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椭圆专题 1


专题:椭圆中最值问题求解策略
有关圆锥曲线的最值问题,在近几年的高考试卷中频频出现,在各种题型中均有考查,其中以解答题为重,在平 时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题,也是教学中 的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法,将它转化为解 不等式或求函数值域,以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。 第一类:求离心率的最值问题 破解策略之一:建立 a, b, c 的不等式或方程 例 1:若 A, B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长轴两端点, Q 为椭圆上一点,使 ?AQB ? 1200 ,求此椭圆离心率的 a2 b2

最小值。 分析:建立 a, b, c 之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想,但条件又不是 与焦点有关,很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中 x, y 的取值进行求解离心率的最 值。 解:不妨设 A(a,0), B(?a,0), Q( x, y) ,则 k AQ ?

y y , k BQ ? , x?a x?a

y y ? 利用到角公式及 ?AQB ? 1200 得: x ? a x ? a ? tan1200 ( x ? ? a ) , y y 1? x?a x?a 2 a 2 2ab2 2ab2 2 2 又点 A 在椭圆上,故 x ? a ? ? 2 y ,消去 x , 化简得 y ? 又 y ? b即 ?b b 3c 2 3c 2
则 4a 2 (a 2 ? c 2 ) ? 3c 4 ,从而转化为关于 e 的高次不等式 3e ? 4e ? 4 ? 0 解得
4 2

6 ? e ?1。 3

故椭圆离心率的最小值为

b 2 b 3 6 6 。 (或 2ab ? 3c2 ? 3(a2 ? b2 ) ,得:0 ? ? ,由 e ? 1 ?( ) ,故 ? e ?1) a 3 3 3 a

(注:本题若是选择或填空可利用数形结合求最值) 点评:对于此类最值问题关键是如何建立 a, b, c 之间的关系。常用椭圆上的点 ( x, y ) 表示成 a, b, c ,并利用椭圆中

x, y 的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。
破解策略之二:利用三角函数的有界性求范围 例 2:已知椭圆 C:

x2 y 2 ? F2Q ,求椭圆离心 ? ? 1(a ? b ? 0) 两个焦点为 F1 , F2 ,如果曲线 C 上存在一点 Q,使 FQ 1 a 2 b2

率的最小值。 分析:根据条件可采用多种方法求解,如例 1 中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解,也会有不 错的效果。 解:根据三角形的正弦定理及合分比定理可得:

PF1 PF2 PF1 ? PF2 2c 2a ? ? ? ? 0 sin ? sin ? sin ? ? cos ? sin ? ? cos? sin 90
故e ?

2 1 2 ,故椭圆离心率的最小值为 。 ? 0 2 2 2 sin(? ? 45 )

点评:对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系,并利用三角函数的有界性解题,真是柳暗花明又一村。 第二类:求点点(点线)的最值问题
1

破解策略之三:建立相关函数并求函数的最值(下面第三类、第四类最值也常用此法) 例 3: (05 年上海)点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位 36 20

于 x 轴上方,PA ? PF 。 (1) 求点 P 的坐标; (2) 设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点, M 到直线 AP 的距离等于 | MB | , 求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值。 分析:解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系,因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进 行求解。 解: (1)略 (2)直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0。 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是

m?6 2



于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,解得 m =2。

设椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2 )2 ? y 2 ? x ?4 x2 ?4 ?2 0 ? x2 ? (x ? 2) , ?1 5 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
点评:对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数——二次函数的最值问题求解。 破解策略之四:利用椭圆定义合理转化 例 4:定长为 d ? d ?

? ?

x2 y2 2b 2 ? ? 的线段 AB 的两个端点分别在椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 上移动,求 AB 的中点 M 到椭 a b a ?

圆右准线 l 的最短距离。 解:设 F 为椭圆的右焦点,如图作 AA' ? l 于 A', BB'⊥ l 于 B',MM'⊥ l 于 M',则

| MM |?
/

AA/ ? BB / 2

?

AB 1 ? AF BF ? 1 d ? ? ? ? AF ? BF ? ? ? ? 2? e ? 2e 2e ? e ? 2e
d 。 2e

当且仅当 AB 过焦点 F 时等号成立。故 M 到椭圆右准线的最短距离为

点评:

2b 2 2b 2 是椭圆的通径长,是椭圆焦点弦长的最小值, d ? 是 AB 过焦点的充要条件。通过定义转化避免 a a

各种烦琐的运算过程。 第三类:求角的最值问题 例 5: (05 年浙江)如图,已知椭圆的中心在坐标原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,长轴 A1A2 的长为 4,左准线 l 与 x 轴的 交点为 M,|MA1|∶|A1F1|=2∶1。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若直线 l1:x=m(|m|>1),P 为 l1 上的动点,使∠F1PF2 最大的点 P 记为 Q,求点 Q 的坐 y 标 (并用 m 表示) 。 分析:本题考查解析几何中角的最值问题常采用到角 P (夹角)公式或三角形中的正弦(余弦)定理,结合
2 M A1 F1

O F2

A2

x

本题的实际,考虑用夹角公式较为妥当。 解: (I) (过程略)

x2 y 2 ? ?1 4 3 (II)设 P( m, y0 ),| m |? 1 ①当 y0 ? 0 时, ?F 1 PF2 ? 0 ? ②当 y0 ? 0 时, 0 ? ?F1 PF2 ? ?PF1M ? ? 只需求 tan ?F1PF2 的最大值即可。 2 y0 y0 , 利用夹角公式得: 直线 PF1 的斜率 K1 ? ,直线 PF2 的斜率 K 2 ? m ?1 m ?1 2 | y0 | 1 2 | y0 | K ? K1 ? ? ? tan ?F1PF2 ?| 2 |? 2 2 1 ? K1K2 m ? 1 ? y0 2 m 2 ? 1? | y 0 | m2 ?1
当且仅当 m ?1 = | y0 | 时, ?F 1PF 2 最大,最大值为 arctan
2

1 m2 ?1



点评:对于此类最值问题关键是如何将角的最值问题转化成解析几何中的相关知识最值问题,一般可用到角(夹 角)公式、余弦定理、向量夹角进行转化为求分式函数的值域问题。 第四类:求(三角形、四边形等)面积的最值问题 ??? ? ??? ? y2 例 6: (05 年全国 II) P 、 Q 、 M 、 N 四点都在椭圆 x2 ? ? 1 上, F 为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点.已知 PF 与 FQ 2 ???? ? ???? ??? ? ???? ? 共线, MF 与 FN 共线,且 PF ? MF ? 0 .求四边形 PMQN 的面积的最小值和最大值. 分析:本题是向量与解析几何的结合,主要是如何选择一个适当的面积计算公式达到简化运算过程,并结合分类 讨论与求最值的思想。 解:①如图,由条件知 MN 和 PQ 是椭圆的两条弦,相交于焦点 F(0,1),且 PQ⊥MN,直线 PQ、NM 中至少有一条存 在斜率,不妨设 PQ 的斜率为 k ,又 PQ 过点 F(0,1),故 PQ 的方程为 y = kx +1 将此式代入椭圆方程得(2+ k 2 ) x 2 +2 kx -1=0 设 P、Q 两点的坐标分别为( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),则

?k ? 2k 2 ? 2 ?k ? 2k 2 ? 2 , x ? 2 2 ? k2 2 ? k2 8(1 ? k 2 )2 2 2 2 从而 | PQ | ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? (2 ? k 2 )2 x1 ?
1 2 2(1 ? k 2 ) 亦即 | PQ |? (1)当 k ≠0 时,MN 的斜率为- , 2 k 2?k
1 2 2(1 ? (1 ? )2 ) k 同上可得: | MN |? 1 2 2 ? (? ) k

y
M F P O N Q

x

1 1 ) 4(2 ? k 2 ? 2 ) 2 1 k ? k 故所求四边形的面积 S ? | PQ || MN |? 1 2 2 (2 ? k 2 )(2 ? 2 ) 5 ? 2k 2 ? 2 k k 1 4(2 ? u ) 1 2 ? 2(1 ? ) 令u =k ? 2 得S ? k 5 ? 2u 5 ? 2u 1 16 16 2 ?S?2 ∵ u = k ? 2 ≥2 当 k =±1 时 u =2,S= 且 S 是以 u 为自变量的增函数。∴ k 9 9 1 ②当 k =0 时,MN 为椭圆长轴,|MN|=2 2 ,|PQ|= 2 。∴S= |PQ||MN|=2 2 16 综合①②知四边形 PMQN 的最大值为 2,最小值为 。 9 4(1 ? k 2 )(1 ?
点评: 对于此类最值问题关键是选择一个适当或合理的面积公式转化成常见函数——反比例函数形式的最值问题。
3

第五类:求线段之和(或积)的最值问题 破解策略之五:利用垂线段小于等于折线段之和。 例 7:若椭圆

x2 4

?

y2 3

? 1 内有一点 P ?1,1? , F 为右焦点,椭圆上的点 M 使得 | MP | ?2 | MF | 的值最小,则点 M 的
2 6 3 2 6 3

坐标为(

) A. ( ?

,1)

B. (

,1)

C. (1, ? )

3 2

D. (1, )

3 2

提示:联系到 e ?

1 将 2 | MF | 用第一定义转化成点到相应准线的距离问题,利用垂线段最短的思想容易得到正确 2

答案。选 B 。思考:将题中的 2 去掉会怎样呢? 破解策略之六:利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边 例 8:如图,在直线 l : x ? y ? 9 ? 0 上任意取一点 M ,经过 M 点且以椭圆 处时,所作椭圆的长轴最短,并求出最短长轴为多少? 分析:要使所作椭圆的长轴最短,当然想到椭圆的定义。基本的解题思路如下:长轴最短 ?三点一直线 ?寻求 对称 ?对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称,使我们找到一种简明的解题方法。通过此对称性主要利用

x2 y2 ? ? 1 的焦点作椭圆,问当 M 在何 12 3

| NF1 | ? | NF2 |?| F2 F1/ |
解:椭圆的两焦点分别为 F1 (-3,0)、 F2 (3,0),
' ' 作 F1 关于直线 l 的对称点 F1 ,则直线 F1 F1 的方程为 x ? y ? ?3

y

F

' 1

N M P F1 O

l

由方程组 ?

? x ? y ? ?3 ? x ? y ? ?9

得 P 的坐标(-6,3),

F2

x

' ' 由中点坐标公式得的 F1 坐标(-9,6),所以直线 F2 F1 的方程 x ? 2 y ? 3 。

解方程组 ?

?x ? 2y ? 3 ? x ? y ? ?9

' 得 M 点坐标(-5,4)。由于 F1 F2 ? 180 ? 2a ? 6 5 ,

点评:对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最短、垂线段最短的思想。 除了上述几类之外,高考中还有数量积的最值问题、直线斜率(或截距)的最值问题等等,由此可见对于椭圆中 的最值问题所涉及范围较广,从中也渗透了求最值的一些常规方法,运用定义、平面几何知识可更有效地将最值问题 转化成形的最值问题。 椭圆最值问题 椭圆中的最值问题是比较重要的课题,它主要体现了转化思想及数形结合的应用,涉及到的知识有椭圆定义、标 准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解 决问题的能力等等。椭圆中的最值问题通常有两类:一类是有关长度、面积等的最值问题;一类是椭圆中有关元素的 最值问题。这些问题往往通过回归定义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数的性质或不等式知识,以及观形、 设参、转化、替换等途径来解决。 策略一:定义法

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。 例 1、 (1)P(-2, 3 ),F2 为椭圆 25 16
4

M1 F1 F2

分析:欲求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值 可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义 o ︱MF2︱=2a-︱MF1︱, F1 为椭圆的左焦点。 解:︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接 PF1 延长 PF1 交椭圆于点 M1,延长 F1P 交椭圆于点 M2 由三角形三边关系知 –︱PF1︱ ? ︱MP︱-︱MF1︱ ? ︱PF1︱当且仅当 M 与 M1 重合时取右等号、 M 与 M2 重合时取左等号。 因为 2a=10, ︱PF1 ︱=2 所以(︱MP︱+︱MF2︱)max=12, (︱MP︱+︱MF2︱)min=8 结论 1:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2, P(x0,y0)为椭圆内一点,M(x,y)为椭圆上任意一点,则︱MP a2 b2

︱+︱MF2︱的最大值为 2a+︱PF1︱,最小值为 2a–︱PF1︱。 (2)P(-2,6),F2 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点,点 M 在椭圆上移动,求︱MP︱+︱MF2︱的最大值和最小值。 25 16

分析:点 P 在椭圆外,PF2 交椭圆于 M,此点使︱MP︱+︱MF2︱值最小,求最大值方法同例 1。 解:︱MP︱+︱MF2︱=︱MP︱+2a-︱MF1︱连接 PF1 并延长交椭圆于点 M1,则 M 在 M1 处时︱MP︱-︱MF1︱取最大值 ︱PF1︱。∴︱MP︱+︱MF2︱最大值是 10+ 37 ,最小值是 41 。

结论 2:设椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1、F2, P(x0,y0)为椭圆外一点,M(x,y)为椭圆上任意一点,则︱MP︱+︱ a2 b2

MF2︱的最大值为 2a+︱PF1︱,最小值为 PF2。 演练 1、已知点 F 是椭圆


x2 y2 ? ? 1 的右焦点,M 使这椭圆上的动点,A(2,2)是一个定点,求|MA|+|MF|的最小值。 25 9

解:设 F 为椭圆的左焦点,则|MF|+|MF’|=2a=10, 要使|MA|+|MF|最小,当 A 在椭圆外时,可为 A、F 的连接与椭 y M F’ A F M0 x 圆 的 交 点 , 而 使 |MA|+|MF| 的 最 小 值 等 于 |AF| , 当 A 在 椭 圆 内 部 时 ( 见 图 ) , ∴ |MA|+|MF|=|MA|+(2a-|MF’|)=2a-(|MF’|-|MA|),
2 2 |AF’|= ( 2 ? 4) ? ( 2 ? 0) ? 2 10



|MF’|-|MA|



即|MF’|-|MA|的最大值为 2 10(M 在 M0 处取得) ,

∴|MA|+|MF|的最小值为 2a ? 2 10 ? 10 ? 2 10 . 评注:这个问题是用椭圆第一定义中的数量关系进行转换,使问题化归为几何中求最大 (小)值的基本模式,主要是利用三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边等结论. 演练 2、已知定点 A(2,1) ,F(1,0)是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的一个焦点,P 是椭圆上的点,求|PA|+3|PF|的最小值. m 8
在 l2 上 的 射 影 为 D , 由 椭 圆 第 二 定 义 有

解 : 椭 圆 右 准 线 l 2 : x ? 9. 设

P

1 | PA | ?3 | PF |?| PA | ? | PD | . 过 A 作 AE ? l 2 于 E, 交 椭 圆 于 P3, P3 使 得 ? e ? . ? 3 | PF |?| PD | . ? PD 3
| PA | ? | PD | 达到最小值为 7,此时 P3 坐标为 (
3 14 ,1). 4
5

PF

评析:利用第二定义实现了数据的转化,本小题一般情形“假如题设与本题类同,所求的便是 PA ? (也适合于双曲线、抛物线) 策略二:二次函数法 例 2、求定点 A(a,0)到椭圆

1 | PF | 的最小值 e

x2 y2 ? ? 1 上的点之间的最短距离。 a2 b2
1 2 1 x = ( x ? 2a) 2 +1-a2 由椭圆方程知 x 的取值范围是 2 2

分析:在椭圆上任取一点,由两点间距离公式表示︱PA︱,转化为 x,y 的函数,求最小值。 解:设 P(x,y)为椭圆上任意一点,︱PA︱ =(x-a) +y =(x-a) +1[- 2, 2 ]
2 2 2 2

(1) 若︱a︱≤

2 ,则 x=2a 时︱PA︱min= 1 ? a 2 2

(2) 若 a>

2 ,则 x= 2 时︱PA︱min=︱a- 2 ︱ 2 2 ,则︱PA︱min=︱a+ 2 ︱ 2

(3) 若 a<-

结论 3:椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点 M(x,y)到定点 A(m,0)或 B(0,n)距离的最值问题,可以用两点间距离公式表示︱MA︱ a2 b2

或︱MB︱,通过动点在椭圆上消去 y 或 x,转化为二次函数求最值,注意自变量的取值范围。 策略三:三角函数法

x2 2 例 3、椭圆 2 ? y ? 1 上的点 M(x,y)到直线 l:x+2y=4 的距离记为 d,求 d 的最值。 4
分析:若按例 3 那样 d= 换元。 解:d=

x ? 2y ? 4 5

转化为 x 或 y 的函数就太麻烦了,为了统一变量,可以用椭圆的参数方程,即三角

x ? 2y ? 4 5



? x ? 2 cos? x2 ? y 2 ? 1 ∴令 ? ?? ? R ? 2 4 ? y ? sin ?
=

则 d=

2 cos? ? 2 sin ? ? 4 5

2 5

2 sin(? ?

?
4

)?2

当 sin (? ?

?
4

) =1 时,dmin=

4 5 ? 2 10 , 5

当 sin (? ?

?
4

) =﹣1 时,dmax=

4 5 ? 2 10 5

结论 4:若椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程,统一变量转化 a2 b2
6

为三角函数求最值。

演练 1、求椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 l : x ? 2 y ? 12 ? 0 的最大距离和最小距离. 16 12

解:椭圆

? x ? 4 cos? x2 y2 ? ? 1 的参数方程为 ? (0 ? ? ? 2? ) 则椭圆上任意一点 P 坐标为 P(4 cos? ,2 3 sin? ) ,∴ 16 12 ? y ? 2 3 sin ?
4 cos? ? 4 3 ? 12 5
??1 ? sin(

到直线的距离为 d?

=

8 1 2 3 8 ? 3 cos? ? sin ? ? = sin( ? ? ) ? 2 2 6 2 5 2 5

? 0 ? ? ? 2?

??

11 ? ? ? ? ?? ? 6 6 6

?
6

??) ?1

?当sin(

?
6

? ? ) ? ?1时 , d 取 最 大 值 , 即 d 最大值 ? 4 5 ;

?当 sin(

?
6

? ? ) ? 1时 ,d 取最小值,即 d 最小值 ?

4 5 5

评析: 因为椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 类似于三角中的同角的平方关系 cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ,故经常用三角代换转化为角的 a2 b2

运算,对于解题往往会收到奇效,但一定要注意角的范围. 策略四:判别式法 例 4、椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的点 M(x,y)到直线 l:x+2y=4 的距离记为 d,求 d 的最值。 2 4

分析:把直线平移使其与椭圆相切,有两种状态,一种可求最小值,另一种求最大值。 解。令直线 m:x+2y+c=0 将 x=﹣2y﹣c 代入椭圆方程整理得 8y2+4cy+c2-4=0,由△=0 解得 c=± 2 2 , c=- 2 2 时直 线 m:x+2y- 2 2 =0 与椭圆切于点 P,则 P 到直线 l 的距离为最小值,且最小值就是两平行直线 m 与 l 的距离,所以

dmin=

4 5 ? 2 10 5

c= 2 2 时直线 m:x+2y+ 2 2 =0 与椭圆切于点 Q,则 Q 到直线 l 的距离为最大值,且最大值就是两平行直线 m 与 l

的距离,所以 dmax=

4 5 ? 2 10 。 5

结论 5:椭圆上的点到定直线 l 距离的最值问题,可转化为与 l 平行的直线 m 与椭圆相切的问题,利用判别式求出直 线 m 方程,再利用平行线间的距离公式求出最值。 说明:有些题目可以用几种不同的方法去解决,我们必须清楚它们的最优解法,以便提高做题速度及准确率。

策略五:均值不等式法

7

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到两焦点距离之积为 m,则 m 取最大值时,p 点的坐标是( 例 5、椭圆上 25 9



(A) (5,0)或(? 5, ( , 0)(B)

5 3 3 5 3 3 5 3 3 5 3 3 (0, 3)或(0, ? 3) (D) )或( , ? )(C) ( , )或(? ,) 2 2 2 2 2 2 2 2

评析:因为椭圆第一定义为|PF1|+|PF2|=2a, 2a 为定值,这正符合均值不等式和一定时,积有最大值这个结论.因而由 |PF1|+|PF2|=10, 所以 PF1 ? PF2 ? 2 PF1 ? PF2 轴的端点时,m 最大.选(C) 策略六:数形结合法 ,所以当|PF1|=|PF2|时,|PF1|· |PF2|=m 取最大值,故 P 是短

例 5 已知

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1、F2,在直线 l : x ? y ? 6 ? 0 上找一点 M,求以 F1、F2 为焦点,通过点 M 且点 M 到 9 5

两焦点的距离之和最小时的椭圆方程. y F1 F1’ o F2 x
' M 即为所求, 2a ? F1 F2 ? 4 5 ,c=2, b2=16,所求椭圆为

解:F1(-2,0) 、F2(2,0) ,F1 关于 l 的对称点为 F’1(-6,-4),连接 F’1 、F2 交 l 于点

x2 y2 ? ? 1. 20 16

M

评注:对称是数学美的一个非常重要的方面,充分发掘几何图形的对称性,利用数形结合的思想,可以把复杂的运算 简单化.

8


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