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平面向量的数量积试题(含答案)1

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一、选择题 (7?3′=21′) 1.已知 a,b,c 为非零的平面向量,甲:a?b=a?c,乙:b=c,则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 2.已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么|a+3b|等于 ( A. )
7

B.

10

C.

13

D.4 18,则这个平行四边形的面积

3.在 ABCD 中,AC= 为 A.16 ( )

65 ,BD= 17 ,周长为

B.17 1

2

C.18

D.32

4.若向量 a 与 b 的夹角为 60°,|b|=4,(a+2b)?(a-3b)=-72.则向量 a 的 模是 A.2 ( ) B.4 C.6 D.12 a = (3,2) 垂 直 的 向 量 是

5 . 下 列 各 向 量 中 , 与 ( ) A.b=(3,-2) B.b=(2,3)

C.b=(-4,6)

D.b=(-3,2)

6 . 已 知 a ⊥ b,|a|=2,|b|=3, 且 3a+2b 与 λ a-b 垂 直 , 则 λ 等 于 ( ) A. 3
2

B.- 3
2

C.± 3
2

D.1
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7. 已知 m,n 是夹角为 60°的两个单位向量, a=2m+n 和 b=-3m+2n 则 的夹角是 ( A.30° ) B.60° C.120° D.150°

二、填空题(5?3′=15′) 8.已知 A(1,3)、B(2,4)、C(5,6),则 AB ? AC ? AC ? BC = 9 . 已 知 为
OP ? OP2 ? OP3 1

. 的 夹 角

=0 ,

| OP |?| OP2 |?| OP3 |,则OP 与OP2 1 1

.
3

10.已知 e 为单位向量,|a|=4,a 与 e 的夹角为 2 π ,则 a 在 e 方向上 的投影是 . .

11.已知 a=(4,3),b=(-1,2),则 a 与 b 的夹角为

12 . 平 面 向 量 a,b 中 , 已 知 a=(4,-3),|b|=1, 且 a ? b=5, 则 向 量 b= .

三、解答题(4?10′=40′) 13.已知|a|=4,|b|=5,当 (1)a∥b; (2)a⊥b; (3)a 与 b 的夹角为 60°时,分别求 a 与 b 的数量积. 14.求证:三角形 ABC 的三条高线 AD、BE、CF 交于一点 H. 15.已知向量 a=(1,1),b=(1,0),c 满足 a?c=0 且|a|=|c|,b?c>0. (1)求向量 c; (2)若映射 f:(x,y)→(x1,y1)=xa+yc,求映射 f 下(1,2)的原象. 16.设 O 是△ABC 的外心,H 是三角形内一点,且 OH ? OA ? OB ? OC ,
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求证:H 是△ABC 的垂心. 四、思考与讨论(2?12′=24′) 17.已知 a=(
1 3 3 ,-1),b=( , 2 2

).

(1)若存在不同时为零的实数 k 和 t,使 x=4a+(t2-3)b,y=-ka+tb, x 且 ⊥y, 求 k=f(t)的解析式; (2)确定 f(t)的单调区间.
图1

18.如图 1,在 Rt△ABC 中,已知 BC=a,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点,问 PQ与BC 的夹角θ 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这 个最大值.

参考答案 1.B a?b=a?c ? a?(b-c)=0 ? a 与(b-c)垂直,或 b-c=0.故甲 乙, 反过来,若 b=c ? a?b=a?c,即乙 ? 甲,故甲是乙的必要非充分 条件.
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2.C |a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a?b+9b2=|a|2+6|a||b|cos〈a,b〉+9|b|2, ∵|a|=1,|b|=1,〈a,b〉=60°,∴原式=1+6?1?1?cos60°+9=13,∴ |a+3b|=
13 .
?| AB |? 4 ?| AB |? 5 ? 或? . ?| BC |? 5 ?| BC |? 4 ? ?

3.A ∵2 (| AB |2 ? | BC |2 ) ?| AC |2 ? | BD |2 , | AB | ? | BC | =9, ? ?
? AC ? ( AB ? BC ) 2 ? AB ? 2 AB ? BC ? BC ,? AB ? BC ? 12. 12 3 4 ? cos ?ABC ? ? ? ? ,?sin ?ABC ? , 4?5 5 5
2 2 2

∴ =4?5? 4 ? 16.
5

4. (a+2b)? C (a-3b)=|a|2-a? b-6|b|2=-72,∴|a|2-|a|? cos60°-6|b|2=-72. |b|? ∴|b|=4 代入上式,解得:|a|=6(∵|a|>0). 5.C 验证 a?b=0 即可. 6. (3a+2b)(λ a-b)=0,又 a? A b=0,∴3λ |a|2-2|b|2=0 ? 3λ ?4-2?9=0 ? λ =3.
2

7.C 不妨设 m=(1,0),n=( 1 ,
2

3 2

),则 a=( 5 ,
2

3 2

),b=(-2,

3 ),

|a|= 8.25

7 ,|b|=

3 ?7 7 ,a?b=-5+ ? , ∴cosθ 2 2

=

7 2 7? 7 ?

=- 1 ,故θ =120°.
2

AB =(1,1), AC =(4,3), BC =(3,2),∴ AB ? AC + AC ? BC =(1?4+1

?3)+(4?3+3?2)=25. 9.120°
2

∵| OP3 |2=| OP1 + OP2 |2=| OP1 |2+| OP2 |2+2| OP1 |?| OP2 |cosθ ,∴

cos=- 1 ,θ =120°. 10.-2 4?cos 2 π =4?(- 1 )=-2 为所求.
3 2

11.arccos

2 5 25

cos〈a,b〉=

2 5 4 ? (?1) ? 3 ? 2 2 ? = 25 | a|?| b| 5? 5

.

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12. ? 4 ,? 3 ? ? ? ? 5 5? 13.解



4 ? ?| b |? x 2 ? y 2 ? 1 ? x ? 5 ? ? ? 4 3? b=(x,y),由已知 ? ?? ,? b ? ? ,? ?. ? 5 5? ?a ? b ? 4 x ? 3 y ? 5 ? y ? ? 3 ? ? 5 ?

(1)a∥b 时,有两种情况.

若 a 与 b 同向,则θ =0°,a?b=|a|?|b|=20; 若 a 与 b 反向,则θ =180°,a?b=-|a|?|b|=-20. (2)当 a⊥b 时,θ =90°,∴a?b=0. (3)当 a 与 b 夹角为 60°时,a?b=|a|?|b|cos60°=10. 14.分析 高线上. 证明 设 BE 与 CF 交于 H,并设 AB =a, AC =b, AH =h, 要证三条高线交于一点,只要证两条高线的交点在第三条

则 BC =b-a, BH =h-a, CH =h-b ∵ ① ∵ ② ∵(h-a)?b=(h-b)?a,∴h?b=h?a,即 h?(b-a)=0. ∴ AH ? BC ,即 H 在 AD 上.故 AD、BE、CF 交于一点 H. 点评 用向量作工具解几何问题总是先得一些向量为已知的,再
CH ? AB

BH ? AC

,



(h-a)

?

b=0

,



(h-b)

?

a=0

用这些向量表示其他向量,并建立相应关系式,至于选用哪些为 基本向量,则应根据实际情况而定. 15. 解 (1) c=(m,n),由题意得 m+n=0,且 m2+n2=2 且 m? 设 1+n? 0>0. 解之得 m=1,n=-1,∴c=(1,-1).
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(2) 由 题 意 得 x(1,1)+y(1,-1)=(1,2), ∴ x+y=1 且 x-y=2, 解 之 得 x= 3 , ,y=- 1 .
2 2

∴(1,2)的原象是( 3 , - 1 ).
2 2

16.证明

∵ OH ? OA ? OB ? OC,? AH ? OB ? OC.
2 2

? AH ? BC ? (OC ? OB) ? (OC ? OB) ? OC ? OB ? 0,? AH ? BC.

同理得 BH ? AC , CH ? AB . 所以 H 是△ABC 的垂心. 点评 处理垂直、夹角和距离是两个向量数量积的强项,这也是

学习向量的主要目的之一. 17.解 (1)由已知 a?b=0,又 x⊥y,且 x,y 不同时为零.
4

∴x?y=[4a+(t2-3)b][-ka+tb]=0.∴-4k+(t3-3t)=0,∴k= 1 (t3-3t)(t ? ≠0).
2 (2)f(t)= 1 (t3-3t),∵f(t1)-f(t2)= 1 (t1-t2)( t12 ? t1t 2 ? t 2 -3),

4

4

当 t1<t2≤-1 时,f(t1)-f(t2)<0. 当-1≤t1<t2≤1 时,f(t1)-f(t2)>0. 当 1≤t1<t2 时,f(t1)-f(t2)<0. ∴f(t)在(-∞,-1)上为增函数,在[-1,1]上为减函数,在[1,+∞] 上为增函数. 18.分析 本题主要考查向量的概念,平面向量的运算法则,考查运

用向量及函数知识的能力. 解 ∵ 方法 1 如图 2①.∵ AB ⊥ AC ,∴ AB ? AC =0.
AP

=-

AQ

,

BP

=

AP

-

AB

,

CQ

=

AQ

-

AC

, ∴

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BP ? CQ =( AP - AB )?( AQ - AC )

= AP ? AQ - AP ? AC - AB ? AQ + AB ? AC =-a2- AP ? AC + AB ? AP =-a2- AP ?( AB - AC )=-a2+ 1
2
PQ ? BC =-a
2

+a2cosθ .

故当 cosθ =1,即θ =0( PQ 与 BC 方向相同)时, BP ?CQ 最大,其最 大值为 0.

图2

方法 2 以直角顶点 A 为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴 建立如图 D19②所示的平面直角坐标系. 设|AB|=c.|AC|=b,则 A(0,0),B(c,0),C(0,b),且|PQ|=2a,|BC|=a. 设 点 P 的 坐 标 为 ( x,y ) , 则 Q ( -x,-y ), ∴

BP =(x-c,y), CQ =(-x,-y-b), BC =(-c,b), PQ =(-2x,-2y).

∴ BP ? CQ =(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by. ∵cosθ = θ . 故当 cosθ =1,即θ =0( PQ 与 BC 方向相同)时, BP ?CQ 最大,其最
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PQ ? BC | PQ | ? | BC |

?

cx ? by ,∴cx-by=a2cosθ 2 a

.∴ BP ? CQ =-a2+a2cos

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大值为 0. 点评 题型新颖, 培养了学生的知识迁移能力, 及运算化简能力.

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