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文函数提高试题答案

文函数提高试题答案

2009 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a ? R (Ⅰ)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (Ⅱ)当 a ?

2 时,求函数 f ( x) 的单调区间与极值。 3

本小题主要考查导数的几何意义、 导数的运算、 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知 识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。 (Ⅰ)解: 当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2 x)e x,故f ' (1) ? 3e. 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 3e
2 2 x (Ⅱ)解: f '( x) ? ? ? x ? (a ? 2) x ? 2a ? 4a ? ?e

由a ? 令 f '( x) ? 0,解得x ? ?2a,或x ? a ? 2.
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, ? 2a ? a ? 2. 3

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
? 2a
0 极大值

x

?? ?, ? 2a?
+ ↗

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2
0 极小值

?a ? 2, ? ??
+ ↗

? 2a), (a ? 2, ? ?) 内事增函数,在 (?2a,a ? 2) 内是减函数。 所以 f ( x) 在 (??,
函数 f ( x) 在 x ? ?2a 处取得极大值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a
a ?2 函数 f ( x) 在 x ? a ? 2 处取得极小值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e .

(2) 若a <

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
a?2
0

x

?? ?,a ? 2?
+

?a ? 2, ? 2a ?


? 2a
0

?? 2a, ? ??
+



极大值



极小值



所以 f ( x) 在 (??,a ? 2), (?2a, ? ?) 内是增函数,在 (a ? 2, ? 2a) 内是减函数。 函数 f ( x) 在 x ? a ? 2 处取得极大值 f (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)ea?2 函数 f ( x) 在 x ? ?2a 处取得极小值 f (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a

2013(I)设函数

f1 ( x) ? x3 ? (a ? 5) x ( x ? 0) , f 2 ( x) ? x 3 ?

a?3 2 x ? ax ( x ? 0) , 2

① f1 '( x) ? 3x2 ? (a ? 5) ,由 a ?? ?2,0? ,从而当 ?1 ? x ? 0 时,

f1 '( x) ? 3x2 ? (a ? 5) ? 3 ? a ? 5 ? 0 ,所以函数 f1 ( x) 在区间 (?1, 0] 内单调递减.
② f2 '( x) ? 3x2 ? (a ? 3) x ? a ? (3x ? a)( x ?1) ,由 于 a ?? ?2,0? ,所以当 0 ? x ? 1 时 , 当 x ? 1 时, f 2 '( x) ? 0 . 即函数 f 2 ( x) 在区间 ?0,1? 内单调递减, 在区间 ?1, ?? ? f 2 '(x )? 0; 内单调递增. 综合①,②及 f1 (0) ? f 2 (0) ,可知函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递减,在区间 ?1, ?? ? 内 单调递增. 2010 本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基 础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. (Ⅰ)解:当 a=1 时,f(x)= x ?
3

3 2 x ? 1 ,f(2)=3;f’(x)= 3x 2 ? 3x , f’(2)=6. 2 1 . a

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9. (Ⅱ)解:f’(x)= 3ax2 ? 3x ? 3x(ax ? 1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x= 以下分两种情况讨论: (1) 若 0 ? a ? 2,则

1 1 ? ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0

X

? 1 ? 0? ?? , ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? 2?
-

f’(x) f(x)

0 极大值

?

?

1 ?5 ? a ? ? 0, f (? ) ? 0, ? ? ? ? 8 ? 1 1? 2 即? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? ? 2 2? ? f ( 1 ) ? 0, ? 5 ? a ? 0. ? 2 ? ? ? 8
解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . (2) 若 a>2,则 0 ?

1 1 ? .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0 0 极大值

X f’(x) f(x)

? 1 ? 0? ?? , ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? a?
-

1 a
0 极小值

?1 1? ? ,? ?a 2?
+

?

?

?

?5 ? a ? 1 >0, f(- )>0, ? ? ? 2 ? 8 ? 1 1? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ? 2 2? ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. ? ? ? a ? 2a 2
解不等式组得

2 2 .因此 2<a<5. ? a ?5或a ? ? 2 2

21.本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值、解不等式等基础知 识,考查综合分析和解决问题的能力.满分 14 分. (Ⅰ)解: f ?( x) ? 4x ? 3ax ? 4x ? x(4 x ? 3ax ? 4) .
3 2 2

当a ? ?

10 时, 3

f ?( x) ? x(4x2 ?10x ? 4) ? 2x(2x ?1)( x ? 2) .
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 0 , x2 ?

1 , x3 ? 2 . 2

当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(?∞, 0)

0 0
极小值

? 1? ? 0, ? ? 2?

1 2
0
极大值

?1 ? 2? ? , ?2 ?

2

(2,∞ ? )

?


?


?


0
极小值

?


? ) 内是增函数,在 (?∞, 0) , ? , 所以 f ( x) 在 ? 0, ? , (2,∞ 2 ? 内是减函数.
2 (Ⅱ)解: f ?( x) ? x(4 x2 ? 3ax ? 4) ,显然 x ? 0 不是方程 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 的根.

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

为使 f ( x) 仅在 x ? 0 处有极值,必须 4 x ? 3ax ? 4 ≥ 0 恒成立,即有 ? ? 9a ? 64 ≤ 0 .
2 2

解此不等式,得 ? ≤ a ≤ .这时, f (0) ? b 是唯一极值. 因此满足条件的 a 的取值范围是 ? ? , ? . 3 3 (Ⅲ)解:由条件 a ?? ?2, 2? 可知 ? ? 9a ? 64 ? 0 ,从而 4 x ? 3ax ? 4 ? 0 恒成立.
2 2

8 3

8 3

? 8 8? ? ?

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 . 因此函数 f ( x) 在 ??11 , ? 上的最大值是 f (1) 与 f (?1) 两者中的较大者. 为使对任意的 a ?? ?2, 2? ,不等式 f ( x) ≤ 1 在 ??11 , ? 上恒成立,当且仅当

? f (1) ≤1, ? ? f (?1) ≤1,

即?

?b ≤ ?2 ? a, ?b ≤ ?2 ? a

在 a ?? ?2, 2? 上恒成立. (21)本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程,函数的极值、解不等式 等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.满分 14 分.
2 3 2 (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x( x ?1) ? ? x ? 2 x ? x ,得 f (2) ? ?2 ,且

f ?( x) ? ?3x2 ? 4x ?1, f ?(2) ? ?5 .
所以,曲线 y ? ? x( x ? 1)2 在点 (2, ? 2) 处的切线方程是 y ? 2 ? ?5( x ? 2) ,整理得

5x ? y ? 8 ? 0 .
(Ⅱ)解: f ( x) ? ? x( x ? a)2 ? ? x3 ? 2ax 2 ? a 2 x

f ?( x) ? ?3x2 ? 4ax ? a2 ? ?(3x ? a)( x ? a) .
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

a 或 x ? a. 3

由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. (1)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x

a? ? ? ?∞, ? 3? ?

a 3
0

?a ? ? ,a ? ?3 ?

a

(a,∞ ? )

f ?( x )

?

?
?a? f ? ? ,且 ?3?

0

?

因此,函数 f ( x) 在 x ?

a 处取得极小值 3

4 ?a? f ? ? ? ? a3 ; 27 ?3?
函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极大值 f ( a ) ,且

f (a) ? 0 .
(2)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x

? ?∞,a?
?

a

? a? ? a, ? ? 3?

a 3
0

?a ? ? ∞? ? , ?3 ?

f ?( x )

0

?

?

因此,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 f ( a ) ,且

f (a) ? 0 ;

函数 f ( x) 在 x ?

a 处取得极大值 3

?a? f ? ? ,且 ?3?

4 ?a? f ? ? ? ? a3 . 27 ?3?
(Ⅲ)证明:由 a ? 3 ,得

a ? 1 ,当 k ???1 , 0? 时, 3

k ? cos x ≤1 , k 2 ? cos2 x ≤1 .
由(Ⅱ)知, f ( x) 在 ? ?∞, 1? 上是减函数,要使 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) , x ? R 只要 k ? cos x ≤ k 2 ? cos2 x( x ? R) 即

cos2 x ? cos x ≤ k 2 ? k ( x ? R)
2 2



1? 1 ? 设 g ( x) ? cos x ? cos x ? ? cos x ? ? ? ,则函数 g ( x) 在 R 上的最大值为 2 . 2? 4 ?
要使①式恒成立,必须 k ? k ≥ 2 ,即 k ≥ 2 或 k ≤ ?1 .
2

所以,在区间 ? ?1 , 0? 上存在 k ? ?1 ,使得 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒 成立.


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