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2013石景山高三4月一模 数学 文科


北京市石景山区 2013 届高三统一测试

数学(文)试题
本试卷共 150 分,考试时长 120 分钟,请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后上交答题 卡.

第Ⅰ (选择题共 40 分) 卷
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.设集合 M= {x|x2≤4),N={x|log2 x≥1},则 M ? N 等于( ) A. [-2,2] B.{2} C.[2,+ ? ) D. [-2,+ ? ) 2 2.若复数(a-i) 在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上,则实数 a 的值是( ) A. 1 B.-1 C. 2 D.- 2

3.将一颗骰子掷两次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 m,第二次出现的点数为 n,向量 p =(m,n),

??

? ?? ? q =(3,6),则向量 p 与 q 共线的概率为(
1 3 1 C. 6
A.



1 4 1 D. 12
B. )

4.执行右面的框图,输出的结果 s 的值为( A.-3 B.2 C. ?

1 2

D.

1 3


5.设 a∈ R,则“a=l”是“直线 l1:ax+2y=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.函数 y= 2sin( x ? A.0 C.-1

?

3

)(0≤x≤ ? )的最大值与最小值之和为( B.2 ? 3 D.-l ? 3 )



7.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱长度是( A. 13 C.5 B. 2 2 D. 29

8.若直角坐标平面内的两点 p、Q 满足条件:① p、Q 都在函数 y=f(x)的图像上;② p、Q 关于原点对称,则称点 对[P,Q]是函数 y=f(x)的一对“友好点对”(注:点对[P,Q]与[Q,P]看作同一对“友好点对”). 已知函数 f(x)= ? A. 0

?1og 2 x( x ? 0)
2 ?? x ? 4 x( x ? 0)

,则此函数的“友好点对”有( C.2

)对. D. 3

B. 1

第Ⅱ (非选择题共 110 分) 卷
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.函数 f(x)=(x-a)(x+2)为偶函数,则实数 a= 10.在△ABC 中,若∠ B= 。 。

? ,b= 2a ,则∠ C= 4

11.在等差数列{an}中,al=-2 013,其前 n 项和为 Sn,若

S12 S10 ? =2,则 S2013 的值等于 12 10



12. 设抛物线 y2= 4x 的焦点为 F, 其准线与 x 轴的交点为 Q, 过点 F 作直线 l 交抛物线于 A、 两点, B 若∠ AQB=90o, 则直线 l 的方程为 。
[来源:Zxxk.Com]

13. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB= 2, BC =2, E 为 BC 的中点, F 在边 CD 上, AB · = 2 , AE · 点 点 若 则 AF BF 的值是____ 14.观察下列算式: l3 =1, 23 =3+5, 33 = 7+9+11, 43 =1 3 +15 +17 +19 ,
[来源:学科网 ZXXK]

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?



………… 若某数 n3 按上述规律展开后,发现等式右边含有“2013”这个数,则 n= 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数 f(x)=sin(2x+



? )+cos 2x. 6

(Ⅰ )求函数 f(x)的单调递增区间。 (Ⅱ )在△ABC 中,内角 A 、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A)=

? 3 ,a=2,B= ,求△ABC 的面积. 3 2

16.(本小题满分 13 分)

PM2.5 指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.PM2.5 日均值在 35 微克/立 方米以下空气质量为一级:在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级;在 75 微克/立方米 以上空气质量为超标.石景山古城地区 2013 年 2 月 6 日至 I5 日每天的 PM2.5 监测数据如茎叶图所示. (Ⅰ )计算这 10 天 PM2.5 数据的平均值并判断其是否超标: (Ⅱ )小陈在此期间的某天曾经来此地旅游,求当天 PM2.5 日均监测数据未超标的概率 : (III)小王在此期间也有两天经过此地,这两天此地 PM2.5 监测数据均未超标.请计算出这两天空气质量恰 好有一天为一级的概率.
[来源:学科网 ZXXK]

17.(本小题满分 14 分) 如图,在 底面为直角梯形的四棱锥 P-ABCD 中,AD∥ BC,∠ ABC=90o,PD⊥ 平面 ABCD,AD =1,AB= 3 , BC =4。 (I)求证:BD⊥ PC; (II)设 AC 与 BD 相交于点 D,在棱 PC 上是否存在点 E,使得 OE∥ 平面 PAB? 若存在,确定点 E 位置。

18.(本小题满分 14 分)

已知函数 f(x)=ax-1-1n x,a ? R. (I)讨论函数 f(x)的单调区间: (II)若函数 f(x)在 x=l 处 取得极值,对 ? x∈ (0,+ ? ),f(x)≥bx-2 恒成立,求实数 b 的取值范围.

19.(本小题满分 13 分)

设椭圆 C:

1 x2 y 2 (a>b>0) 的左、 右焦点分别为 F1、 2, F 离心率为 ,左焦点 F1 到直线 l :x ? 3 y ? 3 ? 0 ? 2 =1 2 2 a b

的距离等于长半轴长. (I)求椭圆 C 的方程; (II)过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M、N 两点,线段 MN 的中垂线与 x 轴相交于点 P(m, O),求实数 m 的取值范围。

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

20.(本小题满分 13 分)

给定有限单调递增数列{xn}(n∈ *,n≥2)且 xi≠0(1≤ i ≤n),定义集合 A={(xi,xj)|1≤i,j≤n,且 i,j∈ *}.若 N N 对任意点 A1∈ A,存在点 A2∈ 使得 OA1⊥ 2(O 为坐标原点),则称数列{xn}具 有性质 P。 A OA (I)判断数列{xn}:-2,2 和数列{yn}:-2,-l ,1,3 是否具有性质 P,简述理由。 (II)若数列{xn}具有性质 P ,求证: ① 数列{xn}中一定存在两项 xi,xj 使得 xi+xj =0: ② x1=-1, xn>0 且 xn>1,则 x2=l。 若
[来源:Zxxk.Com]



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