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高中数学 (2.2.2 向量减法运算及其几何意义)教案 新人教A版必修4

2.2.2 向量减法运算及其几何意义 整体设计 教学分析 向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的 减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然 后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平 行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化 为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同 时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的 应用意识. 三维目标 1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反 向量. 2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌 握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量. 重点难点 教学重点:向量的减法运算及其几何意义. 教学难点:对向量减法定义的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向 量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也 有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课. 思路 2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运 算——减法.引导学生去探究、发现. 推进新课 新知探究 提出问题 ①向量是否有减法? ②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念? ③如何理解向量的减法? ④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则? 活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相 反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向 量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个 概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此 a 和-a 互为相反向量. 于是-(-a)=a. 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量,即 a+(-a)=(-a)+a=0. 所以,如果 a、b 是互为相反的向量,那么 a=-b,b=-a,a+b=0. (1)平行四边形法则 图1 如图 1,设向量 AB =b, AC =a,则 AD =-b,由向量减法的定义,知 AE =a+(-b)=a-b. 又 b+ BC =a,所以 BC =a-b. 由此,我们得到 a-b 的作图方法. 图2 (2)三角形法则 如图 2,已知 a、b,在平面内任取一点 O,作 OA =a, OB =b,则 BA =a-b,即 a-b 可以表示为从 b 的终 点指向 a 的终点的向量,这是向量减法的几何意义. 讨论结果:①向量也有减法运算. ②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量. 与数 x 的相反数是-x 类似,我们规定,与 a 长度相等,方向相反的量,叫做 a 的相反向量,记作-a. ③向量减法的定义.我们定义 a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 规定:零向量的相反向量是零向量. ④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形 结合思想的重要体现. 提出问题 ①上图中,如果从 a 的终点到 b 的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量 a、b 的方向使 a∥b,怎样作出 a-b 呢? 讨论结果:① AB =b-a. ②略. 应用示例 如图 3(1),已知向量 a、b、c、d,求作向量 a-b,c-d. 图3 活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根 据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量. 作法:如图 3(2),在平面内任取一点 O,作 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d.则 BA =a-b, DC =c-d. 变式训练 (2006 上海高考) 在 ABCD 中,下列结论中错误的是( ) A. AB = DC B.AD+ AB = AC C. AB -AD=BD D.AD+ BC =0 分析:A 显然正确,由平行四边形法则可知 B 正确,C 中, AB - AD = BD 错误,D 中, AD + BC = AD + DA =0 正确. 答案:C 例 2 如图 4, ABCD 中, AB =a, AD =b,你能用 a、b 表示向量 AC 、 DB 吗? 图4 活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注 意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系. 解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道 AC =a+b, 同样,由向量的减法,知 DB = AB - AD =a-b. 变式训练 1.(2005 高考模拟) 等于( ) A.a+b+c 已知一点 O 到 B.a-b+c ABCD 的 3 个顶点 A、B、C 的向量分别是 a、b、c,则向量 OD C.a+b-c D.a-b-c 图5 解析:如图 5,点 O 到平行四边形的三个顶点 A、B、C 的向量分别是 a、b、c, 结合图形有 OD = OA + AD = OA + BC = OA + OC - OB =a-b+c. 答案:B 2.若 AC =a+b, DB =a-b. ①当 a、b 满足什么条件时,a+b 与 a-b 垂直? ②当 a、b 满足什么条件时,|a+b|=|a-b|? ③当 a、b 满足什么条件时,a+b 平分 a 与 b 所夹

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