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高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2

1.4 两条直线的交点 目标导航 预习引导 学习目标 1.会判断给定的两条直线的位置关系. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.能用求交点坐标的方法解决直线过定点、 三条直线交于一点等 问题. 重点:求两条相交直线的交点坐标,直线过定点问题的处理方法. 难点:两直线相交与二元一次方程的关系. 重点难点 目标导航 预习引导 两条直线的交点 (1)设两条不重合的直线方程为 l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0. 要判断它们是否平行,即看它们的斜率是否相等,如果不等,则两直 线相交. (2)两条直线相交,交点一定同时在这两条直线上,交点坐标是这两 个方程组成的方程组的唯一解;反之,如果这两个二元一次方程组成的 方程组只有一个解,那么以这个解为坐标的点,必是两条直线的交点,因 此求两条直线的交点,就是求这两个直线方程的公共解. 目标导航 预习引导 预习交流 1 由两条直线的方程组成的方程组的解与两条直线的位置有什么关 系? 提示:设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0,则当方程组 1 x + 1 y + 1 = 0, 无解时,l1∥l2;方程组有唯一解时,l1 与 l2 相交;方程 2 x + 2 y + 2 = 0 组有无穷多解时,l1 与 l2 重合. 目标导航 预习引导 预习交流 2 若直线 l1:A1x+B1y+C1=0,直线 l2:A2x+B2y+C2=0,当两条直线相交于 点 P(x0,y0)时,试判断直线(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中 λ∈R) 是否经过点 P. 提示:经过.因为 l1 与 l2 交于 P(x0,y0),所以 A1x0+B1y0+C1=0, A2x0+B2y0+C2=0,于是(A1x0+B1y0+C1)+λ(A2x0+B2y0+C2)=0+λ×0=0,故直 线(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=0 必过点 P,该方程就是经过两相交直 线交点除 l2 外的直线系方程. 问题导学 当堂检测 1.两条直线的相交判断及交点坐标问题 活动与探究 例 1(1)判断直线 l1:2x-y+4=0 与 l2:x-y+5=0 是否相交?若相 交,求出它们的交点坐标. (2)若直线 5x+4y-2m-1=0 与 2x+3y-m=0 的交点在第四象限,求 m 的 取值范围. 思路分析:(1)分析比较两条直线的斜率关系,若两斜率不相等,则它 们相交,然后解方程求得交点坐标; (2)先通过解方程组求出交点坐标,然后令横坐标大于零,纵坐标小 于零,建立关于 m 的不等式组求得 m 的取值范围. 问题导学 当堂检测 解:(1)由于1 =2,2 =1,1 ≠ 2 , ∴ 两直线相交. 2- + 4 = 0, = 1, 解方程组 得 = 6. - + 5 = 0, ∴ 两条直线的交点坐标为(1,6). (2)由方程组 5 + 4-2-1 = 0, 解得 2 + 3- = 0, 2+3 -2 , 7 7 2+3 = , 7 -2 = . 7 ∴ 两条直线的交点坐标为 . ∵ 此交点在第四象限,∴ 3 2 2+3 > 0, 7 -2 < 0, 7 解得- <m<2.故所求 m 的取值范围是 - ,2 . 3 2 问题导学 当堂检测 迁移与应用 1.直线 3x+5y-1=0 与 4x+3y-5=0 的交点是( A.(-2,1) C.(2,-1) B.(-3,2) D.(3,-2) ) = 2, 3 + 5-1 = 0, 解析:由 得 = -1. 4 + 3-5 = 0, ∴ 交点为(2,-1). 答案:C 问题导学 当堂检测 2.下列直线中,与直线 3x-2y=0 相交的是( A.2x+3y+1=0 B.3x-2y+2=0 C.-6x+4y=0 3 D.y= x-1 2 ) 解析:选项 A 中的直线斜率与直线 3x-2y=0 斜率不相等,两直线相 交.B 和 D 选项中的直线与 3x-2y=0 平行.选项 C 中的直线与 3x-2y=0 重合. 答案:A 问题导学 当堂检测 1.判断两条直线是否相交,具体方法如下: (1)当两条直线的斜率都存在时,只要两斜率不相等,则它们相交; (2)当两条直线中有一条斜率存在,另一条不存在时,它们一定相交; (3)当两条直线的斜率均不存在时,它们一定不相交. 2.求两条直线的交点坐标,即是解由两条直线的方程组成的方程组, 这体现了用方程的思想研究直线交点的问题 ,用代数思想研究几何问 题的思想方法. 问题导学 当堂检测 2.三线共点问题 活动与探究 例 2 设三条直线 x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5 交于一点,求 k 的值. 思路分析:先求出两条直线的交点,然后代入第三条直线方程求出 k 的值. 解:解方程组 -2 = 1, 得 2 + = 3, = +6 1 , +4 +4 = +6 , +4 1 . +4 即前两条直线的交点为 故有 3k· . 16 3 因为三条直线交于一点,所以第三条直线必过此交点, +6 4 + =5,解得 +4 +4 k=1 或 k=- . 问题导学 当堂检测 迁移与应用 试求三条直线 l1:ax+y+1=0.l2:x+ay+1=0.l3:x+y+a=0 构成三角形时 a 满足的条件. 解:为使三条直线能构成三角形,需三条直线两两相交且不共点. + + 1 = 0, ①若 l1,l2,l3 交于一点,由 且 1×1-1×a≠0,解得 + + = 0, = --1, 且 a≠1.将 l2,l3 的交点(-a-1,1)代入 l1 的方程,解得 a=-2. = 1, ②若 l1∥l2,则由 a×a-1×1=0,得 a=± 1. 当 a=1 时,l1,l2 重合. 问

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