是二元域上的多项式, G(F) 设 c 以
i =0 n

代表由特征多项式所产生的所有非零序列的集合。于是 G(F)中的非 零序列均为 m 序列的充要条件是 F(x)为二元域上的本原多项式。 所谓本原多项式是指 F(x)可整除 1+xN ,N=2n-1,F(x)除不尽 1+xM,M<N。

3.3 m 序列的性质 m 序列具有下列性质。
1. 平衡性 在 m 序列中, “1”的个数比“0”的个数多 1 个, 且“1”的个数为 2n-1 个,“0”的个数为 2n-1-1 个。 2. 移位可加性 一个 m 序列同该序列的任意循环移位序列模 2 加是该序列的另 一移位序列,即仍属于 m 序列。 3. 游程特性? 周期为 N=2n-1 的 m 序列中,总共有 2n-1 个游程,长度为 k 的 游程个数占游程总数的 1/2k,其中 1≤k≤(n-2)。“0”和“1”的游程数目各 占一半。长度为 n-1 的游程只有一个,为全“0”游程;长度为 n 的游 程也只有一个,为全“1”游程。
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3.4 m 序列的相关性
1 N?1 m 序列相关函数定义为 R( j ) = ∑aai+ j i N i=0

根据 m 序列的平衡性和移位可加性,可得
1, j = 0 ? ? R( j) = ? 1 ?? N , j = ±1, ±2, ???, ±( N ?1) ?

由于 m 序列是周期函数, 因此自相关函数也是周期函数, 它是以 周期 N 重复的。 若周期 m 序列的每个码元宽度为 Tc,则一个周期为 T=NTc,其 自相关函数时域波形如图 2 所示:

图 2 二元 m 序列自相关函数波形 其功率谱密度曲线如图 3 所示:

图 3 m 序列功率谱
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M 序列
M 序列是由移位寄存器产生的最长非线性序列,其码长为 2n 的

周期序列。 已达到 n 级移位寄存器所能达到的最长周期, M 所以又称 全长序列。 M 序列可以在 m 序列的基础上,加上全“0”状态后形成。 显然, “0”状态应插在 xnxn-1…x1=100…0 之后, 同时还必须使“0” 状态的后续状态为原 m 序列的下一状态,即 0…001。因此必须对原 m 序列的反馈逻辑进行修正。当检测到 M 序列的状态为 xn?1 xn?2 L x1 (即 00…0)后,加上原 m 序列的反馈逻辑 f0(x1, x2, …, xn),得到新的 反馈逻辑 f ( x1 , x2 ,L xn ) = f 0 ( x1 , x2 ,L xn ) + xn ?1 xn ?2 L x1 M 序列具有如下性质: (1)在一个周期 2n 内,序列中的“0”和“1”的个数相等。 (2)在一个周期中,共有 2n-1 个游程,其中同样长度的“0”游程 和“1”游程的个数相等。当 1≤k≤n-2 时,长度为 k 的游程数占总游程 数的 2-k,长度为 n-1 的游程不存在,长度为 n 的游程有两个,分别 为全“1”和全“0”游程。 (3)由 n 级移位寄存器产生 m 序列的数量为
φ ( 2n ? 1)
n
2n?1 ? n

, φ ( ? ) 为欧

拉函数。 而由 n 级移位寄存器产生 M 序列的数量为 2 时,M 序列比 m 序列的数量大得多。

个。 n>4 当

(4)M 序列不再具有移位相加性,因而其自相关函数不再具有 双值特性,而是一个多值函数。对于周期 N=2n 的 M 序列自相关函 数 RM(τ)具有如下相关值:
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① RM(0)=1; ② RM(j)=0,0<j<n;? ③ RM(±n)=1-4W(f0)/N;? 其中,W(f0)是产生 M 序列的反馈逻辑函数表示成 f(x1, x2, …, xn)= f0(x1, x2, …, xn-1)+xn 的形式时,函数 f0 取值为 1 的个数,称为 f0 的 权重。 ④ 当 j>n 时,无确定的表达式。

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Gold 序列

5.1 m 序列优选对
所谓 m 序列优选对,是指在 m 序列集中,其互相关函数最大值 的绝对值小于某个值的两个 m 序列。 如果有两个 m 序列, 它们的互相关函数满足不等式:
+ ? n2 1 ? 2 + 1, R (τ ) ≤ ? n + 2 ? 2 2 + 1, ?

n 为奇数 n 为偶数但不能被 4 整除

则我们称这一对 m 序列为优选对。

5.2 Gold 序列的产生方法
如果把两个 m 序列发生器产生的优选对序列作模 2 加运算,生成 的新的码序列即为 Gold 序列。每改变两个 m 序列相对位移就可得到 一个新的 Gold 序列。因为总共有 2n-1 个不同的相对位移, 加上原来 的两个 m 序列本身, 所以, 两个 n 级移位寄存器可以产生 2n+1 个 Gold 序列。 产生 Gold 序列的电路原理框图如图 4 所示。
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图 4 产生 Gold 序列的电路原理框图

5.3 Gold 序列的相关特性
Gold 序列具有三值互相关特性。表 1 给出了互相关值和出现某 种相关值的概率。 表 1 Gold 序列的互相关函数值出现的概率

Gold 序列的自相关函数也是三值函数,只是出现的概率不同。

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伪随机序列的应用

6.1 扩展频谱通信

图 5 数字基带扩展频谱通信系统的模型
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6.2 码分多址(CDMA)通信
码分多址系统有以下特点: ? (1)所有用户可以异步地共享整个频带资源,也就是说,不同 用户码元发送信号的时间并不要求同步; ? (2)系统容量大; ? (3)信道数据率非常高。

图 6 码分多址扩频通信系统模型

6.3 通信加密
数字通信的一个重要优点是容易做到加密,在这方面 m 序列的应 用很多。将信源产生的二进制数字消息和一个周期很长的 m 序列模 二相加,这样就将原消息变成不可理解的另一序列。将这种加密序列 在信道中传输,被他人窃听也不可理解其内容。在接收端再加上一同 样的 m 序列,就能恢复为原发送消息。

图 7 数字加密的基本原理框图
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6.4 误码率的测量
在数字通信中,误码率是一项主要的性能指标。在实际测量数字 通信系统的误码率时,一般测量结果与信源送出信号的统计特性有 关。通常认为二进制信号中 0 和 1 是以等概率随机出现的,所以测量 误码率时最理想的信源应是随机信号产生器。? 由于 m 序列是周期性的伪随机序列,因而可作为一种较好的随 机信源,它通过终端机和信道后,输出仍为 m 序列。在接收端,本 地产生一个同步的 m 序列,与收码序列逐位进行模二加运算,一旦 有错,就会出现“1”码,用计数器计数。

图 8 误码率测试

6.5 数字信息序列的扰码与解扰
如果我们能够先将信源产生的数字信号变换成具有近似于白噪 声统计特性的数字序列,再进行传输;在接收端收到这个序列后先变 换成原始数字信号,再送给用户。这样就可以给数字通信系统的设计 和性能估计带来很大方便。? 所谓加扰技术,就是不用增加多余度而扰乱信号,改变数字信号 统计特性,使其近似于白噪声统计特性的一种技术。具体做法是使数 字信号序列中不出现长游程,且使数字信号的最小周期足够长。这种

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技术的基础是建立在伪随机序列理论之上的。

图 9 采用加扰技术的系统

图 10 自同步加扰器和解扰器原理框图

6.6 噪声产生器
测量通信系统的性能时,常常要使用噪声产生器。 在实际测量中,往往需要用到带限高斯白噪声。使用噪声二极管 这类噪声源构成的噪声发生器,测量得到的误码率常常很难重复得 到。 m 序列的功率谱密度的包络是(sinx/x)2 形的。设 m 序列的码 元宽度为 T1 秒,则大约在 0~(1/T1)×45%Hz 的频率范围内,可以 认为它具有均匀的功率谱密度。将 m 序列进行滤波,就可取得上述 功率谱均匀的部分并将其作为输出,所以可以用 m 序列的这一部分频 谱作为噪声产生器的噪声输出。虽然这种输出是伪噪声,但其对多次 进行的某一测量都有较好的可重复性,且性能稳定,噪声强度可控。

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6.7 时延测量
由于 m 序列具有优良的周期性自相关特性, 因此, 利用它作测量 信号可以提高可测量的最大时延值和测量精度。图 11 为这种测量方 法示意图。

图 11 时延测量示意图 一般情况下,这种方法只能在闭环的情况下进行测量,即收、发 端在同一地方,其测量精度取决于伪码同步电路的精度及 m 序列码 的码元宽度,m 序列码的周期即为可测量的最大时延值。由于伪码同 步电路具有相关积累作用,因此,即使接收到的 m 序列码信号的平 均功率很小,只要 m 序列码的周期足够大,在伪码同步电路中仍可 得到很高的信噪比,从而保证足够的测量精度。除 m 序列外,其他 具有良好自相关特性的伪随机序列都可用于测量时延。

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