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高一数学 1.3.1《函数的单调性》教案(新人教A版必修1)


§1.3.1 函数的单调性
一、三维目标 1、知识与技能: (1)建立增(减)函数的概念 通过观察一些函数图象的特征,形成增(减)函数的直观认识. 再通过具体函 数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,由此得出增(减)函数单调 性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。 (2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生 通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛。 2、过程与方法 (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性. 3、情态与价值,使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学习 函数的紧迫感. 二、教学重点与难点 重点:函数的单调性及其几何意义. 难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 三、学法与教学用具 1、从观察具体函数图象引入,直观认识增减函数,利用这定义证明函数单调性。通过练 习、交流反馈,巩固从而完成本节课的三维目标。 2、教学用具:投影仪、计算机. 四、教学思路: (一)创设情景,揭示课题 1. 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 -1 -1 y 1 (2)f(x) = -x+2 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ -1 -1 y 1 -1 -1 1 x
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y 1 1 x

1 随 x 的增大,y 的值有什么变化? ○ 2 能否看出函数的最大、最小值? ○ 3 函数图象是否具有某种对称性? ○ 2. 画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ .

1

x

1

x

大,f(x)的值随着 ________ . (3)f(x) = x2 1 在区间 ____________ 上, ○ f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ . 3、从上面的观察分析,能得出什么结论? 学生回答后教师归纳:从上面的观察分析可以看出:不同的函数,其图象的变 化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数性 质的反映,这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性(引出课题) 。 (二)研探新知 2 1、y = x 的图象在 y 轴右侧是上升的,如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢? 学生通过观察、思考、讨论,归纳得出: 2 函数 y = x 在(0,+∞)上图象是上升的,用函数解析式来描述就是:对于(0,+∞) 2 2 上的任意的 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 x1 <x2 . 即函数值随着自变量的增大而增大,具有这 种性质的函数叫增函数。 2.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2, 当 x1<x2 时, 都有 f(x1)<f(x2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) . 3、从函数图象上可以看到,y= x2 的图象在 y 轴左侧是下降的,类比增函数的定义,你能 概括出减函数的定义吗? 注意:
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○ 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) . ○

4.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间 具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: (三)质疑答辩,发展思维。 根据函数图象说明函数的单调性. 例 1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单 调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

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解:略 例 2 物理学中的玻意耳定律 P=

k (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其 V k 在区间(0,+∞)上是减函数即可。 V

体积 V 减少时,压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。 分析:按题意,只要证明函数 P=

证明:略 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . 巩固练习: 1 课本 P38 练习第 1、2、3 题; ○
2 证明函数 y ? x ? ○

1 在(1,+∞)上为增函数. x

例 3.借助计算机作出函数 y =-x2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间. 解: (略) 思考:画出反比例函数 y ?

1 的图象. x

1 这个函数的定义域是什么? ○ 2 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论. ○ (四)归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 (五)设置问题,留下悬念 1、教师提出下列问题让学生思考: ①通过增(减)函数概念的形成过程,你学习到了什么? ②增(减)函数的图象有什么特点?如何根据图象指出单调区间? ③怎样用定义证明函数的单调性? 师生共同就上述问题进行讨论、交流,发表自己的意见。

-3-



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