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2015高三数学(理)周练十二

亭湖高级中学 2015 届高三数学周练十二
命题:王晓阳 审核:张卫国 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 ........ 上 . . 1.已知复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A(l,2) ,B(-1,3) ,则

z2 ? z1





2.已知射手甲射击一次,命中 9 环以上(含 9 环)的概率为 0.5,命中 8 环的概率为 0.2, 命中 7 环的概率为 0.1,则甲射击一次,命中 6 环以下(含 6 环) 的概率为 ▲ .

3.已知集合 A ? ? ?1, ? , B ? x mx ? 1 ? 0 ,若 A ? B ? B ,则所有实数 m 组成的集合是 ▲ .

? ?

1? 2?

?

?

4.已知 f ( x) ? ?

?cos?x, x ? 0 4 ,则 f ( ) 的值为 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0





5.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在 8,10? 内的频数为 ▲ .

?

6.若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为 7.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的 中点,则 AE ? BD ? 8.设 x, y 均为正实数,且 9.已知方程 x +
2





▲ . ▲ .

3 3 ? ? 1,则 xy 的最小值为 2? x 2? y

x 1 2 2 - =0 有两个不等实根 a 和 b ,那么过点 A(a, a ), B(b, b ) 的直 tan ? sin?
1

线与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系是





10. 若动直线 x ? a(a ? R) 与函数 f ( x) ? 3 sin( x ? 于 M , N 两点,则 | MN | 的最大值为 11 . 设 数 列 {an } 的 首 项 a1 ? ▲ .

?

)与g ( x) ? cos( x ? ) 的图象分别交 6 6

?

3 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 2 18 S 8 2an ?1 ? Sn ? 3 ( n ? N * ) .则满足 ? 2 n ? 的所有 n 的和 17 Sn 7

2 2

y

A



B

x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、 2 a b 右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线 C 的两支分别交于点 A , B , 若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心率为 .
12.如图, F1 , F2 是双曲线

F1

O

F2

x

13.如图,有一矩形地块 ABCD,其相邻边长为 20 m 和 50 m ,现要在它的短边与长边上各 取一点 P 与 Q, 用周长为 80 m 的篱笆围出一块直角三角形 的花园,则围出部分的最大面积为_________ m .
2

D P

C

14 .已知函数

f ( x) ?

4x ? k ? 2x ? 1 ,若对任意的实数 4x ? 2x ? 1

A

Q

B

x1 , x2 , x3 ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 恒成立,则实数
k 的取值范围是
. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围.

1 c?b. 2

16.已知点 A(?2,0), B(2,0), 点 C , D 依次满足 AC ? 2 , AD ? (1)求点 D 的轨迹;

1 AB ? AC . 2

?

?

(2)过点 A 作直线 l 与以 A, B 为焦点的椭圆交于 M , N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距 离为

4 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程 5
2

17. (本题满分 14 分) 如图, A, B 为相距 2km 的两个工厂,以 AB 的中点 O 为圆心,半径为 2km 画圆弧。MN 为 圆弧上两点,且 MA ? AB, NB ? AB ,在圆弧 MN 上一点 P 处建一座学校。学校 P 受工 厂 A 的噪音影响度与 AP 的平方成反比,比例系数为 1,学校 P 受工厂 B 的噪音影响度 与 BP 的平方成反比,比例系数为 4 。学校 P 受两工厂的噪音影响度之和为 y ,且设

AP ? xkm 。
(1)求 y ? f ( x) ,并求其定义域; (2)当 AP 为多少时,总噪音影响度最小?
N P M

B

O

A

18. (本题满分 16 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) P (2, n) ,Q(2,?n) 是椭圆 C 上两个定点,A、B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧的动点。 ① 若直线 AB 的斜率为

1 ,短轴长为 4 3 。 2

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大值; 2

② 当 A、B 两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ 时,直线 AB 的斜率是否为定值, 说明理由。 y

P B O Q x

A

3

19. (本题满分 16 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn , S3 ? 7, a1 ? 3,3a2 , a3 ? 4 成等差数列,数 列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,其中 n ? N * 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的通项公式; , 求集合 C 中所有元素之和。

(3) 设 A ?? a1 a , 2, , a0 B ?1 b ,?2 , , b0 C A ? ? ? b ? B 1 , 4 ,

20. (本题满分 16 分) 已知函数 g ( x) ? (2 ? a)ln x , h ? x ? =ln x ? ax (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 ?3 ? a ? ?2 时,若存在 ?1,?2 ? ?1,3? , 使得
2

(a ? R) 令 f ? x ? ? g ? x ? ? h? ? x ?

.

f ? ?1 ? ? f ? ?2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 成立,求 m 的取值范围.

亭湖高级中学 2015 届高三数学周练十二(答案)
4

命题:王晓阳

审核:张卫国

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位置 ........ 上 . . 1.已知复数 z1,z2 在复平面上对应的点分别为 A(l,2) ,B(-1,3) ,则

z2 ? z1





答案:1+i 2.已知射手甲射击一次,命中 9 环以上(含 9 环)的概率为 0.5,命中 8 环的概率为 0.2, 命中 7 环的概率为 0.1,则甲射击一次,命中 6 环以下(含 6 环)的概率为 答案:0.2 3.已知集合 A ? ? ?1, ? , B ? x mx ? 1 ? 0 ,若 A ? B ? B ,则所有实数 m 组成的集合是 ▲ . ▲ .

? ?

1? 2?

?

?

答案: ?0, ?1, 2? 4.已知 f ( x) ? ? 答案:

?cos?x, x ? 0 4 ,则 f ( ) 的值为 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x ? 0





3 2

5.有一个容量为 200 的样本,其频率分布直方图如图所示,据图估计,样本数据在 8,10? 内的频数为 ▲ .答案: 76

?

6.若“ x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为 答案: ?1
5





7.已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的 中点,则 AE ? BD ? 答案:2 8.设 x, y 均为正实数,且 答案:16 9.已知方程 x 2 +

▲ .

3 3 ? ? 1,则 xy 的最小值为 2? x 2? y





x 1 - =0 有两个不等实根 a 和 b ,那么过点 A(a, a2 ), B(b, b2 ) 的直 tan ? sin?
▲ .

线与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系是 答案:相切

10. 若动直线 x ? a(a ? R) 与函数 f ( x) ? 3 sin( x ? 于 M , N 两点,则 | MN | 的最大值为 答案:2 11 . 设 数 列 {an } 的 首 项 a1 ? ▲ .

?

)与g ( x) ? cos( x ? ) 的图象分别交 6 6

?

3 , 前 n 项 和 为 Sn , 且 满 足 2 18 S2 n 8 2an ?1 ? Sn ? 3 ( n ? N * ) . 则 满 足 ? ? 的所有 n 的和 17 Sn 7


y

A

为 答案:7

B

x2 y2 12.如图, F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 a b 的直线 l 与双曲线 C 的两支分别交于点 A , B ,若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的离心
率为 答案: 7 13.如图,有一矩形地块 ABCD,其相邻边长为 20 m 和 50 m ,现要在它的短边与长边上各 取一点 P 与 Q, 用周长为 80 m 的篱笆围出一块直角三角形的 花园,则围出部分的最大面积为__________ m . 答案:
800 2 m 3
2

F1

O

F2

x



D P

C

4x ? k ? 2x ? 1 14 . 已 知 函 数 f ( x) ? ,若对任意的实数 4x ? 2x ? 1

A

Q

B

x1 , x2 , x3 ,不等式 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 恒成立,则实数 k 的取值范围是
6



答案: [? , 4]

1 2

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分 14 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C ? (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 ?ABC 的周长的取值范围. 解(Ⅰ)由 a cos C ?

1 c?b. 2

1 1 c ? b 得 sin A cos C ? sin C ? sin B 2 2

…………2 分

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C

1 1 …………4 分 ? sin C ? ? cos A sin C , sin C ? 0,? cos A ? ? 2 2 2? 又 0? A?? ?A? …………7 分 3
(Ⅱ)由正弦定理得: b ?

a sin B 2 2 ? sin B , c ? sin C sin A 3 3

l ? a ? b ? c ? 1?

2 2 ? sin B ? sin C ? ? 1 ? ? sin B ? sin ? A ? B ? ? 3 3

? 1?
A?

2 1 3 2 ? ( sin B ? cos B) ? 1 ? sin( B ? ) …………10 分 2 3 3 2 3
2? ? ? ? 2? ,? B ? (0, ),? B ? ? ( , ) , …………12 分 3 3 3 3 3

? 3 ? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 2
故 ?ABC 的周长的取值范围为 (2,

2 3 ? 1] . …………14 分 3
1 AB ? AC . 2

16.已知点 A(?2,0), B(2,0), 点 C , D 依次满足 AC ? 2 , AD ? (1)求点 D 的轨迹;

?

?

(2)过点 A 作直线 l 与以 A, B 为焦点的椭圆交于 M , N 两点,线段 MN 的中点到 y 轴的距 离为

4 ,且直线 l 与点 D 的轨迹相切,求该椭圆的方程. 5
7

解 :( 1 ) 设 C ? xc , yc ? , D ? x, y ? , 则 AC ? ? xc ? 2, yc ? , AB ? ? 4,0 ? ,

AD ? ? x ? 2, y ? . …………2 分

由 AD ?

? xc ? 2 x ? 2 1 y ? ?x AB ? AC ,得 ? c ? 3, c ? ? ? x ? 2, y ? . 即 ? , 2 2? ?2 ? yc ? 2 y

?

?

代入 AC ? ? xc ? 2 ? ? yc ? 4, 得 x2 ? y 2 ? 1. …………6 分
2 2

2

故点 D 的轨迹是以原点为圆心,1 为半径的圆. …………7 分 (2)根据题意知,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2? ① 由题意设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1? a 2 ? 4 ? ② 2 2 a a ?4
1 ? 1 ,解得 k 2 ? . …………8 分 3 1? k 2

由直线 l 与圆相切得

2k

2 2 2 将①代入②得 a ? 3 x ? a x ?

?

?

3 4 a ? 4a 2 ? 0 ,…………10 分 4

设点 M 的坐标为 ? x1 , y1 ? ,点 N 的坐标为 ? x2 , y2 ? , 由 根与 系数 的关 系得 x1 ? x2 ? ?

a2 4 , 又 线 段 MN 的 中点 到 y 轴 的距 离为 , 所 以 2 5 a ?3

a2 8 8 x1 ? x2 ? , 即 ? 2 ? ? 解得 a 2 ? 8. …………12 分 5 a ?3 5
则椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. …………14 分 8 4

17. (本题满分 14 分) 如图, A, B 为相距 2km 的两个工厂,以 AB 的中点 O 为圆心,半径为 2km 画圆弧。MN 为 圆弧上两点,且 MA ? AB, NB ? AB ,在圆弧 MN 上一点 P 处建一座学校。学校 P 受工 厂 A 的噪音影响度与 AP 的平方成反比,比例系数为 1,学校 P 受工厂 B 的噪音影响度 与 BP 的平方成反比,比例系数为 4 。学校 P 受两工厂的噪音影响度之和为 y ,且设

AP ? xkm 。
8

(1)求 y ? f ( x) ,并求其定义域; (2)当 AP 为多少时,总噪音影响度最小?
N

P M

解: (Ⅰ)连接 OP,设 在△AOP 中,由余弦定理得 在△BOP 中,由余弦定理得 分 ∴ ,则



,……….2 分 ,
B O A

,…………4

,…………….6 分



,则

,∴

,∴



∴ (Ⅱ)令 ∴

。………………………………8 分 , ,…………………………..10 分



,得

或 t=-10(舍去) ,………………..12 分



,函数在

上单调递减;



,函数在

上单调递增;……………………

∴当

时,即

时,函数有最小值,也即当 AP 为

(km)时, “总噪音影响

度”最小.……………………………………………………………14 分 18. (本题满分 16 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为
9

1 ,短轴长为 4 3 。 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) P (2, n) ,Q(2,?n) 是椭圆 C 上两个定点,A、B 是椭圆 C 上位于直线 PQ 两侧的动点。 ① 若直线 AB 的斜率为 y

1 ,求四边形 APBQ 面积的最大 2

P B O Q x

值; ② 当 A、 B 两点在椭圆上运动, 且满足∠APQ=∠BPQ 时, 直线 AB 的斜率是否为定值,说明理由。 解: (Ⅰ)设 C 方程为 由 已 知

A

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b
b=

2

2

2 3







e?

c 1 2 ? , a ? b 2 ? c 2 ………………(2 分) a 2
得a ? 4

x2 y2 ? ? 1 ………………(4 分) 所以,椭圆 C 的方程为 16 12
(Ⅱ)①由(Ⅰ)可求得占 P、Q 的坐标为 P(2,3) , Q(2,?3) ,则 | PQ |? 6 , 设 A ?x1 , y1 ?, B( x2 , y2 ),直线 AB 的方程为 y ?

x2 y2 1 x ? t ,代人 ? ?1 2 16 12

2 2 得 x ? tx ? t ? 12 ? 0 由△>0,解得 ? 4 ? t ? 4 ,由根与系数的关系得

? x1 ? x 2 ? ?t 四边形 APBQ 的面积 ? 2 ? x1 x 2 ? t ? 12
S? 1 ? 6 ? x1 ? x 2 ? 3 48 ? 3t 2 ………………(8 分) 2

故,当 t ? 0, S max ? 12 3 ………………(10 分) ②∠APQ=∠BPQ 时,PA、PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k , 则 PB 的斜率为 ? k ,

x2 y2 ? ? 1 联立解得 PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) 与 16 12

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0 ,
10

x1 ? 2 ?

8(2k ? 3)k ………………(12 分) 3 ? 4k 2 8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2

同理 PB 的直线方程 y ? 3 ? ?k ( x ? 2) ,可得 x 2 ? 2 ? 所以 x1 ? x 2 ?

16k 2 ? 12 ? 48k , x1 ? x2 ? ………………(14 分) 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x2 ? 2) ? 3 ? x1 ? x2 x1 ? x2

16k 3 ? 12k ? 12k ? 16k 3 k ( x1 ? x2 ) ? 4k ? 24k 1 3 ? 4k 2 ? ? ? ? ? 48k x1 ? x2 ? 48k 2 3 ? 4k 2
所以直线 AB 的斜率为定值

1 ………………(16 分) 2

19. (本题满分 16 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 ,前 n 项和为 Sn , S3 ? 7, a1 ? 3,3a2 , a3 ? 4 成等差数列,数 列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,6Tn ? (3n ? 1)bn ? 2 ,其中 n ? N 。
*

(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)求数列 ?bn ? 的通项公式; , 求集合 C 中所有元素之和。

(3) 设 A ?? a1 a , 2, , a0 B ?1 b ,?2 , , b0 C A ? ? ? b ? B 1 , 4 ,

11

20. (本题满分 16 分) 已知函数 g ( x) ? (2 ? a)ln x , h ? x ? =ln x ? ax (Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ) 当 a ? 0 时,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 ?3 ? a ? ?2 时,若存在 ?1,?2 ? ?1,3? , 使得
2

(a ? R) 令 f ? x ? ? g ? x ? ? h? ? x ?

.

f ? ?1 ? ? f ? ?2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 成立,求 m 的取值范围.
1 ? 2ax x 1 ? 2ax 其定义域为 (0, ??) . x
1 2 1 2x ?1 , f ?( x ) ? ? 2 ? . x x x x2
……………2 分

解: (Ⅰ)依题意, h? ? x ? =

所以 f ? x ? ? ? 2 ? a ? ln x ?

当 a ? 0 时, f ( x) ? 2 ln x ? 令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x ? 当0 ? x ?

1 2

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . 2 2

+? ? ; 所以 f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? ,单调递增区间是 ? ,

? ?

1? 2?

?1 ?2

? ?

12

所以 x ?

1 时, f ? x ? 有极小值为 2
2

?1? f ? ? ? 2 ? 2 ln 2 ,无极大值 ……………4 分 ?2?

1 a (2 x ? 1)( x ? ) 2ax ? (2 ? a) x ? 1 2?a 1 a ? ? 2 ? 2a ? (Ⅱ) f ( x) ? ? ? x ? 0? ………6 分 x x x2 x2 1 1 1 1 当 ?2 ? a ? 0 时, ? ? ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? ? , a 2 a 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ? ; 2 a
当 a ? ?2 时, f ?( x) ? ? 当 a ? ?2 时, ?

(2 x ? 1) 2 ? 0. x2

1 1 1 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? 或 x ? , a 2 a 2 1 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? ; a 2

综上所述:

+? ? , 当 ?2 ? a ? 0 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, ? , ? ? , ? 单调递增区间是 ? , ?1 ?2 1? ?; a?

? ?

1? 2?

? 1 ? a

? ?

当 a ? ?2 时, f ? x ? 的单调递减区间是 ? 0, +?? ;

? 当 a ? ?2 时 , f ? x ? 的 单 调 递 减 区 间 是 ? 0, ? 1 1? ? ? , ? ……………………10 分 ? a 2?

? ?

1? ?1 ? +? ? , 单 调 递 增 区 间 是 ?,? , a? ?2 ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当 ?3 ? a ? ?2 时, f ( x ) 在 ?1,3? 单调递减. 所以 f ( x)max ? f (1) ? 2a ? 1; f ( x) min ? f (3) ? (2 ? a) ln 3 ? 所以 f

1 ? 6a . 3

? ?1 ? ? f ? ?2 ? max ? f ?1? ? f ? 3? ? (1 ? 2a) ? ? ?(2 ? a) ln 3 ?
?
………12 分

1 ? ? 6a ? 3 ?

?

2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3. 3

因为存在 ?1,?2 ? ?1,3? ,使得 f

? ?1 ? ? f ? ?2 ? ? ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 成立,
13

所以 ? m ? ln 3? a ? 2 ln 3 ?

2 ? 4a ? ( a ? 2) ln 3 , 3
……………………14 分

整理得 ma ?

2 ? 4a . 3 2 ?4 , 3a

又 a ? 0 所以 m ?

又因为 ?3 ? a ? ?2 ,得 ?

1 2 2 ? ?? , 3 3a 9
………………16 分

所以 ?

38 13 2 38 ? ? 4 ? ? ,所以 m ? ? . 9 3 3a 9

14


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