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第53讲 两角和与差及二倍角的三角函数公式(3)


两角和与差及二倍角三角函数公式
(3)

【例 1】已知向量 数 f(x)=m· n-1.

? ? x ? x ? ? ? ? m=?2cos2,1?,n=?sin2,1? ?(x∈R),设函 ? ? ? ?

(1)求函数 f(x)的值域;

【解析】

【例 1】已知向量

? ? ? ? x x ? ? ? m=?2cos2,1?,n=?sin2,1? ?(x∈R), ? ? ? ?

设函数 f(x)=m· n-1.

【解析】

→· → =BA →· →. 【例 2】 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知AB AC BC (1)判断△ABC 的形状; (2)若 cosC=- 7 ,求 cos A 的值. 25

【解析】

→· → =cbcosA,BA →· → =cacosB, (1) AB AC BC bccosA=accosB sinAcosB-sinBcosA=0 sinBcosA=sinAcosB, sin(A-B)=0.

-π<A-B<π

A=B

△ABC为等腰三角形.

→· → =BA →· →. 【例 2】 在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知AB AC BC (1)判断△ABC 的形状; (2)若 cosC=- 7 ,求 cos A 的值. 25

【解析】 (2)由(1)知A=B

C=π-2A
7 25

cosC=cos(π-2A)=-cos2A=1-2cos2A=-
16 2 cos A=

? ,而0<A< 25 2
4 5

cosA=

【例

?π ? 4 5 ? 3】已知 sinα=5,α∈??2,π???,cosβ=-13 ,β 是第三象限角,

求 cos(α-β)的值.
? 4 ?π ? 【解析】 α∈? , π , sin α = ?2 ? 5, ? ?

cosα=- 1-sin α=-

2

5 cosβ=-13,β 是第三象限角, sinβ=- 1-cos β=-
2

?4? 3 ? ?2 1-?5? =-5. ? ?

? 5? 12 ? ?2 1-?-13? =-13. ? ?

? ? 3? 5? 12? 4 ? 33 ? ? ? ? ? ? cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=?-5?× ?-13?+5× ?-13?=-65. ? ? ? ? ? ?

【例 4】已知:f(x)=2cos2x+ 3sin2x+a(其中 a∈R). (1)若 x∈R,求 f(x)的最小正周期; (2)若
? π π? ? f(x)在?-6,6 ? ?上最大值与最小值之和 ? ?

3,求 a 的值.

【解析】

f(x)=1+cos2x+

? π? ? 3sin2x+a=2sin?2x+6 ? ?+a+1. ? ?

2π (1)最小正周期 T= =π. 2

【例 4】已知:f(x)=2cos2x+ 3sin2x+a(其中 a∈R). (2)若
? π π? ? f(x)在?-6,6 ? ?上最大值与最小值之和 ? ?

3, 求 a 的值.

【解析】
(2)

? π π? ? x∈?- 6, 6? ? ? ?

π π? π ? ? 2x+ ∈?-6,2 ? ?. 6 ? ?
? π? 1 ? - ≤sin?2x+6 ? ?≤1. 2 ? ?

f(x)max=2+a+1,f(x)min=-1+a+1, 2a+ 3= 3 a=0.

【例 5】如图 6-5-2,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点,P、Q 是 π 单位圆上的两点,O 是坐标原点,∠AOP= ,∠AOQ=α,α∈[0,π). 6

→· → OP OQ

【解析】
? π? 3 4 π ? ? (1) 由 已 知 可 得 cosα = 5 , sinα = 5 , cos ?α-6 ? = cosαcos 6 + ? ? 图 6-5-2

π 3 3 4 1 3 3+ 4 sinαsin6=5× 2 +5×2= 10

【例 5】如图 6-5-2,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点,P、Q 是 π 单位圆上的两点,O 是坐标原点,∠AOP= ,∠AOQ=α,α∈[0,π). 6

→· → OP OQ

【解析】 ? ? π π ? →· → =?cos ,sin ? (2)f(α)=OP OQ (cosα,sinα) 6 6 ?·
? ?

图 6-5-2
α∈[0, π)

? π? 3 1 ? = 2 cosα+2sinα=sin?α+3 ? ?. ? ?

4π? π ? ?π α+ 3 ∈ ? 3 , 3 ? ? ? ?
? f(α)的值域是? ?- ?

? π? 3 ? - 2 <sin?α+3 ? ?≤ 1 , ? ? ? 3 ? , 1 ?. 2 ?

本节完



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