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高中数学 2.1.1指数函数(一)课件 新人教A版必修1


指数函数(1)

引例:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个, 2个分裂成4个,……. 1个这样的细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是 什么? 分裂次数:1,2,3,4,…,x 细胞个数:2,4,8,16,…,y
.

由上面的对应关系可知,函数关系是

y?2

x



y ? 2 x,

中指数x是自变量,

底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个 大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数. 指数函数的定义: x y ? a (a 函数

? 0且a ? 1)

叫做指数函数,其中x是自变量,a是常数

探究1:为什么要规定a>0,且a

?1呢?
x
x

①若a=0,则当x>0时,
当x

?

a

=0; 无意义.

0时,

a

②若a<0,则对于x的某些数值,可使 如
(?2) x

a

x

无意义.

1 ,这时对于x= 4

,x= 1

……等等,在实数范围内函数值不存在. ③若a=1,则对于任何x ? R,

2

=1,是一个常量,没有研究的必要性.

a

x

为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。

观察指数函数的特点:

y ?1? a
系数为1

x

自变量仅有 这一种形式

底数为正数且不为1

例1: 下列函数是否是指数函数

(1) y ? 2 ? 3

x

(2) y ? 3

x ?1

(3) y ? 3

2x

(4) y ? (3 ? ? )

x

(5) y ? (? ? 3)

x

指数函数的图象和性质: 在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:
?1? y?? ? ?2?
-2 0.25 4 -2 -1 0.5 2 -1
x

y?2
列表如下:
x … -3

x

y ?3
-0.5 0.71 1.4 -0.5 0 1 1 0

x

?1? y ?? ? ? 3?

x

0.5 1.4 0.71 0.5

1 2 0.5 1

2 4 0.25 2

3 8 0.13 2.5

… … … …

2

x
x

… … …
x
x

0.13 8 -2.5

?1? ? ? ?2?

x

3




0.06
15.6

0.1
9

0.3
3

0.6
1.7

1
1

1.7
0.6

3
0.3

9
0.1

15.6
0.06




?1? ? ? ?3?

x

… …
x

-3 0.13 8

-2 0.25 4

-1 0.5 2

-0.5 0.71
8

0 1 1

0.5 1.4 0.71

1 2 0.5

2 4 0.25

3 8 0.13

… … …

y ? 2x

?1? … y?? ? ?2?

1.4
7

f?x? =

x 2

6

5

g?x? = 0.5x

4

3

2

1

-6

-4

-2

2

4

6

x

… …
x

-2.5 0.06 15.6

-2 0.1 9

-1 0.3 3

-0.5
16

0 1 1

0.5 1.7 0.6

1 3 0.3

2 9 0.1

2.5 15.6 0.06

… … …

y ? 3x

0.6 1.7
14 12

?1? … y ?? ? ? 3?

10

1x g?x? = 3

8

6

f?x? =

x 3

4

2

-10

-5

5

10

1x q?x? = h?x? = 3x 3
6 5 4

1x g?x? = 2

3

f?x? = 2x

2

1

-4

-2

2

4

y ? a x (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质:
a>1 图 象
1
6 5

0<a<1
6 5 4

4

3

3

2

2

1
1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

性 1.定义域: (??,??) 质 2.值域: (0,??) 3.过点 (0,1) ,即x= 0 时,y= 1 4.在 R上是 增 函数 在R上是 减 函数

自学课本 P56 例6 例6 已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1) 的图象经过点(3,∏),求f(0),f(1),f(-3) 的值。

例2 比较下列各题中两个值的大小: ①

1 .7

2.5



1.7

3

解① :利用函数单调性 1.7 2.5与 的底数是1.7,它们可以看成函数 y= 当x=2.5和3时的函数值;

1.7 3

1.7

x

因为1.7>1,所以函数y= 1.7 x 在R上是增函数,而2.5<3, 所以, f?x? = 1.7x
4.5 4 3.5

5



3

2.5

1.7 2.5 <

2

1.7

3
-2 -1

1.5

1

0.5

1

2

3

4

5

6

-0.5



0.8

?0.1

0.8 ?0.2 ,

解② :利用函数单调性

0.8

?0.1



0.8
x

?0.2

的底数是0.8,它们可以看成函数 y= 0.8

当x=-0.1和-0.2时的函数值; x 因为0<0.8<1,所以函数y= 0.8 在R是减函数, 而-0.1>-0.2,所以,
1.8

f?x? =

1.6

0.8x

1.4

1.2

0.8 ?0.1 < 0.8 ?0.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.2



1.7 0.3 0.9 3.1 ,

解③ :根据指数函数的性质,得

1.7 0.3 ? 1 且
3.2 3 2.8 2.6 2.4

0.93.1 ? 1
3.2 3 2.8 2.6 2.4

2.2
2.2

2

2

1.8

1.8

f?x? = 0.9x

f?x? = 1.7x

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5 -0.2

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

-0.4

从而有

1 .7 >

0.3

0 .9 3 .1

小结:对同底数幂大小的比较用的是指数函数的单 调性,必须要明确所给的两个值是哪个指数函数的 两个函数值;对不同底数是幂的大小的比较可以与 中间值进行比较. a>1 图 象
1
6
6

0<a<1
5
5

4
4

3
3

2
2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6
-4 -2

0
-1

2

4

6

性 1.定义域:R 质 2.值域:(0,+∞) 3.过点(0,1),即x=0时,y=1 4.在 R上是增函数 在R上是减函数


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