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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 2.4正态分布教案 新人教版选修2-3


§2.4 正态分布
教学目标: 知识与技能:掌握正态分布在实际生活中的意义和作用 。 过程与方法:结合正态曲线,加深对正态密度函数的理理。 情感、态度与价值观:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质 。 教学重点:正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N(0,1) 。 教学难点:通过正态分布的图形特征,归纳正态曲线的性质。 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教学过程: 一、复习引入: 总体密度曲线:样本容量越大,所分组数越多,各组的频率就越接近于总体在相应各组 取值的概率.设想样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限 接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线.
频率/组距

总体密度曲线

单位
O

a

b

它反映了总体在各个范围内取值的概率.根据这条曲线,可求出总体在区间(a,b)内取 值的概率等于总体密度曲线,直线 x=a,x=b 及 x 轴所围图形的面积. 观察总体密度曲线的形状,它具有“两头低,中间高,左右对称”的特征,具 有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示:
? 1 ?? ,? ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

, x ? (??, ??)

式 中 的 实 数 ? 、 ? (? ? 0) 是 参 数 , 分 别 表 示 总 体 的 平 均 数 与 标 准 差 , ?? ,? ( x) 的 图 象 为正态分布密度曲线 , 简称正态曲线. 二、讲解新课: 1、一般地,如果对于任何实数 a ? b ,随机变量 X 满足

P(a ? X ? B) ? ? ?? ,? ( x)dx ,
a

b

则 称 X 的 分 布 为 正 态 分 布 ( normal distribution ) .正态分布完全由参数 ? 和 ? 确定, 因此正态分布常记作 N (? , ? ) .如果随机变量 X 服从
2

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正态分布,则记为 X~ N (? , ? 2 ) . 经验表明,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之 和,它就服从或近似服从正态分布.例如,高尔顿板试验 中,小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞,每次碰 撞的结果使得小球随机地向左或向右下落,因此小球第 1 次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结 果,所以它近似服从正态分布.在现实生活中,很多随机 变量都服从或近似地服从正态分布.例如长度测量误差; 某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等;一定条件 下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等;正常生产 条件下各种产品的质量指标(如零件的尺寸、纤维的纤度、 电容器的电容量、电子管的使用寿命等) ;某地每年七月份 的平均气温、 平均湿度、 降雨量等; 一般都服从正态分布. 因 此,正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中.正态分布在概率和统计中占有重 要的地位. 2.正态分布 N (? , ? 2 ) )是由均值μ 和标准差σ 唯一决定的分布 通过固定其中一个值,讨论均值与标准差对于正态曲线的影响

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3.通过对三组正态曲线分析,得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正 态曲线的作图,书中没有做要求,教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板,形象、美 观地画出三条正态曲线的图形,结合前面均值与标准差对图形的影响,引导学生观察总结正 态曲线的性质 4.正态曲线的性质: (1)曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交 (2)曲线关于直线 x=μ 对称 (3)当 x=μ 时,曲线位于最高点 (4)当 x<μ 时,曲线上升(增函数) ;当 x>μ 时,曲线下降(减函数)并且当曲线向 左、右两边无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近 (5)μ 一定时,曲线的形状由σ 确定 σ 越大,曲线越“矮胖” ,总体分布越分散; σ 越小.曲线越“瘦高” .总体分布越集中: 五条性质中前三条学生较易掌握,后两条较难理解,因此在讲授时应运用数形结合的原 则,采用对比教学 5.标准正态曲线:当μ =0、σ =l 时,正态总体称为标准正态总体,其相应的函数表示式是

f ( x) ?

1 2?

e

?

x2 2

, (-∞<x<+∞)

其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体 N(0,1)在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均 可转化成标准正态分布的概率问题 三、讲解范例: 例 1.给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ 和标准差σ (1) f ( x) ?

1 2? 1

e

?

x2 2

, x ? (??,??)

(2) f ( x) ?

2 2?

e

?

( x ?1) 2 8

, x ? (??,??)

(3) f ( x) ?

2 ?2( x ?1)2 e , x ? (??, ??) 2?
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答案:(1)0,1;(2)1,2;(3)-1,0.5 例 2 求标准正态总体在( -1 , 2 )内取值的概率. 解:利用等式 p ? ?( x2 ) ? ?( x1 ) 有

p ? ?(2) ? ?(?1) ? ?(2) ? ? 1 ? ??? ?? 1

?? ?

= ?(2) ? ?(1) ? 1 =0.9772 + 0.8413 - 1=0.8151 .

四、课后作业: 习题 2. 4 A 组 1 , 2 B 组 1 , 2 五、教学反思: 1.在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布在上一节课我们研究了当样本 容量无限增大时,频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线,总体密度曲线较科学地 反映了总体分布但总体密度曲线的相关知识较为抽象,学生不易理解,因此在总体分布研究 中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布

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